Équation cartésienne d'une droite : du vecteur normal au projeté orthogonal

En seconde (programme applicable à la rentrée 2026), on obtient cette équation avec un vecteur directeur et le déterminant. En première, partie « Géométrie repérée », le repère est orthonormé et on la relit avec un vecteur normal : « Le vecteur de coordonnées (a, b) est normal à la droite d'équation ax + by + c = 0. » Le programme demande l'équation connaissant un point et un vecteur normal, puis le projeté orthogonal d'un point sur une droite : c'est une application du produit scalaire en première.

Ce que disent a, b et c

Une droite a une infinité d'équations cartésiennes : 3x + 4y − 2 = 0 et 6x + 8y − 4 = 0 décrivent la même. On dit donc « une » équation, jamais « l'équation ». On vérifie que u⃗(−b ; a) dirige la droite par n⃗ · u⃗ = a × (−b) + b × a = 0. Le réel c place la droite : il change quand on la translate, sans toucher à sa direction. La droite verticale x = −c/a, qui n'a pas d'équation réduite y = mx + p, est la raison d'être de l'équation cartésienne : elle traite tous les cas d'un seul coup.

Pourquoi n⃗(a ; b) est normal : la démonstration

Soit d la droite passant par A(x_A ; y_A) et de vecteur normal n⃗(a ; b) non nul. Un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si AM^→ est orthogonal à n⃗, c'est-à-dire AM^→ · n⃗ = 0. Le repère étant orthonormé, ce produit scalaire se calcule avec les coordonnées : AM^→(x − x_A ; y − y_A), donc

M ∈ d ⇔ a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0 ⇔ ax + by + c = 0, avec c = −ax_A − by_A.

Pour la réciproque, on part de ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Si b ≠ 0, le point A(0 ; −c/b) vérifie l'équation ; si b = 0, alors a ≠ 0 et A(−c/a ; 0) convient. Dans les deux cas c = −ax_A − by_A, et l'équation se réécrit a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0, c'est-à-dire AM^→ · n⃗ = 0 : c'est la droite passant par A et de vecteur normal n⃗.

Cette démonstration contient toute la méthode : une copie qui écrit AM^→ · n⃗ = 0 et développe ne peut presque pas se tromper, ce qui vaut mieux que la formule de c apprise par cœur.

Trois points de départ en devoir surveillé

• Un point A et un vecteur normal n⃗(a ; b) : on écrit a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0 et on développe.
• Un point A et un vecteur directeur u⃗(α ; β) : route de seconde, det(AM^→, u⃗) = 0, soit β(x − x_A) − α(y − y_A) = 0 ; route de première, n⃗(β ; −α) est orthogonal à u⃗ et on revient au cas précédent. Les deux donnent la même équation.
• Deux points A et B distincts : AB^→ est directeur, on est ramené au cas précédent. Avec A(1 ; 2) et B(4 ; 3), n⃗(1 ; −3) est normal à AB^→(3 ; 1), d'où x − 3y + 5 = 0.

Une fois l'équation écrite, on y remplace les coordonnées des points donnés : le contrôle rattrape presque toutes les erreurs de signe.

Exemple 1 · Un point et un vecteur normal

Énoncé. Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n⃗(3 ; 4).

Rédaction. Soit M(x ; y). M ∈ d ⇔ AM^→ · n⃗ = 0. Or AM^→(x − 2 ; y + 1), donc M ∈ d ⇔ 3(x − 2) + 4(y + 1) = 0 ⇔ 3x + 4y − 2 = 0. Une équation cartésienne de d est 3x + 4y − 2 = 0. Contrôle : 3 × 2 + 4 × (−1) − 2 = 0, donc A est bien sur d.

Exemple 2 · Le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Énoncé. On reprend d : 3x + 4y − 2 = 0. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H du point M(5 ; 6) sur d, puis la distance MH.

Rédaction. H est le point de d tel que MH^→ soit orthogonal à d, donc colinéaire au vecteur normal n⃗(3 ; 4). Il existe un réel t tel que MH^→ = t n⃗, c'est-à-dire H(5 + 3t ; 6 + 4t). H appartient à d : 3(5 + 3t) + 4(6 + 4t) − 2 = 0, soit 25t + 37 = 0, d'où t = −37/25. Donc H(5 − 111/25 ; 6 − 148/25) = (14/25 ; 2/25), soit H(0,56 ; 0,08). Enfin MH = |t| × ‖n⃗‖ = (37/25) × 5 = 37/5 = 7,4.

Chercher H comme intersection de d avec la perpendiculaire passant par M est aussi accepté ; le paramètre t est plus court et donne la distance au passage. Le calcul vectoriel équivalent est dans le produit scalaire en coordonnées.

