Valeurs remarquables du cosinus et du sinus : d'où sortent √2/2 et √3/2

Un cosinus se lit sur le cercle trigonométrique comme l'abscisse d'un point, un sinus comme son ordonnée (construction dans l'article sur le cercle trigonométrique, carte du chapitre dans la trigonométrie en première). Le programme de première applicable à la rentrée 2026 demande de connaître les valeurs remarquables, de démontrer celles de π/4 et π/3, et « par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d'angles associés à x ». Les fonctions cosinus et sinus, leurs courbes, leur parité et leur périodicité ont quitté la première en 2026. Ces valeurs servent ensuite dans le produit scalaire et le théorème d'Al-Kashi.

Le tableau des cinq angles

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
en degrés	0°	30°	45°	60°	90°
cos x	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin x	0	1/2	√2/2	√3/2	1

Quand x augmente de 0 à π/2, le point monte sur le cercle : le sinus augmente, le cosinus diminue. Le sinus s'écrit √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, et le cosinus suit la même liste à l'envers. Les valeurs de 0 et π/2 se lisent directement, puisque M(0) = I(1 ; 0) et M(π/2) = J(0 ; 1).

Les démonstrations : demi-carré, triangle équilatéral, symétrie

π/4. M(π/4) est au milieu de l'arc qui va de I à J, donc sur la droite d'équation y = x : cos(π/4) = sin(π/4). Notons c cette valeur, positive car M est dans le premier quart. cos²x + sin²x = 1 donne c² + c² = 1, soit c² = 1/2, donc c = 1/√2 = √2/2. C'est la diagonale d'un carré de côté 1, de longueur √2, qui se cache derrière.

π/3. Soit M = M(π/3). OI = OM = 1 et l'angle IOM mesure 60°. Le triangle OIM est isocèle en O, donc ses angles en I et en M sont égaux, de somme 180° − 60° = 120° : chacun mesure 60°, le triangle est équilatéral. Le pied H de la hauteur issue de M est aussi le milieu de [OI], donc OH = 1/2. Comme M est dans le premier quart, son abscisse est OH : cos(π/3) = 1/2. Puis sin²(π/3) = 1 − 1/4 = 3/4, et sin(π/3) > 0, donc sin(π/3) = √3/2.

π/6. La symétrie d'axe y = x échange I et J, conserve le cercle et envoie M(x) sur M(π/2 − x) ; elle échange abscisse et ordonnée, donc cos(π/2 − x) = sin x et sin(π/2 − x) = cos x. Avec x = π/3 : cos(π/6) = sin(π/3) = √3/2 et sin(π/6) = cos(π/3) = 1/2.

Les angles associés, lus sur le cercle

Chaque formule d'angle associé est une symétrie du cercle appliquée au point M(x).

Méthode : écrire l'angle sous la forme π − π/6, π + π/4, −π/3…, en faisant apparaître un angle du tableau ; tracer un cercle à main levée, placer M(x) dans le premier quart et le point cherché ; les signes se voient, c'est la lecture du cercle que demande le programme.

Exemple 1 · Un angle du deuxième quart

Énoncé. Calculer cos(5π/6) et sin(5π/6).

Rédaction. 5π/6 = π − π/6. Le point M(5π/6) est le symétrique de M(π/6) par rapport à l'axe des ordonnées. Donc cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2 et sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.

Exemple 2 · Un angle négatif du troisième quart

Énoncé. Calculer cos(−3π/4) et sin(−3π/4).

Rédaction. −3π/4 = −π + π/4, et M(−π + π/4) = M(π + π/4) puisque les deux réels diffèrent de 2π. M(π + π/4) est le symétrique de M(π/4) par rapport à O. Donc cos(−3π/4) = −cos(π/4) = −√2/2 et sin(−3π/4) = −sin(π/4) = −√2/2.

Exemple 3 · Retrouver un cosinus à partir d'un sinus

Énoncé. x est un réel de [−π/2 ; 0] tel que sin x = −5/13. Calculer cos x.

Rédaction. Pour tout réel x, cos²x + sin²x = 1, donc cos²x = 1 − 25/169 = 144/169, et cos x = 12/13 ou cos x = −12/13. Comme x ∈ [−π/2 ; 0], M(x) est dans le quart inférieur droit, où l'abscisse est positive ou nulle. Donc cos x = 12/13.

