Écart type : la formule, le calcul à la main et ce que le nombre dit d'une série

L'écart type entre au programme en seconde. Le programme applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) l'inscrit comme indicateur de dispersion, demande de décrire les différences entre deux séries à l'aide du couple moyenne–écart type ou du couple médiane–écart interquartile, et demande de lire et comprendre une fonction Python qui renvoie une moyenne ou un écart type. La moyenne, la médiane et les quartiles sont acquis depuis la 3e (moyenne et médiane).

Pourquoi on élève les écarts au carré

Pour mesurer l'éloignement des valeurs à la moyenne, l'idée naturelle serait de faire la moyenne des écarts x_i − x̄. Elle vaut toujours 0 : les écarts positifs et négatifs se compensent exactement, par définition de la moyenne. On élève donc chaque écart au carré, ce qui le rend positif et pèse davantage sur les valeurs lointaines. La moyenne de ces carrés est la variance V. Elle s'exprime dans le carré de l'unité (des points², des euros²) ; sa racine carrée σ revient à l'unité des données, ce qui permet de la comparer à la moyenne.

Le calcul à la main, en tableau

La méthode qui évite les erreurs : une colonne par étape. On calcule la moyenne et on la garde exacte. On écrit, valeur par valeur, l'écart x_i − x̄, puis son carré, puis ce carré multiplié par l'effectif. On additionne la dernière colonne, on divise par l'effectif total N, et l'on prend la racine carrée. L'arrondi ne vient qu'à la fin. La colonne des écarts sert de contrôle : n₁(x₁ − x̄) + … + n_p(x_p − x̄) doit faire 0.

Exemple 1 · Deux séries de même moyenne

Énoncé. Deux élèves ont obtenu six notes. A : 10, 11, 12, 12, 13, 14. B : 6, 8, 12, 12, 16, 18. Comparer les deux séries.

Rédaction. Moyennes : (10 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14)/6 = 72/6 = 12 et (6 + 8 + 12 + 12 + 16 + 18)/6 = 72/6 = 12.

Série A : écarts −2, −1, 0, 0, 1, 2 ; carrés 4, 1, 0, 0, 1, 4 ; somme 10. V_A = 10/6 = 5/3 et σ_A = √(5/3) ≈ 1,29.

Série B : écarts −6, −4, 0, 0, 4, 6 ; carrés 36, 16, 0, 0, 16, 36 ; somme 104. V_B = 104/6 = 52/3 et σ_B = √(52/3) ≈ 4,16.

Conclusion. Les deux élèves ont la même moyenne, mais les notes de B sont plus de trois fois plus dispersées : σ_B ≈ 4,16 contre σ_A ≈ 1,29 point. La moyenne seule ne distingue pas ces deux profils.

Exemple 2 · Une série donnée avec ses effectifs

Énoncé. Dans une classe de 20 élèves, les notes se répartissent ainsi : 8 (2 élèves), 10 (4), 12 (8), 14 (4), 16 (2). Calculer l'écart type.

Rédaction. N = 2 + 4 + 8 + 4 + 2 = 20. x̄ = (2 × 8 + 4 × 10 + 8 × 12 + 4 × 14 + 2 × 16)/20 = 240/20 = 12.

Carrés des écarts multipliés par les effectifs : 2 × 16 + 4 × 4 + 8 × 0 + 4 × 4 + 2 × 16 = 96. V = 96/20 = 4,8 et σ = √4,8 ≈ 2,19 points. On divise par 20, l'effectif total, et non par 5, le nombre de valeurs différentes.

Lire un écart type et comparer deux séries

Un écart type ne s'interprète pas seul : il se rapporte à la moyenne et à l'unité. Un écart type de 2 points sur des notes sur 20 décrit une classe homogène ; 2 euros sur des prix de 3 euros, une série très dispersée. Pour comparer deux séries, le programme demande d'utiliser un couple d'indicateurs : moyenne et écart type, ou médiane et écart interquartile. La moyenne situe la série, l'écart type mesure son étalement.

L'intervalle [x̄ − σ ; x̄ + σ] donne une image concrète. Dans l'exemple 1, il vaut environ [10,7 ; 13,3] pour A et [7,8 ; 16,2] pour B. Aucune règle générale ne fixe la proportion de valeurs qu'il contient ; ici, quatre valeurs sur six dans les deux cas.

L'écart type, construit sur la moyenne et sur des carrés, est sensible aux valeurs extrêmes : une seule note très éloignée l'augmente fortement. Quand la série contient des valeurs aberrantes, le couple médiane–écart interquartile décrit mieux la majorité des données.

