Espérance d'une variable aléatoire : la moyenne à long terme, le jeu équitable et la variance

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 (Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) inscrit dans ses contenus l'espérance, la variance, l'écart type, la linéarité de l'espérance et la formule de König-Huygens ; ces deux dernières sont désormais exigibles. Cette page suppose qu'on sait déterminer une loi, ce que détaille l'article sur la variable aléatoire en première.

La formule et l'équilibre de la figure

Soit X une variable aléatoire sur un univers fini, prenant les valeurs x₁, …, xₙ avec pᵢ = P(X = xᵢ). On pose E(X) = Σ xᵢpᵢ. C'est une moyenne pondérée dont les coefficients sont les probabilités, qui totalisent 1. Si l'on répète l'expérience N fois, la moyenne des N valeurs obtenues se rapproche de E(X) quand N devient grand ; le programme demande de le constater par simulation, avec Python ou un tableur.

E(X) n'est pas forcément une valeur que X peut prendre, et elle a l'unité de X : si X est en euros, E(X) aussi, et la conclusion doit le dire.

La figure représente la loi du gain brut G d'un jeu à deux pièces : 0 € avec la probabilité 1/4, 2 € avec 1/2, 10 € avec 1/4. Chaque barre est placée à l'abscisse de la valeur, sa hauteur est la probabilité ; les trois barres se posent l'une après l'autre, puis l'appui vient se placer en 3,5. Des masses proportionnelles aux probabilités posées sur une règle tiendraient en équilibre sur cet appui, en E(G) = 3,5, calculé dans l'exemple 2. La valeur 10, rare mais éloignée, tire l'équilibre vers la droite : l'espérance n'est ni au milieu des valeurs ni sur la barre la plus haute. Contrôle utile : une espérance hors de l'intervalle [plus petite valeur ; plus grande valeur] est fausse.

Linéarité et jeu équitable

Pour tous réels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b. Si a ≠ 0, aX + b prend les valeurs axᵢ + b avec les mêmes probabilités pᵢ ; si a = 0, aX + b est la constante b et le résultat est immédiat. Donc :

E(aX + b) = Σ (axᵢ + b)pᵢ = a Σ xᵢpᵢ + b Σ pᵢ = aE(X) + b × 1.

Le point décisif est Σ pᵢ = 1 : sans lui, on obtiendrait aE(X) + nb. Pour deux variables X et Y définies sur le même univers, E(X + Y) = E(X) + E(Y) : en écrivant E(X) = Σ X(ω)P({ω}) sur les issues, il suffit de séparer la somme en deux. Aucune indépendance n'est requise. L'usage de cette propriété pour les sommes de variables est développé en terminale, dans l'article sur la somme de variables aléatoires : l'espérance np d'une loi binomiale s'obtient ainsi.

Si X est le gain net d'un joueur, mise déduite, le jeu est équitable quand E(X) = 0, favorable quand E(X) > 0, défavorable quand E(X) < 0. Pour trouver la mise m qui rend le jeu équitable, la linéarité évite tout recalcul : le gain net est X = G − m, donc E(X) = E(G) − m, et le jeu est équitable pour m = E(G).

Variance, écart type, König-Huygens

Deux jeux de même espérance peuvent être très différents : l'un rapporte toujours à peu près la même chose, l'autre alterne pertes lourdes et gros gains. Avec μ = E(X), V(X) = E((X − μ)²) = Σ pᵢ(xᵢ − μ)² et σ(X) = √V(X). V(X) est une moyenne de carrés, donc V(X) ≥ 0, et σ(X) a l'unité de X : c'est σ qu'on interprète.

La formule de König-Huygens, V(X) = E(X²) − (E(X))², se démontre en développant (xᵢ − μ)² = xᵢ² − 2μxᵢ + μ² :

V(X) = Σ pᵢxᵢ² − 2μ Σ pᵢxᵢ + μ² Σ pᵢ = E(X²) − 2μ × μ + μ² × 1 = E(X²) − μ².

Ici E(X²) est l'espérance de la variable X², qui prend les valeurs xᵢ² avec les probabilités pᵢ. Une variance négative signale une erreur, souvent une confusion entre E(X²) et (E(X))².

Deux calculs rédigés comme sur une copie

Exemple 1 · Le jeu du dé est-il équitable ?

On lance un dé équilibré : le joueur perd 2 € avec 1, 2 ou 3, gagne 1 € avec 4 ou 5, gagne 4 € avec 6. Son gain net X a pour loi P(X = −2) = 1/2, P(X = 1) = 1/3, P(X = 4) = 1/6.

