Croissances comparées : l'exponentielle bat toute puissance de x, qui bat le logarithme

Quand une exponentielle, une puissance de x et un logarithme s'affrontent dans une forme indéterminée, les règles opératoires ne disent rien : les croissances comparées tranchent. Elles relèvent des limites de fonctions et du logarithme népérien. Le programme de spécialité de 2019, en vigueur en terminale, demande de savoir démontrer la croissance comparée de xⁿ et de eˣ en +∞, et la limite de x ln(x) en 0.

Les quatre limites à connaître, avec leurs conditions

Les cas les plus utilisés sont n = 1 : eˣ/x tend vers +∞, xeˣ tend vers 0 en −∞, ln(x)/x tend vers 0 en +∞ et x ln(x) tend vers 0 en 0. Ces résultats concernent des formes indéterminées : eˣ/xⁿ en +∞ est du type ∞/∞, xⁿeˣ en −∞ du type ∞ × 0 (n ≥ 1). En revanche xⁿe⁻ˣ en −∞ n'a rien d'indéterminé : le produit part vers l'infini avec le signe de (−1)ⁿ, et y écrire « par croissance comparée » est une faute.

La démonstration au programme : eˣ/x tend vers +∞

On commence par n = 1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = eˣ − x²/2. Elle est dérivable et g′(x) = eˣ − x.

g′ est elle-même dérivable, avec g″(x) = eˣ − 1 ≥ 0 pour x ≥ 0 : g′ est croissante sur [0 ; +∞[, donc g′(x) ≥ g′(0) = 1 > 0. Ainsi g est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Comme g(0) = 1, on obtient g(x) > 0 pour tout x ≥ 0, c'est-à-dire eˣ > x²/2.

Pour x > 0, on divise par x : eˣ/x > x/2. Or lim_x→+∞ x/2 = +∞. Par comparaison, lim_x→+∞ eˣ/x = +∞.

Passer de x à xⁿ par un changement d'écriture

Soit n ≥ 1 et x > 0. On pose X = x/n. Alors e^X/X = n e^x/n/x, et en élevant à la puissance n :

(e^X/X)ⁿ = nⁿ eˣ/xⁿ, donc eˣ/xⁿ = (1/nⁿ) × (e^X/X)ⁿ.

Quand x tend vers +∞, X aussi ; par composition, e^X/X tend vers +∞, sa puissance n-ième aussi, et la multiplication par la constante strictement positive 1/nⁿ ne change rien. Pour n = 0 le résultat se réduit à lim eˣ = +∞. Enfin xⁿe⁻ˣ = 1/(eˣ/xⁿ) tend vers 0.

En −∞, poser X = −x

Pour x < 0, posons X = −x > 0. Alors xⁿeˣ = (−X)ⁿe^−X = (−1)ⁿ × Xⁿe^−X. Quand x tend vers −∞, X tend vers +∞ et Xⁿe^−X tend vers 0. Le facteur (−1)ⁿ vaut 1 ou −1 : la limite est 0.

Le côté logarithme se déduit du côté exponentielle

On pose X = ln(x), c'est-à-dire x = e^X.

En +∞. Pour x > 0, ln(x)/x = X/e^X. Quand x tend vers +∞, X aussi, et X/e^X tend vers 0 (inverse de e^X/X). Pour n ≥ 2, ln(x)/xⁿ = (ln(x)/x) × 1/xⁿ⁻¹, produit de deux facteurs qui tendent vers 0.

En 0 (démonstration du programme). Pour x > 0, x ln(x) = Xe^X. Quand x tend vers 0 par valeurs positives, X tend vers −∞, et Xe^X tend vers 0 par la croissance comparée en −∞. Donc lim_{x→0, x>0} x ln(x) = 0. Pour n ≥ 2, xⁿ ln(x) = xⁿ⁻¹ × x ln(x), produit de deux facteurs qui tendent vers 0.

Lever une forme indéterminée par le terme qui l'emporte

1. Calculer la limite de chaque morceau et écrire la forme indéterminée (∞ − ∞, ∞/∞, 0 × ∞).
2. Repérer le terme dominant : eˣ en +∞, la puissance de x devant ln.
3. Factoriser par ce terme, ou couper le quotient, pour faire apparaître exactement une forme du cours.
4. Si l'expression n'a pas tout à fait la bonne forme (e^2x, ln(x) devant √x, n² devant 2ⁿ), poser un changement de variable et le dire.
5. Conclure avec les règles opératoires, en citant « par croissance comparée » à l'endroit précis où on l'utilise.

Exemple 1 · eˣ − x³ en +∞

Rédaction. lim_x→+∞ eˣ = +∞ et lim_x→+∞ x³ = +∞ : forme indéterminée ∞ − ∞. Pour tout x, eˣ − x³ = eˣ(1 − x³/eˣ) = eˣ(1 − x³e⁻ˣ). Par croissance comparée, lim_x→+∞ x³e⁻ˣ = 0, donc 1 − x³e⁻ˣ tend vers 1. Par produit, lim_x→+∞ (eˣ − x³) = +∞.

