Calcul d'intégrale en terminale : de l'aire sous la courbe à F(b) − F(a)

Une aire, puis un nombre signé

Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a ; b], et 𝒞 sa courbe dans un repère orthogonal. Le programme (spécialité de terminale, programme de 2019) prend pour définition de ∫ₐᵇ f(x) dx l'aire du domaine situé entre 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

Cette aire se mesure en unités d'aire (u.a.) : une unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les deux vecteurs unitaires du repère. Si l'unité graphique est de 2 cm sur chaque axe, 1 u.a. = 4 cm² ; avec 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée, 1 u.a. = 2 cm². Un énoncé qui demande l'aire « en cm² » attend cette conversion. La lettre x est muette (∫ₐᵇ f(t) dt est le même nombre), mais le dx est obligatoire : il dit par rapport à quelle variable on intègre.

Pour f continue de signe quelconque sur un intervalle contenant a et b, le programme définit ∫ₐᵇ f(x) dx par F(b) − F(a), où F est une primitive de f. Cette définition repose sur un théorème admis du programme : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Le nombre obtenu n'est plus une aire : sur un intervalle où f est négative (avec a ≤ b), l'intégrale est l'opposé de l'aire du domaine situé entre la courbe et l'axe. Pour calculer une aire, on découpe donc l'intervalle aux points où f s'annule, on intègre sur chaque morceau et on additionne les valeurs absolues.

Pourquoi une primitive donne l'aire

Si f est continue et positive sur [a ; b], la fonction F_a définie sur [a ; b] par F_a(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a. Le programme demande de le démontrer quand f est de plus croissante.

Démonstration (f continue, positive et croissante sur [a ; b]). Soit x ∈ [a ; b[ et h > 0 tel que x + h ≤ b. La différence F_a(x + h) − F_a(x) est l'aire du domaine sous 𝒞 entre les abscisses x et x + h. Comme f est croissante, pour tout t ∈ [x ; x + h], f(x) ≤ f(t) ≤ f(x + h). Ce domaine contient donc le rectangle de base h et de hauteur f(x), et il est contenu dans celui de hauteur f(x + h) :

h × f(x) ≤ F_a(x + h) − F_a(x) ≤ h × f(x + h).

En divisant par h > 0 : f(x) ≤ [F_a(x + h) − F_a(x)] / h ≤ f(x + h). Quand h tend vers 0, f(x + h) tend vers f(x) puisque f est continue, et le théorème des gendarmes donne que le taux d'accroissement tend vers f(x). Le cas h < 0 (avec x ∈ ]a ; b] et x + h ≥ a) se traite de la même façon, les inégalités s'écrivant f(x + h) ≤ [F_a(x + h) − F_a(x)] / h ≤ f(x). Ainsi F_a est dérivable sur [a ; b], de dérivée f, et F_a(a) = 0.

Si F est une autre primitive de f sur [a ; b], deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : F = F_a + c. Alors F(b) − F(a) = F_a(b) − F_a(a) = F_a(b) = ∫ₐᵇ f(x) dx. La constante disparaît dans la différence : on prend toujours la primitive la plus simple, sans « + c ».

Linéarité, Chasles, inégalités, encadrement : ce qu'on a le droit d'écrire

Les propriétés de l'encadré valent pour f et g continues sur un intervalle contenant a, b et c, et pour tout réel λ. La positivité et l'intégration des inégalités exigent a ≤ b : avec les bornes dans l'autre sens, ∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ et l'inégalité se retourne. C'est l'hypothèse qu'on oublie d'écrire quand on majore une suite d'intégrales.

La valeur moyenne μ est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe. Pour f(x) = 1/x sur [1 ; e], μ = (1 / (e − 1)) × [ln x]₁ᵉ = 1 / (e − 1) ≈ 0,582.

Sans primitive, on encadre une intégrale par des rectangles. Pour f(x) = x², croissante et positive sur [0 ; 1], on découpe [0 ; 1] en quatre intervalles de largeur 1/4. Sur chacun, la courbe est au-dessus du rectangle dont la hauteur est la valeur à gauche et au-dessous de celui dont la hauteur est la valeur à droite. D'où (1/4)(0 + 1/16 + 4/16 + 9/16) ≤ ∫₀¹ x² dx ≤ (1/4)(1/16 + 4/16 + 9/16 + 1), soit 0,218 75 ≤ ∫₀¹ x² dx ≤ 0,468 75. La valeur exacte est 1/3. Avec n intervalles, l'écart entre les deux sommes vaut (f(1) − f(0))/n = 1/n : c'est le principe de l'algorithme des rectangles du programme, qui affine l'encadrement en augmentant n.

