Convexité d'une fonction : sécantes, tangentes, signe de f″ et points d'inflexion

La dérivée dit si la courbe monte ou descend ; la convexité dit comment elle tourne. L'exponentielle est croissante et tourne vers le haut, le logarithme croissant et tourne vers le bas. Le programme de terminale de 2019 range la notion dans les « compléments sur la dérivation », avec la dérivée seconde. Elle s'appuie sur l'équation de la tangente et sert dans les études de fonctions, aux côtés du théorème des valeurs intermédiaires.

La définition du programme, par les sécantes

Soit f définie sur un intervalle I et C sa courbe. f est convexe sur I si, pour tous réels a < b de I, la portion de C entre A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) est située en dessous du segment [AB] ; concave sur I si elle est au-dessus. En formule : f est convexe sur I lorsque, pour tous a < b dans I et tout x de [a ; b], f(x) ≤ f(a) + (f(b) − f(a))/(b − a) × (x − a).

Références : x ↦ x² et x ↦ eˣ sont convexes sur ℝ ; √ et ln sont concaves sur ]0 ; +∞[ ; x ↦ x³ est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[ ; x ↦ 1/x est concave sur ]−∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[ (pas « convexe sur ℝ* » : la notion se définit sur un intervalle). Une fonction affine est à la fois convexe et concave.

Tangentes, f′ et f″ : les critères équivalents

Si f est deux fois dérivable sur l'intervalle I, les propositions suivantes sont équivalentes (résultat admis) : f est convexe sur I ; la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes en un point d'abscisse dans I ; f′ est croissante sur I ; f″(x) ≥ 0 pour tout x de I. Pour une fonction concave : courbe en dessous de ses tangentes, f′ décroissante, f″ ≤ 0. Le critère par f′ se voit sur un dessin : f′(x) est la pente de la tangente ; si les pentes augmentent vers la droite, la courbe tourne vers le haut.

La démonstration au programme : si f″ ≥ 0, la courbe est au-dessus de ses tangentes

Soit f deux fois dérivable sur I avec f″ ≥ 0 sur I, et a un réel de I. La tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). On pose, pour x dans I, d(x) = f(x) − f′(a)(x − a) − f(a), l'écart entre la courbe et la tangente.

d est dérivable et d′(x) = f′(x) − f′(a). Comme f″ ≥ 0, f′ est croissante sur I. Donc pour x ≤ a, f′(x) ≤ f′(a), soit d′(x) ≤ 0 ; pour x ≥ a, d′(x) ≥ 0. d est décroissante sur I ∩ ]−∞ ; a] et croissante sur I ∩ [a ; +∞[ : elle admet un minimum en a, égal à d(a) = f(a) − 0 − f(a) = 0.

Pour tout x de I, d(x) ≥ 0, c'est-à-dire f(x) ≥ f′(a)(x − a) + f(a) : la courbe est au-dessus de sa tangente en a.

Le point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente

Un point A de la courbe est un point d'inflexion si la courbe traverse sa tangente en A : la fonction change de convexité. Pour f deux fois dérivable, si f″ s'annule en a en changeant de signe, le point d'abscisse a est un point d'inflexion. Le changement de signe est indispensable : x ↦ x⁴ a pour dérivée seconde 12x², nulle en 0 mais positive des deux côtés ; elle est convexe sur ℝ, sans point d'inflexion. À l'inverse, x ↦ x³ a pour dérivée seconde 6x, qui change de signe en 0 : l'origine est un point d'inflexion, et la courbe y traverse l'axe des abscisses, sa tangente.

Sur un graphique de f′, un point d'inflexion de f correspond à un extremum de f′.

Étudier la convexité dans un devoir

1. Calculer f′, puis f″, en justifiant que f est deux fois dérivable.
2. Étudier le signe de f″ : factoriser, utiliser que eˣ > 0, dresser un tableau.
3. Conclure intervalle par intervalle : f″ ≥ 0, convexe ; f″ ≤ 0, concave.
4. Là où f″ s'annule en changeant de signe, donner le point d'inflexion avec ses deux coordonnées.
5. Pour une inégalité, repérer la tangente ou la sécante qui la produit, puis citer la convexité ou la concavité sur le bon intervalle.

Exemple 1 · Un polynôme de degré 3

Énoncé. Étudier la convexité de f(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ et donner l'équation de la tangente au point d'inflexion.

Rédaction. f est un polynôme, deux fois dérivable sur ℝ. f′(x) = 3x² − 6x et f″(x) = 6x − 6 = 6(x − 1). f″(x) ≤ 0 pour x ≤ 1, f″(x) ≥ 0 pour x ≥ 1. f est concave sur ]−∞ ; 1] et convexe sur [1 ; +∞[. f″ s'annule en 1 en changeant de signe : le point I(1 ; f(1)) = (1 ; 0) est un point d'inflexion.

f′(1) = 3 − 6 = −3 ; la tangente en I a pour équation y = −3(x − 1) + 0, soit y = −3x + 3.

