Fonction paire, fonction impaire : la définition, la symétrie de la courbe et la preuve à rédiger

Où se trouve la parité dans les programmes de 2026

La parité a changé de classe à la rentrée 2026. Le programme de seconde de 2019 (arrêté du 17 janvier 2019) l'inscrivait dans ses contenus, « Fonction paire, impaire. Traduction géométrique », et proposait en approfondissement d'étudier la parité d'une fonction dans des cas simples. Le nouveau programme de seconde (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) ne la mentionne plus. Le programme de spécialité de première publié le même jour la reprend, dans la partie « Variations et courbes représentatives des fonctions » : « Représentation algébrique et graphique de fonctions paires, impaires. Traduction géométrique. »

Cette page s'adresse donc d'abord aux élèves de première spécialité. Ceux de cette année ont rencontré la notion en seconde, avec l'ancien programme, et la retrouvent avec la dérivation ; ceux qui sont en seconde en 2026-2027 la découvriront en première. Un élève de seconde qui la croise dans un manuel antérieur à 2026 y trouvera le niveau attendu un an plus tard. En terminale, le programme qui s'appliquera à la rentrée 2027 demande la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus ; le nouveau programme de première a retiré ce point.

Paire, impaire : définition et symétrie de la courbe

Les deux définitions commencent par une condition sur l'ensemble de définition D : pour tout x de D, −x appartient à D. Les intervalles [−3 ; 3], ℝ, ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ la vérifient ; [−2 ; 3] et [0 ; +∞[ non. Sans elle, f(−x) n'existe pas toujours et la question de la parité ne se pose pas.

Traduction géométrique. Le point M(x ; f(x)) de la courbe a pour symétrique par rapport à l'axe des ordonnées le point (−x ; f(x)), et par rapport à l'origine le point (−x ; −f(x)). Le point d'abscisse −x de la courbe est (−x ; f(−x)). Il coïncide avec le premier symétrique pour tout x exactement quand f(−x) = f(x), avec le second exactement quand f(−x) = −f(x). Une fonction est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, impaire si et seulement si elle est symétrique par rapport à l'origine.

Si f est impaire et 0 ∈ D, alors f(0) = −f(0), donc f(0) = 0 : la courbe passe par l'origine. Une fonction à la fois paire et impaire vérifie f(x) = −f(x), donc c'est la fonction nulle.

Pourquoi le sens de variation se transmet. Soit f impaire et croissante sur [a ; b], avec 0 ≤ a. Si −b ≤ u < v ≤ −a, alors a ≤ −v < −u ≤ b, donc f(−v) ≤ f(−u), c'est-à-dire −f(v) ≤ −f(u), soit f(u) ≤ f(v) : f est croissante sur [−b ; −a]. Pour une fonction paire, la même ligne donne f(v) ≤ f(u) : le sens s'inverse, comme pour x ↦ x².

Démontrer la parité d'une fonction ou la réfuter

La rédaction suit trois temps. On justifie que D est symétrique par rapport à 0. On calcule f(−x) pour un x quelconque de D, en remplaçant chaque x par (−x) avec ses parenthèses, et on compare à f(x) et à −f(x). On conclut avec le quantificateur : « pour tout x de D ». Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire, un seul contre-exemple suffit : un réel a avec f(−a) ≠ f(a). Pour une égalité, au contraire, une valeur particulière ne prouve rien.

Exemple 1 · Quatre fonctions, quatre conclusions

Énoncé. Étudier la parité de f(x) = x⁴ − 3x² + 1 et g(x) = x³ / (x² + 1), définies sur ℝ, de h(x) = x² + x sur ℝ, et de k(x) = 1/(x − 1) sur ℝ \ {1}.

Rédaction. ℝ est symétrique par rapport à 0. Pour tout réel x, f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1 = x⁴ − 3x² + 1 = f(x) : f est paire.

Pour tout réel x, x² + 1 ≠ 0 et g(−x) = (−x)³ / ((−x)² + 1) = −x³ / (x² + 1) = −g(x) : g est impaire.

h(1) = 2 et h(−1) = 0. Comme h(−1) ≠ h(1), h n'est pas paire ; comme h(−1) ≠ −h(1) = −2, h n'est pas impaire. Elle n'est ni l'une ni l'autre.

