Variable aléatoire en première : de l'expérience au tableau de la loi

Le programme de spécialité de première 2026 (BO n° 14 du 2 avril 2026) se limite aux univers finis et demande de modéliser une situation par une variable aléatoire, d'en déterminer la loi et d'interpréter {X = a}, {X ≤ a}, P(X = a), P(X ≤ a) dans les deux sens. L'espérance a sa propre page.

Une fonction définie sur l'univers

On note Ω l'univers d'une expérience aléatoire, c'est-à-dire l'ensemble fini de ses issues, muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire réelle X est une fonction de Ω dans ℝ : à chaque issue ω, elle associe un réel X(ω).

X n'est pas une inconnue qu'on cherche, et elle n'a rien d'aléatoire en elle-même : c'est une règle fixe. Ce qui est aléatoire, c'est l'issue ω sur laquelle on l'applique. Avant tout calcul, on doit pouvoir écrire la phrase « X associe à chaque issue … ».

Si X prend les valeurs x₁, x₂, …, xₙ (distinctes), on note {X = xᵢ} l'événement formé des issues ω telles que X(ω) = xᵢ. Ces n événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est Ω, puisque chaque issue a exactement une image. C'est pour cette raison que la somme des probabilités de la loi vaut 1.

Déterminer une loi en quatre temps

Pour « déterminer la loi de X », la copie suit cet ordre.

1. Décrire l'expérience et son univers, ou au moins dire comment on obtient les probabilités (équiprobabilité, arbre, tableau).
2. Lister toutes les valeurs possibles de X, rangées dans l'ordre croissant. C'est l'étape qu'on bâcle : une valeur oubliée rend tout le reste faux.
3. Calculer P(X = xᵢ) pour chaque valeur, en écrivant à quelles issues correspond l'événement.
4. Présenter la loi dans un tableau à deux lignes et vérifier que la somme vaut 1. Si elle ne vaut pas 1, il y a une erreur en amont ; on ne « corrige » pas la dernière case pour tomber juste.

Trois lois rédigées comme sur une copie

Exemple 1 · Le jeu du dé

On lance un dé équilibré à six faces. Le joueur perd 2 € s'il obtient 1, 2 ou 3, gagne 1 € s'il obtient 4 ou 5, gagne 4 € s'il obtient 6. On note X le gain algébrique du joueur.

L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, avec équiprobabilité puisque le dé est équilibré. X prend les valeurs −2, 1 et 4. On a {X = −2} = {1 ; 2 ; 3}, {X = 1} = {4 ; 5} et {X = 4} = {6}. D'où la loi :

xᵢ	−2	1	4
P(X = xᵢ)	1/2	1/3	1/6

Vérification : 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1.

Exemple 2 · Deux tirages avec remise dans une urne

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une seconde. X est le nombre de boules vertes obtenues.

Les deux tirages sont deux épreuves indépendantes, chacune donnant une boule verte avec la probabilité 2/5. On peut les représenter par un arbre à deux niveaux. X prend les valeurs 0, 1 et 2.

• {X = 0} correspond à (rouge ; rouge) : P(X = 0) = 3/5 × 3/5 = 9/25.
• {X = 1} correspond à (rouge ; verte) ou (verte ; rouge), deux chemins incompatibles : P(X = 1) = 3/5 × 2/5 + 2/5 × 3/5 = 12/25.
• {X = 2} correspond à (verte ; verte) : P(X = 2) = 2/5 × 2/5 = 4/25.

Somme : (9 + 12 + 4)/25 = 1. La probabilité d'obtenir au moins une boule verte est P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 16/25. L'arbre des épreuves répétées est détaillé dans l'article sur l'arbre de probabilité, et la justification du produit le long d'un chemin dans celui sur les événements indépendants.

Exemple 3 · Une variable définie à partir d'une autre

Avec l'urne précédente, le joueur reçoit 3 € par boule verte et paie 1 € pour jouer. Son gain est Y = 3X − 1. Y prend les valeurs −1, 2 et 5, et {Y = 2} = {X = 1}, car 3X − 1 = 2 équivaut à X = 1. La loi de Y se lit donc directement sur celle de X : P(Y = −1) = 9/25, P(Y = 2) = 12/25, P(Y = 5) = 4/25. La probabilité que le joueur gagne de l'argent est P(Y > 0) = 16/25. Les valeurs changent, pas les probabilités.

La figure représente le jeu de l'exemple 1. Les six faces de Ω apparaissent d'abord à gauche, puis les flèches vers −2 €, vers +1 € et vers +4 €, puis la colonne de la loi, et enfin l'événement {X ≤ 1}. De chaque face part une flèche et une seule : X est bien une fonction. Plusieurs issues peuvent avoir la même image : trois flèches arrivent sur −2 €, deux sur +1 €, et la loi se lit en comptant les flèches. En bas, {X ≤ 1} regroupe les faces 1 à 5, d'où P(X ≤ 1) = 5/6.

Traduire {X = a} et {X ≤ a}

Le programme demande de passer de la langue naturelle aux symboles et inversement. Avec le jeu du dé de l'exemple 1 :

• « le joueur perd de l'argent » s'écrit {X < 0}, ici {X = −2} ;
• « le joueur gagne au plus 1 € » s'écrit {X ≤ 1}, et il contient les cas où il perd ;
• « le joueur gagne de l'argent » s'écrit {X > 0}, de probabilité 1/3 + 1/6 = 1/2.

