Fonction exponentielle : propriétés, démonstrations et calculs en première

Le chapitre fait suite à la dérivation et prolonge les suites géométriques. Deux articles voisins le complètent : les équations et inéquations avec exponentielle et la dérivée de exp(u).

Une fonction définie par f′ = f et f(0) = 1

Définition. Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. On l'appelle fonction exponentielle et on la note exp.

L'existence et l'unicité sont admises en première ; le programme de 2026 range la preuve de l'unicité dans les approfondissements possibles. La méthode d'Euler, au programme comme exemple d'algorithme, en donne une construction approchée : on part de (0 ; 1) et on avance d'un petit pas h en suivant une pente égale à l'ordonnée, ce qui multiplie à chaque pas l'ordonnée par 1 + h.

On pose e = exp(1), nombre irrationnel, e ≈ 2,718. La suite ((1 + 1/n)ⁿ), aussi au programme, en donne des valeurs approchées : pour n = 1 000, environ 2,717.

Les règles de calcul et leurs démonstrations

Pour tous réels x et y, et tout entier relatif n : exp(x + y) = exp(x) × exp(y) ; exp(x) × exp(−x) = 1, donc exp(−x) = 1/exp(x) ; exp(x − y) = exp(x)/exp(y) ; exp(nx) = (exp(x))ⁿ. La relation exp(n) = eⁿ pour tout entier n justifie la notation exp(x) = eˣ pour tout réel x, et les règles prennent la forme de celles des puissances.

Démonstration de exp(x) × exp(−x) = 1. Soit φ définie sur ℝ par φ(x) = exp(x) × exp(−x). La fonction x ↦ exp(−x) est de la forme t ↦ eᵃᵗ avec a = −1 ; sa dérivée est x ↦ −exp(−x). φ est dérivable comme produit, et pour tout réel x,

φ′(x) = exp(x) × exp(−x) + exp(x) × (−exp(−x)) = 0.

φ est donc constante sur ℝ, égale à φ(0) = 1. Conséquence : exp ne s'annule jamais, puisqu'un produit nul ne peut pas valoir 1.

Démonstration de exp(x + y) = exp(x) × exp(y) (approfondissement). Fixons y et posons g(x) = exp(x + y)/exp(y), ce qui a un sens puisque exp(y) ≠ 0. g est dérivable, g′(x) = g(x) et g(0) = 1. Par unicité, g = exp, donc exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

Signe, variations, suites géométriques

exp est strictement positive sur ℝ : exp(x) = (exp(x/2))², carré non nul. exp est strictement croissante sur ℝ, puisque sa dérivée, exp elle-même, est strictement positive. Ces deux propriétés sont au programme ; leur démonstration figure parmi les approfondissements possibles. D'où, pour tous réels a et b, eᵃ = eᵇ ⇔ a = b et eᵃ < eᵇ ⇔ a < b ; en particulier eˣ > 1 pour x > 0 et 0 < eˣ < 1 pour x < 0. C'est le point de départ de la résolution d'équations comme e²ˣ⁻¹ = eˣ⁺³.

Pour un réel a, t ↦ eᵃᵗ a pour dérivée t ↦ a eᵃᵗ. Avec k > 0, t ↦ eᵏᵗ modélise une croissance exponentielle et t ↦ e⁻ᵏᵗ une décroissance (échantillon radioactif, médicament dans le sang). En première, c'est la seule dérivée d'exponentielle composée au programme ; le cas eᵘ⁽ˣ⁾ relève de la terminale (dérivée de exp(u)).

Le programme de 2026 demande le « lien avec les suites géométriques ». Le plus direct : pour un réel a, on pose uₙ = eⁿᵃ ; pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = e⁽ⁿ⁺¹⁾ᵃ = eⁿᵃ × eᵃ = uₙ × eᵃ, donc la suite (uₙ) est géométrique de raison eᵃ, croissante si a > 0, décroissante si a < 0. La fonction t ↦ eᵃᵗ prolonge à tout instant ce que la suite décrit aux instants entiers.

Trois calculs d'exponentielle rédigés

Exemple 1 · Simplifier une expression

Énoncé. Écrire A = e²ˣ⁺¹ × e⁻ˣ / eˣ⁻³ sous la forme eᵏ, puis développer B = (eˣ + e⁻ˣ)².

Rédaction. Pour tout réel x, A = e⁽²ˣ⁺¹⁾⁺⁽⁻ˣ⁾⁻⁽ˣ⁻³⁾ = e²ˣ⁺¹⁻ˣ⁻ˣ⁺³ = e⁴. L'expression ne dépend pas de x.

B = (eˣ)² + 2eˣe⁻ˣ + (e⁻ˣ)² = e²ˣ + 2e⁰ + e⁻²ˣ = e²ˣ + 2 + e⁻²ˣ.

Exemple 2 · Une suite géométrique déguisée

Énoncé. On pose uₙ = e^−0,5n pour tout entier naturel n. Montrer que (uₙ) est géométrique et donner son sens de variation.