Pour k, −1 appartient à ℝ \ {1} mais son opposé 1 n'y appartient pas : l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, k n'est ni paire ni impaire, sans aucun calcul.

Parité de x², x³, 1/x, |x|, cos et sin

Les fonctions de référence fournissent les modèles. x ↦ x² est paire, car (−x)² = x² ; x ↦ x³ impaire, car (−x)³ = −x³ ; x ↦ 1/x impaire sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, car 1/(−x) = −1/x ; x ↦ |x| paire, car −x et x sont à la même distance de 0. La racine carrée, définie sur [0 ; +∞[, n'est ni paire ni impaire, faute de domaine symétrique. Une fonction affine x ↦ ax + b est impaire si et seulement si b = 0, paire si et seulement si a = 0.

Pour le cosinus et le sinus, la parité se lit sur le cercle trigonométrique. Les points associés à x et à −x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnées opposées. Donc, pour tout réel x, cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x : le cosinus est pair, le sinus impair. Ainsi cos(−π/3) = cos(π/3) = 1/2 et sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2. L'étude des courbes de ces deux fonctions relève de la terminale.

Compléter une courbe par symétrie

Exemple 2 · Une fonction impaire connue sur [0 ; 2,5]

Énoncé. f est impaire, définie sur [−2,5 ; 2,5]. Sur [0 ; 2,5], f(x) = x(x² − 4)/2 ; on admet que f est décroissante sur [0 ; α] et croissante sur [α ; 2,5], avec α = 2/√3 ≈ 1,15 et f(α) = −8/(3√3) ≈ −1,54. a) Calculer f(0), f(−1) et f(−2). b) Dresser le tableau de variations de f sur [−2,5 ; 2,5]. c) Résoudre f(x) = 0. d) Donner le maximum et le minimum de f.

Rédaction. a) 0 appartient à l'ensemble de définition et f est impaire, donc f(0) = 0. f(1) = 1 × (1 − 4)/2 = −1,5, donc f(−1) = −f(1) = 1,5. f(2) = 2 × 0 / 2 = 0, donc f(−2) = 0.

b) Une fonction impaire garde son sens de variation par symétrie : f est croissante sur [−2,5 ; −α], décroissante sur [−α ; α] (la partie [−α ; 0] reflète la décroissance sur [0 ; α]), croissante sur [α ; 2,5]. Valeurs : f(−2,5) = −f(2,5) = −2,8125 ; f(−α) ≈ 1,54 ; f(α) ≈ −1,54 ; f(2,5) = 2,5 × 2,25 / 2 = 2,8125.

c) Sur [0 ; α], f décroît de 0 à −1,54 : seul 0 l'annule. Sur [α ; 2,5], f croît de −1,54 à 2,81 et s'annule en 2, une seule fois. Par symétrie, sur [−2,5 ; 0] f s'annule en 0 et en −2. S = {−2 ; 0 ; 2}.

d) D'après le tableau, le maximum est 2,8125, atteint en 2,5 (il dépasse f(−α) ≈ 1,54), et le minimum est −2,8125, atteint en −2,5.

La figure construit cette symétrie. La moitié droite de la courbe se trace d'abord, de l'origine au point d'abscisse 2,5. Le point M(1 ; −1,5) s'allume, puis un pointillé le relie à M′(−1 ; 1,5) en passant par l'origine, qui est le milieu de [MM′]. La moitié gauche se trace alors en or, point par point symétrique de la première, et les deux zéros correspondants apparaissent pour finir : f(2) = 0 et f(−2) = 0. Retourner la moitié droite autour de l'axe des ordonnées aurait donné la courbe d'une fonction paire, dont la partie gauche descendrait au lieu de monter.