Transformer les données agit simplement sur σ. Ajouter une même constante b à toutes les valeurs déplace la moyenne de b mais ne change aucun écart : σ est inchangé. Multiplier toutes les valeurs par a multiplie chaque écart par a et chaque carré par a² : la variance est multipliée par a², l'écart type par |a|. Le programme cite la linéarité de la moyenne ; cette propriété de l'écart type se justifie par ce calcul.

La calculatrice : σx et non sx

En mode statistiques, les calculatrices affichent deux écarts types. σx (ou σ_n) divise par N : c'est celui du programme et de cet article. sx (ou σ_n−1) divise par N − 1 : il sert en statistique inférentielle, pour estimer la dispersion d'une population à partir d'un échantillon, ce qui n'est pas au programme de seconde. Pour la série A de l'exemple 1, σx ≈ 1,291 et sx = √(10/5) = √2 ≈ 1,414. Un tableur fait la même distinction (ECARTYPEP et ECARTYPE, selon les versions). Sur une copie, une valeur trouvée à la calculatrice s'accompagne de la formule et de la touche utilisée.

En Python, une telle fonction suit la définition : on calcule la moyenne avec une boucle, puis la somme des carrés des écarts dans une seconde boucle, on divise par la longueur de la liste et l'on prend la racine carrée (sqrt du module math).

Les erreurs sur l'écart type qui coûtent des points

• Donner la variance comme résultat, sans prendre la racine carrée.
• Oublier les effectifs, ou diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l'effectif total.
• Faire la moyenne des écarts sans les élever au carré, et trouver 0.
• Calculer (moyenne des valeurs)² au lieu de la moyenne des carrés des écarts.
• Arrondir la moyenne avant de calculer les écarts.
• Recopier sx au lieu de σx.
• Croire qu'ajouter 2 points à toutes les notes augmente l'écart type.

La figure : deux séries, une même moyenne

Deux axes gradués portent les séries de l'exemple 1. Les six notes de A se placent d'abord, groupées autour de 12, puis celles de B, étalées de 6 à 18 ; les deux notes égales à 12 s'empilent. La droite pointillée de la moyenne 12 traverse ensuite les deux axes : elle est la même. Enfin, deux bandes colorées s'ouvrent autour d'elle, de x̄ − σ à x̄ + σ : étroite pour A, d'environ 10,7 à 13,3, large pour B, d'environ 7,8 à 16,2. La largeur de la bande, 2σ, est ce que la moyenne ne montre pas.

S'entraîner sur trois séries

Exercice 1 · Cinq valeurs

Énoncé. Calculer la moyenne et l'écart type de la série 4, 7, 9, 10, 10, arrondi au centième.

Correction. x̄ = 40/5 = 8. Écarts : −4, −1, 1, 2, 2 (somme nulle, contrôle). Carrés : 16, 1, 1, 4, 4, somme 26. V = 26/5 = 5,2 et σ = √5,2 ≈ 2,28.

Exercice 2 · Une série regroupée en classes

Énoncé. Les temps de trajet, en minutes, de 30 élèves se répartissent ainsi : [0 ; 10[ : 5 élèves ; [10 ; 20[ : 10 ; [20 ; 30[ : 10 ; [30 ; 40[ : 5. En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, estimer la moyenne et l'écart type.

Correction. On remplace chaque classe par son centre : 5, 15, 25, 35. x̄ = (5 × 5 + 10 × 15 + 10 × 25 + 5 × 35)/30 = 600/30 = 20 minutes. Carrés des écarts pondérés : 5 × 225 + 10 × 25 + 10 × 25 + 5 × 225 = 2 750. V = 2 750/30 = 275/3 ≈ 91,67 et σ ≈ 9,57 minutes. Ce sont des estimations, puisque les valeurs exactes dans chaque classe sont inconnues.

Exercice 3 · Une note harmonisée

Énoncé. Dans une classe, les notes d'un devoir ont pour moyenne 10 et pour écart type 4. Le professeur décide de remplacer chaque note x par 0,8x + 4. Calculer la nouvelle moyenne et le nouvel écart type. Les notes sont-elles plus ou moins dispersées ?

Correction. Par linéarité de la moyenne, la nouvelle moyenne vaut 0,8 × 10 + 4 = 12. L'ajout de 4 ne change pas l'écart type, la multiplication par 0,8 le multiplie par 0,8 : σ = 0,8 × 4 = 3,2. La moyenne monte de deux points et les notes sont resserrées autour d'elle.

En première, la même formule s'applique à une variable aléatoire : la variance devient la moyenne pondérée par les probabilités des carrés des écarts à l'espérance, et la formule de König-Huygens, V = (moyenne des carrés) − (carré de la moyenne), entre au programme de 2026.