Deux réflexes. P(X ≤ a) se calcule en additionnant les P(X = xᵢ) pour toutes les valeurs xᵢ ≤ a, sans oublier les valeurs négatives. Et quand beaucoup de valeurs sont concernées, on passe par l'événement contraire : P(X ≤ 1) = 1 − P(X > 1) = 1 − P(X = 4) = 5/6.

Il faut aussi distinguer l'événement {X = a}, qui est un ensemble d'issues, et le nombre P(X = a), qui est une probabilité. Écrire « {X = 1} = 1/3 » est une faute de sens : on écrit P(X = 1) = 1/3.

Les erreurs sur les variables aléatoires qui coûtent des points

• Une valeur oubliée, souvent la valeur nulle ou une valeur négative : pour un gain « net » ou « algébrique », il faut soustraire la mise.
• Un tableau dont la somme ne vaut pas 1, présenté tel quel, ou une dernière case « corrigée » pour tomber juste.
• Des tirages sans remise traités comme des tirages avec remise : la composition de l'urne change (exercice 3).
• {X ≤ a} confondu avec {X < a} : avec des valeurs entières, P(X ≤ 2) et P(X < 2) diffèrent de P(X = 2).

Trois exercices corrigés sur les variables aléatoires

Exercice 1 · La somme de deux dés tétraédriques

On lance deux dés équilibrés à quatre faces numérotées de 1 à 4 et on note S la somme des deux numéros. Déterminer la loi de S, puis P(S ≥ 6).

Correction. L'univers est l'ensemble des 4 × 4 = 16 couples (a ; b), équiprobables. S prend les valeurs 2 à 8. On compte les couples pour chaque somme : 2 → (1 ; 1), un couple ; 3 → deux couples ; 4 → trois ; 5 → quatre, à savoir (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1) ; 6 → trois ; 7 → deux ; 8 → un.

s	2	3	4	5	6	7	8
P(S = s)	1/16	2/16	3/16	4/16	3/16	2/16	1/16

La somme des numérateurs vaut 16, donc la somme des probabilités vaut 1. P(S ≥ 6) = (3 + 2 + 1)/16 = 6/16 = 3/8.

Exercice 2 · Compléter une loi avec un paramètre

Une variable aléatoire X prend les valeurs −1, 0, 2 et 5 avec P(X = −1) = 0,2, P(X = 0) = a, P(X = 2) = 0,35 et P(X = 5) = 2a. Déterminer a, puis calculer P(X ≥ 0) et P(X < 2). Traduire en français l'événement {X > 0}.

Correction. La somme des probabilités vaut 1 : 0,2 + a + 0,35 + 2a = 1, soit 3a = 0,45 et a = 0,15. On vérifie que toutes les probabilités sont positives : 0,2 ; 0,15 ; 0,35 ; 0,3. P(X ≥ 0) = 1 − P(X = −1) = 0,8. P(X < 2) = P(X = −1) + P(X = 0) = 0,35 ; la valeur 2 est exclue. {X > 0} est l'événement « X prend une valeur strictement positive », c'est-à-dire {X = 2} ∪ {X = 5}, de probabilité 0,65.

Exercice 3 · Deux tickets tirés sans remise

Une boîte contient 10 tickets : un ticket rapporte 20 €, trois rapportent 5 €, six ne rapportent rien. Pour 6 €, un joueur tire successivement et sans remise deux tickets. On note X son gain net. Déterminer la loi de X, puis la probabilité que le joueur perde au plus 1 €.

Correction. On numérote les tickets et on prend pour univers les couples de deux tickets distincts : 10 × 9 = 90 couples, équiprobables. Le gain net est la somme des deux tickets moins 6.

• 20 € et 5 € : 1 × 3 couples dans un ordre, 3 dans l'autre, soit 6 couples, X = 19.
• 20 € et 0 € : 1 × 6 × 2 = 12 couples, X = 14.
• 5 € et 5 € : 3 × 2 = 6 couples, X = 4.
• 5 € et 0 € : 3 × 6 × 2 = 36 couples, X = −1.
• 0 € et 0 € : 6 × 5 = 30 couples, X = −6.

Contrôle : 6 + 12 + 6 + 36 + 30 = 90. La loi de X est donc P(X = −6) = 30/90 = 1/3, P(X = −1) = 36/90 = 2/5, P(X = 4) = 6/90 = 1/15, P(X = 14) = 12/90 = 2/15, P(X = 19) = 6/90 = 1/15.

« Perdre au plus 1 € » signifie X ≥ −1 : P(X ≥ −1) = 1 − P(X = −6) = 2/3. Le joueur gagne de l'argent avec la probabilité P(X > 0) = 1/15 + 2/15 + 1/15 = 4/15. Le piège de l'exercice est le « sans remise » : la probabilité de tirer un ticket à 5 € au second tirage dépend du premier, d'où le comptage des couples plutôt qu'un produit 3/10 × 3/10.

La loi se résume ensuite par un nombre : l'espérance d'une variable aléatoire.