Cercle trigonométrique : placer un réel, lire son cosinus et son sinus

En première, le cosinus n'est plus un rapport de longueurs réservé aux angles aigus : il se définit pour tout réel grâce au cercle trigonométrique. Le programme applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026) garde le cercle, le radian, l'enroulement de la droite des réels, le cosinus et le sinus d'un réel, le lien avec le triangle rectangle et les valeurs remarquables ; il retire de la première les fonctions cosinus et sinus, leurs courbes, leur parité et leur périodicité. La vue d'ensemble du chapitre est dans l'article sur la trigonométrie en première.

Rayon 1, radians et enroulement

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct. Les points I(1 ; 0), J(0 ; 1), (−1 ; 0) et (0 ; −1) sont sur le cercle.

Sur un cercle de rayon 1, un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur 1. Le périmètre vaut 2π, donc un tour mesure 2π radians et π rad = 180° : on multiplie par π/180 pour passer des degrés aux radians, par 180/π dans l'autre sens. Les mesures qui reviennent : 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 135° = 3π/4, 150° = 5π/6. Un radian vaut environ 57,3°.

On pose la droite des réels verticalement, tangente au cercle en I, origine en I, et on l'enroule : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l'autre sens. Chaque réel x se pose sur un point M(x), et l'arc parcouru de I à M(x) a pour longueur |x|. Ajouter 2π fait faire un tour : deux réels ont la même image si et seulement si leur différence est un multiple entier de 2π.

Pourquoi cos x et sin x sont les coordonnées de M(x)

On définit cos x comme l'abscisse de M(x) et sin x comme son ordonnée. Cette définition prolonge celle du collège : pour 0 < x < π/2, soit H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. Le triangle OHM est rectangle en H, d'hypoténuse OM = 1, et l'angle HOM mesure x radians. Le cosinus du collège donne cos(HOM) = OH / OM = OH, l'abscisse de M ; de même pour le sinus avec HM.

Conséquences : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1, puisque M est sur un cercle de rayon 1 ; cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x, puisque le point est le même ; enfin, le repère étant orthonormé, OM² = cos²x + sin²x, et OM = 1 donne cos²x + sin²x = 1 pour tout réel x. Le cosinus est une coordonnée : il peut être négatif.

Placer un réel et lire les signes

On écrit x sous la forme a + 2kπ, avec k entier et a dans ]−π ; π], en divisant le numérateur par le double du dénominateur. On place a, sur le demi-cercle supérieur s'il est positif, inférieur s'il est négatif, puis on lit le quart de cercle :

• a dans ]0 ; π/2[ : cos x > 0 et sin x > 0 ;
• a dans ]π/2 ; π[ : cos x < 0 et sin x > 0 ;
• a dans ]−π ; −π/2[ : cos x < 0 et sin x < 0 ;
• a dans ]−π/2 ; 0[ : cos x > 0 et sin x < 0.

Exemple 1 · Un réel positif qui fait plus d'un tour

Énoncé. Placer le point M associé au réel 17π/6 et donner le signe de cos(17π/6) et de sin(17π/6).

Rédaction. 17π/6 = 12π/6 + 5π/6 = 5π/6 + 2π. Les réels 17π/6 et 5π/6 diffèrent de 2π, ils ont donc la même image sur le cercle. Or 5π/6 = π − π/6 est compris entre π/2 et π : le point M est dans le quart supérieur gauche, à π/6 du point (−1 ; 0). Donc cos(17π/6) < 0 et sin(17π/6) > 0. Avec les valeurs remarquables, cos(17π/6) = −√3/2 et sin(17π/6) = 1/2.

Exemple 2 · Un réel négatif

Énoncé. Même question pour −11π/4.

Rédaction. −11π/4 = −8π/4 − 3π/4 = −3π/4 − 2π. Le réel −11π/4 a la même image que −3π/4, qui est dans ]−π ; −π/2[. On part de I dans le sens indirect, on dépasse le point (0 ; −1) et on s'arrête à π/4 avant le point (−1 ; 0) : M est dans le quart inférieur gauche, sur la droite d'équation y = x. Donc cos(−11π/4) < 0 et sin(−11π/4) < 0 ; tous deux valent −√2/2.

Exemple 3 · Un grand numérateur et un piège de parité

Énoncé. Placer le point associé à 2026π/3.

Rédaction. 2026 = 6 × 337 + 4, donc 2026π/3 = 337 × 2π + 4π/3, et le réel a même image que 4π/3. Comme 4π/3 > π, on retire encore un tour : 4π/3 − 2π = −2π/3, qui est dans ]−π ; −π/2[. Le point est dans le quart inférieur gauche, et cos(2026π/3) = −1/2, sin(2026π/3) = −√3/2.