Les erreurs sur l'équation cartésienne d'une droite qui coûtent des points

• Vecteur normal pris pour vecteur directeur. Lire 3x + 4y − 2 = 0 et annoncer un vecteur directeur (3 ; 4) : c'est le normal. Écrire n⃗(a ; b) et u⃗(−b ; a) sur la copie avant toute autre chose évite la confusion.
• Les signes dans a(x − x_A) + b(y − y_A). Avec A(2 ; −1), on écrit y + 1, pas y − 1 ; le contrôle par substitution le règle.
• Comparer les c pour reconnaître des parallèles. Ce sont les vecteurs normaux qu'on compare : 2x − y + 1 = 0 et −4x + 2y + 3 = 0 sont parallèles, puisque (−4 ; 2) = −2 × (2 ; −1). Pour l'orthogonalité, voir le produit scalaire et l'orthogonalité.
• L'hypothèse « repère orthonormé » oubliée au moment de calculer un produit scalaire avec les coordonnées : dans un repère quelconque, n⃗(a ; b) ne serait plus perpendiculaire à la droite.

Trois exercices corrigés sur l'équation cartésienne d'une droite

Exercice 1 · Équation, vecteur directeur, équation réduite

Énoncé. Dans un repère orthonormé, d passe par A(−1 ; 3) et admet n⃗(2 ; −5) pour vecteur normal. Déterminer une équation cartésienne de d, un vecteur directeur, l'équation réduite, puis le point de d d'abscisse 4.

Correction. M(x ; y) ∈ d ⇔ AM^→ · n⃗ = 0 ⇔ 2(x + 1) − 5(y − 3) = 0 ⇔ 2x − 5y + 17 = 0. Contrôle : 2 × (−1) − 5 × 3 + 17 = 0. Un vecteur directeur est u⃗(5 ; 2), puisque n⃗ · u⃗ = 10 − 10 = 0. Le coefficient de y n'étant pas nul, 5y = 2x + 17, soit y = (2/5)x + 17/5. Pour x = 4 : y = (8 + 17)/5 = 5. Le point cherché est (4 ; 5).

Exercice 2 · Les hauteurs d'un triangle et l'orthocentre

Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(1 ; 1), B(5 ; 3) et C(2 ; 6). Déterminer une équation de la hauteur issue de C, puis de la hauteur issue de A, et en déduire les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC. Vérifier que H est sur la troisième hauteur.

Correction. La hauteur issue de C passe par C et est perpendiculaire à (AB) : AB^→(4 ; 2) en est un vecteur normal. Son équation : 4(x − 2) + 2(y − 6) = 0, soit 4x + 2y − 20 = 0, ou encore 2x + y − 10 = 0. La hauteur issue de A a pour vecteur normal BC^→(−3 ; 3) : −3(x − 1) + 3(y − 1) = 0, soit −x + y = 0, c'est-à-dire y = x. L'orthocentre vérifie les deux équations : 2x + x − 10 = 0, donc x = 10/3 et y = 10/3. H(10/3 ; 10/3). Vérification : BH^→(−5/3 ; 1/3) et AC^→(1 ; 5), d'où BH^→ · AC^→ = −5/3 + 5/3 = 0. H est bien sur la hauteur issue de B, ce qui illustre la concourance des trois hauteurs.

Exercice 3 · Projeté, distance et symétrique d'un point

Énoncé. Dans un repère orthonormé, d : x − 2y + 1 = 0 et P(−2 ; 7). Déterminer le projeté orthogonal H de P sur d, la distance de P à d, puis les coordonnées du symétrique P′ de P par rapport à d.

Correction. n⃗(1 ; −2) est normal à d. H vérifie PH^→ = t n⃗, donc H(−2 + t ; 7 − 2t), et H ∈ d : (−2 + t) − 2(7 − 2t) + 1 = 0, soit 5t − 15 = 0 et t = 3. Donc H(1 ; 1) ; contrôle : 1 − 2 + 1 = 0. La distance de P à d est PH = |t| × ‖n⃗‖ = 3√5 ≈ 6,71. Le symétrique P′ vérifie que H est le milieu de [PP′] : x_P′ = 2 × 1 − (−2) = 4 et y_P′ = 2 × 1 − 7 = −5, d'où P′(4 ; −5).

Ce que montre la figure de l'équation cartésienne d'une droite

La figure se construit dans l'ordre de la démonstration : le point A(2 ; −1), puis le vecteur normal n⃗(3 ; 4) en or, puis le calcul AM^→ · n⃗ = 0 qui donne l'équation, puis la droite d : 3x + 4y − 2 = 0, puis le vecteur directeur u⃗(−4 ; 3) en bleu, posé sur la droite, et enfin M(5 ; 6) et son projeté H. n⃗ coupe la droite à angle droit ; on passe de n⃗ à u⃗ en échangeant les coordonnées et en changeant un signe. Le segment en pointillés de M à H suit exactement la direction de n⃗, et l'angle droit marqué en H explique l'écriture MH^→ = t n⃗ de l'exemple 2.

Le même outil sert pour l'équation d'un cercle : la tangente en un point T d'un cercle de centre Ω est la droite passant par T et de vecteur normal ΩT^→.