Exemple 2 · ln(x)/√x en +∞, par changement de variable

Rédaction. Forme ∞/∞. √x n'est pas de la forme xⁿ avec n entier ; on pose X = √x, de sorte que x = X² et ln(x) = 2 ln(X) pour x > 0. Alors ln(x)/√x = 2 ln(X)/X. Quand x tend vers +∞, X tend vers +∞, et lim_X→+∞ ln(X)/X = 0 par croissance comparée. Par composition, lim_x→+∞ ln(x)/√x = 0.

Exemple 3 · La fonction f(x) = (x + 2)eˣ en −∞

Énoncé. Déterminer la limite de f en −∞ et en interpréter le résultat graphiquement.

Rédaction. En −∞, x + 2 tend vers −∞ et eˣ vers 0 : forme indéterminée. Pour tout réel x, f(x) = xeˣ + 2eˣ. Par croissance comparée, lim_x→−∞ xeˣ = 0 ; et lim_x→−∞ 2eˣ = 0. Par somme, lim_x→−∞ f(x) = 0. La droite d'équation y = 0, l'axe des abscisses, est asymptote à la courbe de f en −∞.

Développer avant de passer à la limite débloque souvent les fonctions de la forme (ax + b)eˣ.

eˣ contre x³ : la course lue sur le graphique

La figure trace y = eˣ, puis y = x³, pour x entre 0 et 5,5 ; les deux croisements apparaissent ensuite l'un après l'autre, et enfin les valeurs en x = 5,5. Au départ, l'exponentielle est au-dessus. Vers x ≈ 1,86, x³ passe devant et y reste jusqu'à x ≈ 4,54 : sur cette plage, un graphique ferait croire que x³ gagne. Au-delà, l'exponentielle repasse au-dessus pour toujours ; en x = 5,5, eˣ ≈ 245 contre x³ ≈ 166. Avec x¹⁰, le croisement définitif arriverait vers x ≈ 35,8, mais il arriverait.

« Par croissance comparée » : les usages fautifs

• Écrire « ∞/∞ = 1 ». Deux expressions qui tendent vers l'infini ne vont pas à la même vitesse.
• Invoquer le résultat hors forme indéterminée : x ln(x) tend vers 0 en 0, mais vers +∞ en +∞ sans aucune difficulté.
• L'appliquer à une expression qui n'a pas la bonne forme. e^2x/x³ demande d'abord X = 2x : e^2x/x³ = 8e^X/X³. La copie qui saute l'étape perd la justification.
• Oublier x > 0 dans lim_x→0 x ln(x) : ln n'est défini que sur ]0 ; +∞[.

S'entraîner : un quotient, un logarithme au carré, une suite

Exercice 1 · Un quotient en +∞

Énoncé. Déterminer lim_x→+∞ (eˣ + x)/x².

Correction. Le numérateur et le dénominateur tendent vers +∞ : forme indéterminée. Pour x > 0, on coupe le quotient : (eˣ + x)/x² = eˣ/x² + 1/x. Par croissance comparée, lim_x→+∞ eˣ/x² = +∞, et lim_x→+∞ 1/x = 0. Par somme, la limite cherchée est +∞.

Exercice 2 · x(ln x)² en 0

Énoncé. Déterminer lim_{x→0, x>0} x(ln x)².

Correction. x tend vers 0 et (ln x)² vers +∞ : forme 0 × ∞, qui n'est pas directement celle du cours à cause du carré. Pour x > 0, x(ln x)² = (√x ln x)². On pose X = √x : ln x = 2 ln X, donc √x ln x = 2X ln X. Quand x tend vers 0 par valeurs positives, X aussi, et X ln X tend vers 0 par croissance comparée. Donc √x ln x tend vers 0, et son carré aussi : lim_{x→0, x>0} x(ln x)² = 0.

Exercice 3 · La suite n²/2ⁿ

Énoncé. Soit uₙ = n²/2ⁿ pour tout entier naturel n. Déterminer la limite de (uₙ).

Correction. On écrit 2ⁿ = e^{n ln 2}, donc uₙ = f(n) avec f(x) = x²e^{−x ln 2}. Posons X = x ln 2 (ln 2 > 0) : x = X/ln 2 et f(x) = X²e^−X/(ln 2)². Quand x tend vers +∞, X aussi, et X²e^−X tend vers 0 par croissance comparée. Donc lim_x→+∞ f(x) = 0, et comme uₙ = f(n), lim_n→+∞ uₙ = 0.

Les premiers termes (u₁ = 0,5 ; u₂ = 1 ; u₃ = 1,125 ; u₄ = 1 ; u₅ ≈ 0,78) montrent que la suite commence par croître : la limite ne se lit pas sur trois termes.