Exemple 2 · Démontrer ln(x) ≤ x − 1 par concavité

Énoncé. Montrer que pour tout réel x > 0, ln(x) ≤ x − 1.

Rédaction. ln est deux fois dérivable sur ]0 ; +∞[, avec ln′(x) = 1/x et ln″(x) = −1/x² < 0. ln est donc concave sur ]0 ; +∞[, et sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation y = ln′(1)(x − 1) + ln(1) = x − 1. Donc pour tout x > 0, ln(x) ≤ x − 1, avec égalité seulement en x = 1.

Sécantes et tangente sur la courbe de x³ − 3x² + 2

La figure reprend l'exemple 1 : la courbe se trace, puis la sécante du côté concave, celle du côté convexe, et enfin la tangente au point d'inflexion. À gauche de x = 1, la sécante entre les abscisses −1 et 0,5 est en dessous de la courbe (concave). À droite, la sécante entre 1,5 et 3 passe au-dessus (convexe). Au point I(1 ; 0), la tangente dorée y = −3x + 3 est au-dessus de la courbe à gauche et en dessous à droite : la courbe la traverse, puisque f(x) − (−3x + 3) = (x − 1)³ change de signe en 1, là où f″(x) = 6x − 6 change de signe.

Les erreurs sur la convexité qui coûtent des points

• Convexe et croissante. x ↦ e⁻ˣ est décroissante et convexe ; ln est croissante et concave. La convexité se lit sur f″, jamais sur le signe de f′.
• Extremum et inflexion. Pour f(x) = xe⁻ˣ, f′(x) = (1 − x)e⁻ˣ et f″(x) = (x − 2)e⁻ˣ : le maximum est en x = 1, le point d'inflexion en x = 2.
• « f″(a) = 0, donc point d'inflexion ». Faux sans changement de signe (x⁴).
• Lire la mauvaise courbe. Sur la courbe de f′, f est convexe là où cette courbe monte, pas là où elle est au-dessus de l'axe. Sur la courbe de f″, c'est le signe qui compte.
• Oublier l'intervalle, ou donner un point d'inflexion sans son ordonnée.

S'entraîner : un degré 4, une sécante de l'exponentielle, ln(1 + x²)

Exercice 1 · Convexité d'un polynôme de degré 4

Énoncé. Étudier la convexité de f(x) = x⁴ − 6x² + 1 sur ℝ et déterminer ses points d'inflexion.

Correction. f′(x) = 4x³ − 12x et f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1). f″ est positive sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[, négative sur [−1 ; 1]. f est convexe sur ]−∞ ; −1], concave sur [−1 ; 1], convexe sur [1 ; +∞[. f″ change de signe en −1 et en 1 ; f(−1) = f(1) = 1 − 6 + 1 = −4. Les points d'inflexion sont (−1 ; −4) et (1 ; −4).

Exercice 2 · Une inégalité par une sécante

Énoncé. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], eˣ ≤ 1 + (e − 1)x.

Correction. exp est deux fois dérivable sur ℝ et exp″ = exp > 0 : exp est convexe sur ℝ. Sa courbe est donc, entre les points A(0 ; 1) et B(1 ; e), en dessous du segment [AB]. La droite (AB) a pour coefficient directeur (e − 1)/(1 − 0) = e − 1 et passe par A : son équation est y = 1 + (e − 1)x. Pour tout x de [0 ; 1], eˣ ≤ 1 + (e − 1)x.

Pour x = 0,5, on obtient √e ≤ (1 + e)/2, soit environ 1,649 ≤ 1,859.

Exercice 3 · La fonction ln(1 + x²)

Énoncé. Soit f(x) = ln(1 + x²) sur ℝ. Étudier sa convexité, préciser ses points d'inflexion et la tangente au point d'abscisse 1.

Correction. 1 + x² > 0, donc f est définie et deux fois dérivable sur ℝ. Par la dérivée de ln(u), f′(x) = 2x/(1 + x²). Par la formule du quotient, f″(x) = [2(1 + x²) − 2x × 2x]/(1 + x²)² = 2(1 − x²)/(1 + x²)².

Le dénominateur est strictement positif ; f″(x) a le signe de 1 − x², positif sur [−1 ; 1], négatif ailleurs. f est concave sur ]−∞ ; −1], convexe sur [−1 ; 1], concave sur [1 ; +∞[. Points d'inflexion : (−1 ; ln 2) et (1 ; ln 2).

f′(1) = 2/2 = 1 : la tangente en (1 ; ln 2) a pour équation y = x − 1 + ln 2. Comme c'est un point d'inflexion, la courbe traverse cette tangente.