Nombre dérivé et tangente : comprendre f′(a) comme une pente

Le taux de variation, pente d'une sécante

Le programme de spécialité applicable à la rentrée 2026 distingue le point de vue local, le nombre dérivé en un point, traité ici, et le point de vue global, la fonction dérivée (vue d'ensemble sur la dérivation en première).

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a un réel de I et h un réel non nul tel que a + h appartienne à I. Le taux de variation de f entre a et a + h est le quotient

τ(h) = (f(a + h) − f(a)) / h.

Sur la courbe de f, notons A le point d'abscisse a et M le point d'abscisse a + h. La différence des ordonnées vaut f(a + h) − f(a), celle des abscisses vaut h. Le quotient τ(h) est donc le coefficient directeur de la droite (AM), qu'on appelle une sécante.

Quand h tend vers 0, la sécante pivote

Prenons f(x) = x² et a = 1. Pour h ≠ 0,

f(1 + h) − f(1) = 1 + 2h + h² − 1 = 2h + h², donc τ(h) = (2h + h²) / h = 2 + h.

La simplification par h est permise parce que h ≠ 0, et c'est elle qui débloque tout. Quand h se rapproche de 0, par valeurs positives ou négatives, 2 + h se rapproche de 2. On écrit

f′(1) = lim_h→0 (f(1 + h) − f(1)) / h = 2.

La figure montre ce calcul. La parabole y = x² se trace d'abord en bleu nuit, avec le point A(1 ; 1), puis les sécantes en pointillés apparaissent une par une : vers M(3 ; 9) pour h = 2, de pente 4 ; vers M(2 ; 4) pour h = 1, de pente 3 ; vers M(1,5 ; 2,25) pour h = 0,5, de pente 2,5. La tangente dorée vient en dernier, d'équation y = 2x − 1 et de pente 2 : les sécantes se couchent vers elle, chaque pente valant 2 + h.

Le programme de première ne donne pas de définition formelle de la limite. On attend un calcul propre du taux, sa simplification pour h ≠ 0, puis la phrase « quand h tend vers 0, τ(h) tend vers … ».

Calculer f′(a) à partir de la définition, étape par étape

Le programme de 2026 a retiré des capacités attendues le calcul d'un nombre dérivé à partir de la définition ; il garde les démonstrations des dérivées de la fonction carré et de la fonction inverse, qui reposent sur ce calcul de taux. Quand un sujet dit « à l'aide de la définition » ou « en calculant le taux de variation », les formules de dérivées sont interdites, et la méthode tient en quatre lignes.

On écrit f(a + h) et on le développe. On calcule la différence f(a + h) − f(a) et on la réduit : elle doit se factoriser par h, sinon il y a une erreur de calcul. On divise par h en précisant h ≠ 0. On conclut sur la limite quand h tend vers 0, et on donne la valeur de f′(a) en une phrase.

Exemple corrigé 1 : la fonction inverse

Énoncé. Soit f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[. Calculer f′(2) à partir de la définition.

Rédaction. Pour h ≠ 0 et h > −2 (pour que 2 + h reste dans ]0 ; +∞[),

f(2 + h) − f(2) = 1/(2 + h) − 1/2 = (2 − (2 + h)) / (2(2 + h)) = −h / (2(2 + h)).

Donc (f(2 + h) − f(2)) / h = −1 / (2(2 + h)). Quand h tend vers 0, 2(2 + h) tend vers 4, donc le taux tend vers −1/4. La fonction inverse est dérivable en 2 et f′(2) = −1/4.

Sans la condition h > −2, 2 + h pourrait sortir de l'ensemble de définition.

Exemple corrigé 2 : lire f′(a) sur un graphique

Énoncé. La courbe d'une fonction f et sa tangente au point d'abscisse 1 sont tracées. La tangente passe par A(1 ; 3) et par B(3 ; −1). Déterminer f′(1).

Rédaction. f′(1) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1. Cette tangente passe par A et B, donc f′(1) = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) = (−1 − 3) / (3 − 1) = −4/2 = −2.

On choisit deux points de la tangente sur des nœuds du quadrillage, puis on vérifie le signe : une tangente qui descend a une pente négative, une tangente horizontale donne f′(a) = 0.

Quand la limite n'existe pas : la racine carrée en 0

Une fonction n'est pas toujours dérivable. Le programme demande de démontrer que la fonction racine carrée ne l'est pas en 0. Pour h > 0,

(√(0 + h) − √0) / h = √h / h = 1/√h.

