Dérivée d'un produit : la formule (uv)′ = u′v + uv′, sa démonstration et ses pièges

L'énoncé exact, avec ses hypothèses

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors uv est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, (uv)′(x) = u′(x) v(x) + u(x) v′(x). Avec un facteur constant k, on obtient (ku)′ = ku′, puisque la dérivée d'une constante est nulle.

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 range cette formule dans les « opérations sur les fonctions dérivables » et inscrit la « fonction dérivée d'un produit » dans sa liste de démonstrations : elle peut tomber en question de cours. Le chapitre complet est présenté dans la dérivation en première.

Pourquoi u′v + uv′ et pas u′v′ : la figure

La figure représente le produit comme l'aire d'un rectangle de côtés u(a) et v(a), avec u(x) = 2x − 3 et v(x) = x² + 1 en a = 2,5 : le rectangle gris mesure 2 sur 7,25. Elle s'assemble pièce par pièce : le rectangle gris, puis la bande dorée, la bande bleue et enfin le coin rouge. Quand x passe de 2,5 à 2,75 (h = 0,25), le côté horizontal grandit de Δu = 0,5 et le côté vertical de Δv ≈ 1,31. L'aire gagne une bande dorée Δu × v(a), une bande bleue u(a) × Δv et un coin rouge Δu × Δv. Divisées par h, les deux bandes tendent vers u′(a)v(a) et u(a)v′(a) ; le coin devient (Δu/h) × Δv et disparaît à la limite, car Δv tend vers 0. Le produit u′v′ correspondrait au seul coin, le morceau qui s'efface. Contre-exemple direct : avec u(x) = v(x) = x, (x²)′ = 2x alors que u′v′ = 1.

La démonstration attendue en question de cours

Soit a un réel de I et h un réel non nul tel que a + h appartienne à I. On écrit le taux de variation de uv entre a et a + h, et on fait apparaître les taux de variation de u et de v en ajoutant puis en retranchant u(a)v(a + h) :

[u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a)] / h = [u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) − u(a)v(a)] / h

= [(u(a + h) − u(a)) / h] × v(a + h) + u(a) × [(v(a + h) − v(a)) / h].

Quand h tend vers 0, le premier crochet tend vers u′(a) et le second vers v′(a), puisque u et v sont dérivables en a. Le facteur v(a + h) tend vers v(a), car une fonction dérivable en a est continue en a (résultat admis en première). Le taux de variation de uv admet donc une limite finie, égale à u′(a)v(a) + u(a)v′(a) : la fonction uv est dérivable en a, et ce nombre est (uv)′(a). Comme a est quelconque dans I, la formule vaut sur tout I.

Le seul passage qui demande une idée, c'est le terme u(a)v(a + h) ajouté et retranché. Il faut savoir dire pourquoi ce terme-là : il est à cheval entre les deux expressions, il partage u(a) avec la seconde et v(a + h) avec la première, ce qui permet de factoriser deux fois. La figure le montre aussi, c'est la coupure entre les deux bandes.

Dériver un produit sur une copie

On nomme les deux facteurs ; on écrit u, u′, v et v′ sur une ligne, en précisant l'intervalle où u et v sont dérivables ; on applique la formule sans rien simplifier ; puis on choisit entre développer et factoriser selon la suite. Si la question suivante porte sur le signe de f′, on garde la forme factorisée et on cherche le facteur commun aux deux termes. Pour un polynôme court comme (2x − 3)(x² + 1), développer avant de dériver va aussi vite : f′(x) = 6x² − 6x + 2 dans les deux cas.

Exemple 1 · Quand un facteur n'est pas dérivable partout

Énoncé. Soit f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = x√x. Calculer f′(x) pour x > 0.

Rédaction. On pose u(x) = x et v(x) = √x. La fonction u est dérivable sur ℝ avec u′(x) = 1 ; la fonction racine carrée est dérivable sur ]0 ; +∞[ avec v′(x) = 1/(2√x). Donc f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et, pour tout x > 0 :

f′(x) = 1 × √x + x × 1/(2√x) = √x + √x/2 = (3/2)√x,

en utilisant x/√x = √x pour x > 0.

L'intervalle compte ici. La racine carrée n'est pas dérivable en 0, donc la formule du produit ne dit rien en 0. Cela ne veut pas dire que f n'y est pas dérivable : le taux de variation en 0 vaut (h√h − 0)/h = √h, qui tend vers 0, donc f est dérivable en 0 avec f′(0) = 0. La formule donne une condition suffisante, jamais une condition nécessaire.

Exemple 2 · Garder la factorisation pour étudier le signe

Énoncé. Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x + 1)(x − 3)². Calculer f′(x) sous forme factorisée.

Rédaction. On pose u(x) = x + 1 et v(x) = (x − 3)². On a u′(x) = 1. Pour v, on écrit v(x) = (x − 3)(x − 3) et on applique la formule du produit : v′(x) = 1 × (x − 3) + (x − 3) × 1 = 2(x − 3). Les fonctions u et v sont dérivables sur ℝ, donc f aussi, et pour tout réel x :

f′(x) = 1 × (x − 3)² + (x + 1) × 2(x − 3).