E(X) = −2 × 1/2 + 1 × 1/3 + 4 × 1/6 = −1 + 1/3 + 2/3 = 0. Le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne.

E(X²) = 4 × 1/2 + 1 × 1/3 + 16 × 1/6 = 2 + 1/3 + 8/3 = 5, donc V(X) = 5 − 0² = 5 et σ(X) = √5 ≈ 2,24 €. Le jeu est équitable mais loin d'être sans risque.

Exemple 2 · Fixer la mise d'un jeu équitable

On lance deux pièces équilibrées. Le joueur reçoit 10 € s'il obtient deux piles, 2 € s'il en obtient un seul, rien sinon. On note G le montant reçu. Quelle mise m rend le jeu équitable ?

Les quatre issues PP, PF, FP, FF sont équiprobables, donc P(G = 10) = 1/4, P(G = 2) = 2/4 = 1/2, P(G = 0) = 1/4. Alors E(G) = 10 × 1/4 + 2 × 1/2 + 0 × 1/4 = 3,5. Le gain net est X = G − m, et par linéarité E(X) = E(G) − m = 3,5 − m. Le jeu est équitable si et seulement si m = 3,5 €. Avec une mise de 4 €, on aurait E(X) = −0,5 : le joueur perdrait en moyenne 50 centimes par partie.

Les erreurs sur l'espérance qui coûtent des points

• Calculer l'espérance du gain brut et conclure sur l'équité sans retirer la mise.
• Écrire E(X) = (x₁ + … + xₙ)/n, moyenne simple qui n'est juste que si toutes les valeurs sont équiprobables.
• Confondre E(X²) et (E(X))² dans König-Huygens ; oublier la racine quand on demande l'écart type.
• S'arrêter à « E(X) = −0,5 » : la dernière ligne doit être une phrase, « le jeu est défavorable, le joueur perd en moyenne 0,50 € par partie ».

Trois exercices corrigés sur l'espérance

Exercice 1 · Espérance, variance et changement d'échelle

X prend les valeurs 1, 2, 3, 4 avec les probabilités 0,1 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,2. Calculer E(X), V(X) et σ(X). On pose Y = 10X − 5 ; calculer E(Y).

Correction. E(X) = 1 × 0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,4 + 4 × 0,2 = 0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7. E(X²) = 1 × 0,1 + 4 × 0,3 + 9 × 0,4 + 16 × 0,2 = 0,1 + 1,2 + 3,6 + 3,2 = 8,1. Par König-Huygens, V(X) = 8,1 − 2,7² = 8,1 − 7,29 = 0,81, donc σ(X) = √0,81 = 0,9. Par linéarité, E(Y) = 10 × 2,7 − 5 = 22.

Exercice 2 · Une carte tirée dans un jeu de 32

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 as, 12 figures : rois, dames, valets, et 16 autres cartes). Un as rapporte 15 €, une figure 3 €, une autre carte rien. Le joueur paie m euros pour jouer. Pour quelle valeur de m le jeu est-il équitable ? Le jeu est-il favorable au joueur si la mise est de 2 € ?

Correction. Soit G le montant reçu : P(G = 15) = 4/32, P(G = 3) = 12/32, P(G = 0) = 16/32, de somme 1. E(G) = 15 × 4/32 + 3 × 12/32 = 60/32 + 36/32 = 96/32 = 3. Le gain net est X = G − m et E(X) = 3 − m par linéarité. Le jeu est équitable pour m = 3 €. Avec m = 2, E(X) = 1 > 0 : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne 1 € par partie, même s'il ne reçoit rien une fois sur deux.

Exercice 3 · Pourquoi l'espérance minimise l'écart quadratique

Avec la variable X de l'exercice 1, on définit pour tout réel x : f(x) = E((X − x)²). Montrer que f(x) = x² − 2E(X)x + E(X²), puis que f admet un minimum, atteint en x = E(X), égal à V(X). Ce résultat figure parmi les approfondissements du programme.

Correction. Pour x fixé, (X − x)² = X² − 2xX + x². Par linéarité, f(x) = E(X²) − 2xE(X) + x², c'est-à-dire f(x) = x² − 2E(X)x + E(X²). Ici f(x) = x² − 5,4x + 8,1. C'est un polynôme du second degré de coefficient dominant 1 > 0 ; il atteint son minimum en x = −(−5,4)/2 = 2,7 = E(X). Ce minimum vaut f(E(X)) = E((X − E(X))²) = V(X) = 0,81. Dans le cas général, f(E(X)) = E(X)² − 2E(X)² + E(X²) = E(X²) − E(X)², et on retrouve la formule de König-Huygens.