Rédaction. Pour tout n, uₙ > 0 et uₙ₊₁ = e^−0,5(n+1) = e^−0,5n × e^−0,5 = uₙ × e^−0,5. La suite est géométrique de raison q = e^−0,5 et de premier terme u₀ = e⁰ = 1. Comme −0,5 < 0, on a 0 < e^−0,5 < 1 (q ≈ 0,6065). Une suite géométrique de premier terme positif et de raison comprise entre 0 et 1 est strictement décroissante.

Exemple 3 · L'inégalité eˣ ≥ x + 1

Énoncé. Montrer que pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1.

Rédaction. Soit g définie sur ℝ par g(x) = eˣ − x − 1. g est dérivable et g′(x) = eˣ − 1. Or eˣ − 1 ≥ 0 ⇔ eˣ ≥ e⁰ ⇔ x ≥ 0, par stricte croissance de exp. g est donc décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ : elle admet un minimum en 0, égal à g(0) = 1 − 0 − 1 = 0. Pour tout réel x, g(x) ≥ 0, soit eˣ ≥ x + 1.

La droite y = x + 1 est la tangente à la courbe en 0, puisque exp(0) = exp′(0) = 1 : la courbe est au-dessus de cette tangente. La méthode, chercher le minimum de la différence, est celle de l'article sur les extremums.

La figure trace la courbe de x ↦ eˣ de −4 à un peu plus de 2 : à gauche, elle se rapproche de l'axe des abscisses sans le toucher (positivité stricte) ; à droite, elle monte de plus en plus vite, la pente en chaque point étant égale à l'ordonnée. S'ajoutent ensuite, l'une après l'autre, la tangente dorée y = x + 1 en A(0 ; 1), de pente 1, puis la tangente en pointillés y = ex en B(1 ; e), de pente e, qui passe par l'origine. La courbe reste au-dessus des deux, ce que démontrent l'exemple 3 et l'exercice 3. En dernier s'affiche le rappel eˣ > 0 : la courbe ne touche jamais l'axe.

Les erreurs sur la fonction exponentielle qui coûtent des points

• eˣ⁺ʸ écrit eˣ + eʸ : avec x = y = 0, on aurait 1 = 2.
• (eˣ)² écrit e^x² : (eˣ)² = e²ˣ ; pour x = 3, l'un vaut e⁶, l'autre e⁹.
• Un zéro sur la ligne eˣ d'un tableau de signes : un facteur eˣ est strictement positif.
• Croire que e⁻ˣ est négatif : e⁻ˣ = 1/eˣ > 0.
• Dériver e⁻²ˣ en e⁻²ˣ : (e⁻²ˣ)′ = −2e⁻²ˣ.
• Oublier la parenthèse dans e²ˣ⁺¹/eˣ⁻³ : on soustrait tout l'exposant, donc on ajoute 3.

Trois exercices corrigés sur la fonction exponentielle

Exercice 1 · Trois simplifications

Énoncé. Simplifier A = e⁵ × e⁻³ / e⁻¹ ; pour tout réel x, B = (eˣ)³ × e⁻²ˣ et C = (e²ˣ − 1)/(eˣ + 1).

Correction. A = e⁵⁻³⁻⁽⁻¹⁾ = e³.

B = e³ˣ × e⁻²ˣ = e³ˣ⁻²ˣ = eˣ.

Pour C, on reconnaît e²ˣ = (eˣ)², donc e²ˣ − 1 = (eˣ − 1)(eˣ + 1). Comme eˣ + 1 > 0, on peut simplifier : C = eˣ − 1 pour tout réel x.

Exercice 2 · Une décroissance exponentielle et sa suite

Énoncé. La masse, en grammes, d'une substance au bout de n heures est vₙ = 3e^−0,4n. Montrer que (vₙ) est géométrique, préciser sa raison et son sens de variation. Quel pourcentage de la masse disparaît chaque heure ?

Correction. Pour tout entier naturel n, vₙ₊₁ = 3e^−0,4(n+1) = 3e^−0,4n × e^−0,4 = vₙ × e^−0,4. La suite est géométrique de raison q = e^−0,4 et de premier terme v₀ = 3.

Comme −0,4 < 0, 0 < q < 1, et v₀ > 0 : la suite est strictement décroissante. On a q ≈ 0,670, donc chaque heure la masse est multipliée par environ 0,670 : elle diminue d'environ 33 % par heure.

Exercice 3 · La courbe au-dessus de sa tangente en 1

Énoncé. Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe de exp au point d'abscisse 1, puis montrer que la courbe est au-dessus de T.

Correction. T a pour équation y = exp′(1)(x − 1) + exp(1) = e(x − 1) + e = ex.

Soit h définie sur ℝ par h(x) = eˣ − ex. h est dérivable et h′(x) = eˣ − e = eˣ − e¹. Par stricte croissance de exp, h′(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. h est décroissante sur ]−∞ ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[ : son minimum est h(1) = e − e = 0.

Pour tout réel x, h(x) ≥ 0, c'est-à-dire eˣ ≥ ex : la courbe est au-dessus de T, et elle ne la touche qu'au point d'abscisse 1.