On met (x − 3) en facteur au lieu de développer :

f′(x) = (x − 3)[(x − 3) + 2(x + 1)] = (x − 3)(3x − 1).

La dérivée s'annule en 1/3 et en 3, et son signe se lit dans un tableau à deux facteurs. Développée, elle donnerait 3x² − 10x + 3 et un discriminant (Δ = 100 − 36 = 64) pour retrouver les mêmes racines. Cette fonction est étudiée en entier dans l'article sur la dérivée et le sens de variation, qui part de là.

Au passage, le calcul de v′ montre une règle utile : (u²)′ = 2u′u, obtenue en écrivant u² = u × u. Par exemple, la dérivée de (3x + 1)² est 2 × 3 × (3x + 1) = 18x + 6, ce qu'on vérifie en développant (9x² + 6x + 1)′.

Les erreurs sur la dérivée d'un produit qui coûtent des points

• (uv)′ = u′v′. Le contre-exemple x × x sert de contrôle.
• Le signe perdu au développement : (2x − 3) × 2x devient 4x² − 6 au lieu de 4x² − 6x, ou le moins d'un facteur comme (3 − x) n'est pas distribué. Écrire la formule appliquée en entier, avec ses parenthèses, avant de simplifier.
• La forme factorisée détruite alors que l'énoncé demande le signe de f′.
• L'intervalle absent : « f est dérivable » sans dire où, quand un facteur est une racine carrée ou une fonction inverse (voir les dérivées usuelles).
• Conclure « f n'est pas dérivable en 0 car √x ne l'est pas » : la formule donne une condition suffisante, pas nécessaire (exemple 1).

Quand le produit cache un quotient, comme (2x + 1) × 1/(x − 3), mieux vaut l'écrire comme un quotient : voir la dérivée d'un quotient, qui se démontre à partir de celle du produit.

Trois exercices corrigés sur la dérivée d'un produit

Exercice 1 · Dériver f(x) = (x² + 2)(3 − x) sur ℝ

On pose u(x) = x² + 2 et v(x) = 3 − x, dérivables sur ℝ, avec u′(x) = 2x et v′(x) = −1. Donc f est dérivable sur ℝ et, pour tout réel x :

f′(x) = 2x(3 − x) + (x² + 2) × (−1) = 6x − 2x² − x² − 2 = −3x² + 6x − 2.

Contrôle : f(x) = −x³ + 3x² − 2x + 6, dont la dérivée est −3x² + 6x − 2.

Exercice 2 · Produit avec une racine carrée, puis tangente

Énoncé. Soit f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = (2x + 1)√x. Calculer f′(x) pour x > 0, puis donner une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

On pose u(x) = 2x + 1, dérivable sur ℝ avec u′(x) = 2, et v(x) = √x, dérivable sur ]0 ; +∞[ avec v′(x) = 1/(2√x). Donc f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et, pour tout x > 0 :

f′(x) = 2√x + (2x + 1)/(2√x) = (4x + 2x + 1)/(2√x) = (6x + 1)/(2√x),

en réduisant au même dénominateur 2√x (2√x × 2√x = 4x).

On a f(1) = 3 × 1 = 3 et f′(1) = 7/2. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation y = f(1) + f′(1)(x − 1), soit y = 3 + (7/2)(x − 1), c'est-à-dire y = (7/2)x − 1/2. La formule de la tangente est démontrée dans l'article sur l'équation de la tangente.

Exercice 3 · Démontrer (u³)′ = 3u′u², puis l'appliquer

Énoncé. a) Soit u dérivable sur un intervalle I. Démontrer que u³ est dérivable sur I et que (u³)′ = 3u′u². b) En déduire la dérivée de f(x) = (x² − 1)³ sur ℝ, puis le sens de variation de f.

a) On écrit u³ = u² × u. On sait que u² = u × u est dérivable sur I, de dérivée 2u′u (formule du produit appliquée à u × u). Par la formule du produit appliquée à u² et u, u³ est dérivable sur I et (u³)′ = (u²)′ × u + u² × u′ = 2u′u × u + u²u′ = 3u′u².

b) Avec u(x) = x² − 1, dérivable sur ℝ et u′(x) = 2x, on obtient pour tout réel x : f′(x) = 3 × 2x × (x² − 1)² = 6x(x² − 1)².

Le facteur (x² − 1)² est positif ou nul, et ne s'annule qu'en −1 et en 1. Donc f′(x) est du signe de x : f′(x) ≤ 0 sur ]−∞ ; 0] et f′(x) ≥ 0 sur [0 ; +∞[, avec des annulations seulement en −1, 0 et 1. La fonction f est donc décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; son minimum vaut f(0) = −1. En −1 et en 1, la dérivée s'annule sans changer de signe : la courbe y a une tangente horizontale, mais ce ne sont pas des extremums.