Écrire 2026 = 3 × 675 + 1, donc 2026π/3 = 675π + π/3, puis conclure au point de π/3, est faux : 675 est impair, 675π n'est pas un multiple de 2π. Diviser le numérateur par 6, le double du dénominateur, évite l'erreur.

Ce que montre la figure : M(5π/6) et ses deux coordonnées

La figure reprend l'exemple 1 et se construit dans cet ordre : l'arc doré part de I dans le sens direct jusqu'à M(5π/6), longueur 5π/6 ≈ 2,62 ; le rayon OM se pose ; les pointillés projettent M sur les axes ; le segment rouge, à gauche de O, représente cos(5π/6) = −√3/2 ; le segment vert représente sin(5π/6) = 1/2 ; enfin s'affiche cos²x + sin²x = 1, qui est le théorème de Pythagore dans le triangle formé par O, M et son projeté. Le réel 17π/6 tombe sur le même point après un tour de plus.

Degrés, tours, signes : où se perdent les points

• La calculatrice restée en degrés : cos(π/3) donne environ 0,9998 au lieu de 0,5. Tester sur cos(π) = −1 avant le devoir.
• Retirer un multiple de π au lieu de 2π (exemple 3).
• Placer −π/3 dans le sens direct : un réel négatif se place dans le sens des aiguilles d'une montre, sous l'axe des abscisses.
• Écrire « cos(5π/6) = 5π/6 » ou « M a pour abscisse x » : x est une longueur d'arc, l'abscisse de M(x) est cos x.
• Écrire « cos x = −√3/2 donc x = 5π/6 » : deux points du cercle ont pour abscisse −√3/2, ceux de 5π/6 et de −5π/6, et chacun correspond à une infinité de réels.

Trois exercices corrigés sur le cercle trigonométrique

Exercice 1 · Convertir dans les deux sens

Énoncé. Convertir 225° et 20° en radians, puis 7π/12 et 2 rad en degrés.

Correction. 225° = 225 × π/180 = 5π/4 rad, et 20° = 20 × π/180 = π/9 rad. Dans l'autre sens, 7π/12 rad = (7/12) × 180° = 105°, et 2 rad = 2 × 180/π ≈ 114,6°. Pour 2 rad, il n'y a pas de valeur exacte « en π » : 2 n'est pas une fraction de π, et la valeur approchée est la bonne réponse.

Exercice 2 · Deux réels à ramener dans ]−π ; π]

Énoncé. Pour chacun des réels 31π/4 et −25π/6, trouver le réel a de ]−π ; π] qui a la même image sur le cercle, puis donner les signes du cosinus et du sinus.

Correction. 31 = 8 × 3 + 7, donc 31π/4 = 3 × 2π + 7π/4. Comme 7π/4 > π, on retire un tour : 7π/4 − 2π = −π/4. Ainsi a = −π/4 : le point est dans le quart inférieur droit, cos(31π/4) = √2/2 > 0 et sin(31π/4) = −√2/2 < 0.

−25π/6 = −24π/6 − π/6 = −2 × 2π − π/6, donc a = −π/6 : le point est dans le quart inférieur droit, cos(−25π/6) = √3/2 > 0 et sin(−25π/6) = −1/2 < 0.

Exercice 3 · Tous les réels d'un intervalle, puis un sinus à partir d'un cosinus

Énoncé. a) Déterminer tous les réels de l'intervalle ]−4π ; 4π] qui ont la même image que 7π/3 sur le cercle trigonométrique. b) On sait que cos x = −0,8 et que x ∈ [0 ; π]. Calculer sin x.

Correction. a) 7π/3 = π/3 + 2π, donc les réels cherchés sont ceux de la forme π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ. On veut −4π < π/3 + 2kπ ≤ 4π, soit, en divisant par π puis en isolant k, −13/6 < k ≤ 11/6. Les entiers solutions sont k = −2, −1, 0 et 1, ce qui donne les réels −11π/3, −5π/3, π/3 et 7π/3.

b) Pour tout réel x, cos²x + sin²x = 1, donc sin²x = 1 − 0,64 = 0,36, et sin x = 0,6 ou sin x = −0,6. Comme x ∈ [0 ; π], le point M(x) est sur le demi-cercle supérieur, donc sin x ≥ 0. Ainsi sin x = 0,6. Sans l'information sur l'intervalle, on ne pouvait pas trancher : c'est elle que le correcteur attend de voir citée.

Pour aller plus loin : les valeurs remarquables du cosinus et du sinus et les angles associés se lisent sur ce cercle, et le produit scalaire s'en sert dans sa formule en cosinus.