Les erreurs de parité qui coûtent des points

• Conclure sur une seule valeur : pour f(x) = x³ − 4x, f(2) = f(−2) = 0, et pourtant f(1) = −3 ≠ f(−1) = 3 ; f est impaire, pas paire.
• Oublier le domaine : x ↦ x² sur [−2 ; 3] n'est pas paire, puisque 3 a un opposé hors du domaine.
• Confondre f(−x) et −f(x) : pour f(x) = x² + x, f(−x) = x² − x alors que −f(x) = −x² − x.
• Perdre les parenthèses : −x² n'est pas (−x)² ; on écrit toujours f(−x) avec (−x).
• « Pas paire, donc impaire » : x ↦ x² + x n'est ni l'une ni l'autre.
• Déclarer impaire une fonction définie en 0 avec f(0) ≠ 0, comme x ↦ x³ + 1.

Trois exercices corrigés sur les fonctions paires et impaires

Exercice 1 · Paire, impaire ou ni l'une ni l'autre

Énoncé. Étudier la parité de : a(x) = 5x² − 2 sur ℝ ; b(x) = x⁵ − 4x³ + x sur ℝ ; c(x) = x² − 2x sur ℝ ; d(x) = x² / (x² − 9) sur ℝ \ {−3 ; 3} ; e(x) = x³ + 1 sur ℝ.

Correction. Les domaines ℝ et ℝ \ {−3 ; 3} sont symétriques par rapport à 0. Pour tout x : a(−x) = 5x² − 2 = a(x), a est paire ; b(−x) = −x⁵ + 4x³ − x = −b(x), b est impaire ; d(−x) = x² / (x² − 9) = d(x), d est paire.

c(1) = −1 et c(−1) = 3 : c(−1) ≠ c(1) et c(−1) ≠ −c(1), c n'est ni paire ni impaire. e(0) = 1 ≠ 0, donc e n'est pas impaire ; e(1) = 2 et e(−1) = 0, donc e n'est pas paire.

Exercice 2 · Une fonction paire lue sur un tableau

Énoncé. f est paire, définie sur [−4 ; 4]. Sur [0 ; 4] : f(0) = 1, f(2) = −3, f(4) = 5, f décroissante sur [0 ; 2] et croissante sur [2 ; 4] ; sur [0 ; 4], sa courbe coupe l'axe des abscisses en exactement deux points. a) Donner f(−2) et f(−4). b) Dresser le tableau de variations sur [−4 ; 4]. c) Combien l'équation f(x) = 0 a-t-elle de solutions sur [−4 ; 4] ?

Correction. a) f(−2) = f(2) = −3 et f(−4) = f(4) = 5.

b) Une fonction paire inverse le sens de variation par symétrie : f est décroissante sur [−4 ; −2], de 5 à −3, croissante sur [−2 ; 0], de −3 à 1, puis décroissante sur [0 ; 2], de 1 à −3, et croissante sur [2 ; 4], de −3 à 5.

c) Les deux zéros de [0 ; 4] sont non nuls, puisque f(0) = 1 ; leurs opposés sont deux autres zéros, dans [−4 ; 0[. L'équation a quatre solutions.

Exercice 3 · Parité d'un produit, avec la valeur absolue

Énoncé. a) f et g sont impaires sur ℝ. Montrer que f × g est paire. b) En déduire, sans calcul, la parité de x ↦ x² et de x ↦ x⁴ sur ℝ. c) Étudier la parité de p(x) = x|x| sur ℝ, puis calculer p(−3).

Correction. a) Pour tout réel x, (f × g)(−x) = f(−x) × g(−x) = (−f(x)) × (−g(x)) = f(x) × g(x) : f × g est paire.

b) x ↦ x est impaire, donc x ↦ x × x = x² est paire ; x ↦ x³ est impaire, donc x ↦ x × x³ = x⁴ est paire.

c) Pour tout réel x, p(−x) = (−x)|−x| = −x|x| = −p(x) : p est impaire, produit de x ↦ x, impaire, et de x ↦ |x|, paire. p(−3) = −3 × 3 = −9 = −p(3).

La parité allège l'étude des variations : on étudie f sur [0 ; b] et l'on complète par symétrie, comme dans l'article sur la dérivée et le sens de variation. Les courbes de x², x³, 1/x et |x| sont tracées ensemble dans l'article sur les fonctions de référence.