Quand h tend vers 0 en restant positif, √h tend vers 0 et 1/√h devient aussi grand qu'on veut. Le taux ne tend vers aucun nombre réel, donc la racine carrée n'est pas dérivable en 0. Sur la courbe, la tangente en l'origine existe, mais elle est verticale (c'est l'axe des ordonnées), et une droite verticale n'a pas de coefficient directeur.

La valeur absolue offre un autre cas, au programme lui aussi. En 0, le taux vaut |h| / h, soit 1 si h > 0 et −1 si h < 0. Les deux côtés ne s'accordent pas : pas de limite, pas de nombre dérivé. La courbe forme un angle en l'origine.

Vitesse instantanée et approximation affine

Un objet lâché sans vitesse initiale parcourt approximativement d(t) = 5t² mètres en t secondes. Entre 2 et 2 + h secondes, sa vitesse moyenne vaut (5(2 + h)² − 20) / h = (20h + 5h²) / h = 20 + 5h. Entre 2 et 3 secondes, cela fait 25 m/s. Quand h tend vers 0, on obtient la vitesse instantanée à t = 2 : d′(2) = 20 m/s.

Le programme insiste aussi sur l'approximation linéaire : pour h proche de 0, f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h. Avec f(x) = x², a = 1 et h = 0,01, on obtient 1,01² ≈ 1 + 2 × 0,01 = 1,02, alors que la valeur exacte est 1,0201. L'écart, h², est minuscule devant h. L'équation de la tangente, y = f(a) + f′(a)(x − a), fait l'objet de la page équation de la tangente en un point.

Les erreurs sur le nombre dérivé qui coûtent des points

• Remplacer h par 0 avant d'avoir simplifié, obtenir 0/0, puis conclure n'importe quoi. La division par h vient d'abord, la limite ensuite.
• Oublier « h ≠ 0 », qui est ce qui autorise la simplification.
• En lecture graphique, donner f(a), l'ordonnée du point de contact, au lieu de f′(a), la pente de la tangente. Si les axes n'ont pas la même unité, on compte en unités du repère, pas en carreaux.
• Écrire f′(a) = τ(h) : le taux dépend de h, le nombre dérivé non. On écrit « τ(h) = 2 + h » puis « donc f′(1) = 2 ».

Quand l'énoncé autorise les formules, on n'a plus besoin du taux : voir les dérivées usuelles.

Taux, limite, approximation : trois exercices

Exercice 1 · Soit f(x) = 3x² + 1. Calculer f′(−1) à l'aide du taux de variation.

Pour tout h ≠ 0, f(−1 + h) = 3(1 − 2h + h²) + 1 = 4 − 6h + 3h². Or f(−1) = 3 + 1 = 4.

Donc f(−1 + h) − f(−1) = −6h + 3h² et (f(−1 + h) − f(−1)) / h = −6 + 3h.

Quand h tend vers 0, −6 + 3h tend vers −6. La fonction f est dérivable en −1 et f′(−1) = −6.

Exercice 2 · Soit f(x) = x³. a) Calculer le taux de variation de f entre 2 et 2,1. b) Calculer f′(2) par la définition.

a) Pour h ≠ 0, (2 + h)³ = 8 + 12h + 6h² + h³, donc f(2 + h) − f(2) = 12h + 6h² + h³ et τ(h) = 12 + 6h + h². Pour h = 0,1 : τ(0,1) = 12 + 0,6 + 0,01 = 12,61. C'est la pente de la sécante entre les points d'abscisses 2 et 2,1.

b) Quand h tend vers 0, 6h et h² tendent vers 0, donc τ(h) tend vers 12. La fonction cube est dérivable en 2 et f′(2) = 12.

Exercice 3 · Soit f(x) = √x. a) Montrer que f′(4) = 1/4. b) En déduire une valeur approchée de √4,1.

a) Pour h ≠ 0 et h > −4, on multiplie par la quantité conjuguée :

(√(4 + h) − 2) / h = ((√(4 + h) − 2)(√(4 + h) + 2)) / (h(√(4 + h) + 2)) = (4 + h − 4) / (h(√(4 + h) + 2)) = 1 / (√(4 + h) + 2).

Quand h tend vers 0, √(4 + h) tend vers 2, donc le taux tend vers 1/(2 + 2) = 1/4. Ainsi f est dérivable en 4 et f′(4) = 1/4.

b) Avec l'approximation f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h, pour a = 4 et h = 0,1 : √4,1 ≈ 2 + 0,1 × 1/4 = 2,025. La calculatrice donne √4,1 ≈ 2,0248.