Équation avec exponentielle : tout ramener à eᵃ = eᵇ, sans logarithme

Le programme de première ne contient pas le logarithme népérien : on ne sait pas encore écrire la solution exacte de eˣ = 3, et les sujets sont construits pour qu'on n'en ait pas besoin. Les propriétés de calcul sont détaillées dans la fonction exponentielle et ses propriétés.

Pourquoi eᵃ = eᵇ permet de conclure a = b

Le programme définit l'exponentielle comme l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. Pour tout réel x, eˣ × e⁻ˣ = 1, donc eˣ n'est jamais nul ; eˣ = (e^x/2)², carré non nul, donc eˣ > 0 ; la dérivée exp est strictement positive, donc exp est strictement croissante sur ℝ.

Soit a et b deux réels. Si a < b, la stricte croissance donne eᵃ < eᵇ ; si a > b, eᵃ > eᵇ. Dans les deux cas eᵃ ≠ eᵇ : par contraposée, eᵃ = eᵇ impose a = b, et la réciproque est évidente. De même, eᵃ < eᵇ équivaut à a < b. Le programme de 2026 range la démonstration de la positivité et de la croissance parmi les approfondissements possibles ; ce raisonnement est volontiers posé en question de cours, et c'est lui qui autorise le signe ⇔ dans les résolutions.

Reconnaître la forme de l'équation

1. Un produit nul avec un facteur exponentiel ? Ce facteur est strictement positif, il disparaît : (x² − 4)e^3x = 0 équivaut à x² − 4 = 0, soit x = −2 ou x = 2.
2. Chaque membre s'écrit-il e^{quelque chose} ? On regroupe avec les règles de l'encadré, sans oublier 1 = e⁰ et e = e¹, puis on passe aux exposants.
3. Seulement eˣ et e^2x ? On pose X = eˣ avec X > 0 : on obtient une équation du second degré, et seules ses racines strictement positives donnent des solutions.
4. Rien de cela ? L'énoncé attend sans doute une valeur approchée ou une lecture graphique. eˣ = 3 a exactement une solution, puisque exp est strictement croissante et prend toutes les valeurs de ]0 ; +∞[ ; on l'approche par balayage, 1,0986 à 10⁻⁴ près. Sa valeur exacte, ln 3, s'écrira en terminale.

Pour une inéquation, le chemin est le même : la stricte croissance conserve l'ordre, on ne retourne jamais le signe en passant aux exposants. Le signe du trinôme qu'on obtient souvent à la fin est traité dans l'inéquation du second degré.

Deux résolutions rédigées comme sur une copie

Exemple 1. Résoudre dans ℝ l'équation e^x² × e⁻³ = e^2x.

Pour tout réel x, e^x² × e⁻³ = e^{x² − 3}. L'équation équivaut donc à e^{x² − 3} = e^2x, c'est-à-dire à x² − 3 = 2x, puisque eᵃ = eᵇ ⇔ a = b. On résout x² − 2x − 3 = 0 : Δ = 4 + 12 = 16 > 0, d'où x₁ = (2 − 4)/2 = −1 et x₂ = (2 + 4)/2 = 3. L'ensemble des solutions est S = {−1 ; 3}.

Exemple 2. Résoudre dans ℝ l'équation e^2x + eˣ − 2 = 0.

Pour tout réel x, e^2x = (eˣ)². On pose X = eˣ, avec X > 0. L'équation devient X² + X − 2 = 0, de discriminant Δ = 1 + 8 = 9, de racines X₁ = (−1 − 3)/2 = −2 et X₂ = (−1 + 3)/2 = 1. Comme eˣ > 0, l'égalité eˣ = −2 est impossible. Il reste eˣ = 1, c'est-à-dire eˣ = e⁰, soit x = 0. S = {0}.