Ce que montre la figure : trois points, et leurs coordonnées qui s'échangent

Le quart de cercle se trace de I à J, puis M(π/6) en rouge, M(π/4) en or et M(π/3) en vert se placent l'un après l'autre, chacun avec ses projections en pointillés et ses deux coordonnées lues sur les axes. Les cosinus se rangent de droite à gauche sur l'axe des abscisses (√3/2 ≈ 0,87, √2/2 ≈ 0,71, 1/2), les sinus dans l'ordre inverse sur l'axe des ordonnées. M(π/6) a pour coordonnées (√3/2 ; 1/2), M(π/3) les mêmes nombres dans l'autre ordre : les deux points sont symétriques par rapport à la droite y = x, qui porte M(π/4).

Les erreurs sur les valeurs remarquables qui coûtent des points

• Inverser π/6 et π/3 : cos(π/3) = √3/2 au lieu de 1/2. M(π/3) est plus proche de J que de I, son abscisse est petite.
• Oublier le signe après cos²x + sin²x = 1 : écrire « cos x = √(1 − sin²x) » sans regarder l'intervalle est une faute de raisonnement, même si le résultat tombe juste.
• Inventer des règles de calcul : cos(π − x) = cos π − cos x, ou sin(2x) = 2 sin x. Avec x = π/6, sin(2x) = √3/2 alors que 2 sin(π/6) = 1.
• Traiter 1/√2 et √2/2 comme deux valeurs différentes : ce sont les mêmes.

Trois exercices corrigés sur les valeurs remarquables

Exercice 1 · Quatre valeurs et une somme

Énoncé. Calculer cos(2π/3), sin(7π/6), cos(−π/4) et sin(11π/6), puis A = cos(π/6) + cos(5π/6) + cos(π).

Correction. 2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2. 7π/6 = π + π/6, donc sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2. cos(−π/4) = cos(π/4) = √2/2. 11π/6 = 2π − π/6, qui a la même image que −π/6, donc sin(11π/6) = sin(−π/6) = −1/2.

Pour A : cos(5π/6) = −cos(π/6), donc cos(π/6) + cos(5π/6) = 0, et A = cos π = −1.

Exercice 2 · Simplifier une expression en x

Énoncé. Pour tout réel x, simplifier B = cos(π − x) + cos(π + x) + 2 cos(−x) et C = sin(π − x) − sin(−x) + cos(π/2 − x).

Correction. cos(π − x) = −cos x, cos(π + x) = −cos x et cos(−x) = cos x, donc B = −cos x − cos x + 2 cos x = 0.

sin(π − x) = sin x, sin(−x) = −sin x et cos(π/2 − x) = sin x, donc C = sin x + sin x + sin x = 3 sin x. On peut contrôler avec x = π/2 : sin(π/2) − sin(−π/2) + cos 0 = 1 + 1 + 1 = 3 = 3 sin(π/2).

Exercice 3 · Deux équations lues sur le cercle, et un piège de signe

Énoncé. a) Déterminer les réels x de ]−π ; π] tels que cos x = −1/2. b) Déterminer les réels x de [0 ; 2π[ tels que sin x = √3/2. c) On sait que x ∈ [π/2 ; π] et cos x = −√3/2. Calculer sin x, puis en déduire x.

Correction. a) cos(π/3) = 1/2, et l'abscisse −1/2 est celle des points symétriques de M(π/3) par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à O, soit M(π − π/3) = M(2π/3) et M(−2π/3). Les solutions dans ]−π ; π] sont 2π/3 et −2π/3.

b) sin(π/3) = √3/2, et le seul autre point du cercle d'ordonnée √3/2 est le symétrique de M(π/3) par rapport à l'axe des ordonnées, M(π − π/3) = M(2π/3). Les solutions dans [0 ; 2π[ sont π/3 et 2π/3.

c) sin²x = 1 − 3/4 = 1/4. Comme x ∈ [π/2 ; π], M(x) est dans le quart supérieur gauche, où l'ordonnée est positive ou nulle : sin x = 1/2. Le point de coordonnées (−√3/2 ; 1/2) est M(5π/6), et 5π/6 est le seul réel de [π/2 ; π] associé à ce point. Donc x = 5π/6.