Les erreurs sur les équations avec exponentielle qui coûtent des points

• « eˣ = 0 donc x = 0 ». e⁰ = 1, et l'exponentielle ne s'annule jamais. Dans un produit, « (x − 1)eˣ = 0 donc x − 1 = 0 ou eˣ = 0 » doit se conclure par « or eˣ > 0 pour tout réel x ».
• Les fausses règles. eᵃ + eᵇ n'est pas e^a+b (c'est le produit) ; eˣ × eˣ vaut e^2x, pas e^x².
• La condition X > 0 oubliée. On trouve X = −2, on écrit « eˣ = −2 » et on invente une solution. La condition s'écrit en posant X et sert en revenant à x.
• Des équivalences non justifiées. Le passage de eᵃ = eᵇ à a = b se justifie par la stricte croissance ou la propriété du cours, au moins la première fois (voir comment bien rédiger en maths).

Trois exercices corrigés sur les équations avec exponentielle

Exercice 1 · Résoudre dans ℝ : a) e^3x+1 = e^2−x ; b) e^{x² − 5x} = e⁻⁶ ; c) eˣ = −e

a) Par l'équivalence eᵃ = eᵇ ⇔ a = b, l'équation équivaut à 3x + 1 = 2 − x, soit 4x = 1, donc x = 1/4. S = {1/4}.

b) L'équation équivaut à x² − 5x = −6, soit x² − 5x + 6 = 0. Δ = 25 − 24 = 1, d'où x₁ = (5 − 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3. S = {2 ; 3}.

c) Pour tout réel x, eˣ > 0, alors que −e < 0. L'équation n'a pas de solution : S = ∅.

Exercice 2 · Résoudre dans ℝ l'inéquation e^x² ≤ e^x+2

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, donc l'inéquation équivaut à x² ≤ x + 2, c'est-à-dire x² − x − 2 ≤ 0.

Le trinôme x² − x − 2 a pour discriminant Δ = 1 + 8 = 9 et pour racines x₁ = (1 − 3)/2 = −1 et x₂ = (1 + 3)/2 = 2. Son coefficient dominant est positif : il est négatif ou nul entre ses racines.

S = [−1 ; 2].

Exercice 3 · a) Résoudre dans ℝ l'équation eˣ + e⁻ˣ = e + 1/e. b) En déduire les solutions de eˣ + e⁻ˣ > e + 1/e.

a) Pour tout réel x, eˣ > 0. On multiplie les deux membres par eˣ, ce qui donne une équation équivalente puisque eˣ ≠ 0 : e^2x + 1 = (e + 1/e)eˣ, soit e^2x − (e + 1/e)eˣ + 1 = 0.

On pose X = eˣ, avec X > 0 : X² − (e + 1/e)X + 1 = 0. Le discriminant vaut Δ = (e + 1/e)² − 4 = e² + 2 + 1/e² − 4 = (e − 1/e)², strictement positif car e ≠ 1/e. Ses racines sont X₁ = ((e + 1/e) − (e − 1/e))/2 = 1/e et X₂ = ((e + 1/e) + (e − 1/e))/2 = e. On peut le vérifier : leur somme vaut e + 1/e et leur produit 1.

Les deux racines sont strictement positives. eˣ = 1/e = e⁻¹ donne x = −1 ; eˣ = e = e¹ donne x = 1. S = {−1 ; 1}.

b) Avec la même multiplication par eˣ > 0, qui conserve le sens, l'inéquation équivaut à X² − (e + 1/e)X + 1 > 0 avec X = eˣ. Ce trinôme est strictement positif à l'extérieur de ses racines : X < 1/e ou X > e. Par stricte croissance de exp, eˣ < e⁻¹ équivaut à x < −1 et eˣ > e¹ équivaut à x > 1. S = ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[.

Ce que montre la courbe de l'exponentielle

La figure trace la courbe de y = eˣ, puis trois droites horizontales l'une après l'autre. La droite y = 1, en or, coupe la courbe en un seul point, d'abscisse 0 : c'est la solution de l'exemple 2. La droite y = e, en vert, la coupe au point d'abscisse 1. La droite y = −2, en rouge, reste sous l'axe des abscisses alors que la courbe reste au-dessus : aucun point commun, d'où le rejet de X = −2.

Une droite y = k avec k > 0 rencontre la courbe exactement une fois ; avec k ≤ 0, jamais. Les inéquations se lisent aussi : eˣ ≥ e correspond à la partie de la courbe au-dessus de la droite verte, soit x ≥ 1. Pour étudier une fonction de la forme e^u(x), voir dériver exp(u).