Calculer une aire en devoir surveillé, dans l'ordre

1. Étudier le signe de f sur l'intervalle (ou de f − g pour une aire entre deux courbes) et repérer les points d'annulation.
2. Écrire l'aire comme une intégrale, ou une somme d'intégrales, en justifiant par le signe : « f est positive et continue sur [a ; b], donc l'aire vaut ∫ₐᵇ f(x) dx u.a. ».
3. Donner une primitive, vérifiable par dérivation, et écrire le crochet.
4. Calculer F(b) − F(a) avec des parenthèses, puis conclure dans l'unité demandée.

Exemple 1 · Une intégrale nulle et une aire qui ne l'est pas

Énoncé. Soit f(x) = x² − 2x sur [0 ; 3]. Calculer ∫₀³ f(x) dx, puis l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 3.

Rédaction. Une primitive de f est F(x) = x³/3 − x². Donc ∫₀³ f(x) dx = F(3) − F(0) = (9 − 9) − 0 = 0.

Pour l'aire : f(x) = x(x − 2), donc f est négative sur [0 ; 2] et positive sur [2 ; 3]. On calcule ∫₀² f(x) dx = F(2) − F(0) = 8/3 − 4 = −4/3 et ∫₂³ f(x) dx = F(3) − F(2) = 0 − (−4/3) = 4/3. L'aire vaut |−4/3| + 4/3 = 8/3 u.a., soit environ 2,67 u.a.

La figure reprend cet exemple. La parabole se trace avec son minimum −1, atteint en x = 1 ; la racine x = 2 est marquée ; puis le domaine sous l'axe se colore en rouge (aire 4/3 u.a., intégrale −4/3), enfin le domaine au-dessus, entre x = 2 et x = 3, en vert (aire 4/3 u.a., intégrale +4/3). Les deux contributions s'annulent dans l'intégrale, alors que l'aire colorée vaut 8/3 u.a. : l'intégrale additionne des aires munies d'un signe.

Exemple 2 · L'aire entre deux courbes

Énoncé. On note 𝒞 la courbe de x ↦ eˣ et D la droite d'équation y = x + 1. L'unité graphique est 2 cm. Calculer en cm² l'aire du domaine compris entre 𝒞, D et les droites x = 0 et x = 1.

Rédaction. Posons h(x) = eˣ − x − 1 sur [0 ; 1]. h est dérivable et h′(x) = eˣ − 1 ≥ 0 sur [0 ; 1], donc h est croissante sur [0 ; 1] ; comme h(0) = 0, h(x) ≥ 0 sur [0 ; 1]. La courbe 𝒞 est donc au-dessus de D sur [0 ; 1], et l'aire cherchée vaut ∫₀¹ (eˣ − x − 1) dx = [eˣ − x²/2 − x]₀¹ = (e − 1/2 − 1) − 1 = e − 5/2 u.a.

Avec une unité graphique de 2 cm, 1 u.a. = 4 cm², et l'aire vaut 4e − 10 ≈ 0,87 cm². Seule la position relative des courbes compte : la formule vaut aussi quand elles sont sous l'axe des abscisses.

Les erreurs sur le calcul d'intégrales qui coûtent des points

• Calculer une aire sans étudier le signe de la fonction : répondre « l'aire est nulle » dans l'exemple 1, ou « l'aire vaut −4/3 » sur [0 ; 2].
• Écrire F(a) − F(b), ou oublier les parenthèses : [x³/3 − x²]₁² = (8/3 − 4) − (1/3 − 1) = −2/3, alors que 8/3 − 4 − 1/3 − 1 = −8/3 est faux.
• Donner une primitive sans la vérifier par dérivation : une primitive de e²ˣ est e²ˣ/2, pas e²ˣ ; une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln x, ce qui interdit d'intégrer 1/x sur un intervalle contenant 0.
• Majorer une intégrale sans écrire que les bornes sont dans l'ordre croissant ni citer l'intégration des inégalités, notamment dans les suites d'intégrales.
• Chercher une primitive directe d'un produit comme x eˣ : c'est l'intégration par parties qui s'applique.

Trois exercices corrigés sur le calcul d'intégrales

Exercice 1 · Deux primitives à assembler

Énoncé. Calculer J = ∫₁⁴ (x + 1/√x) dx.

Correction. La fonction x ↦ x + 1/√x est continue sur [1 ; 4]. Une primitive de x est x²/2 ; une primitive de 1/√x sur ]0 ; +∞[ est 2√x, puisque (2√x)′ = 2 × 1/(2√x) = 1/√x. Donc J = [x²/2 + 2√x]₁⁴ = (16/2 + 2 × 2) − (1/2 + 2) = 12 − 5/2 = 19/2.

Exercice 2 · Une parabole et une droite qui se coupent deux fois

Énoncé. Soit f(x) = −x² + 4x et g(x) = x. Déterminer les abscisses des points d'intersection des deux courbes, puis l'aire du domaine qu'elles délimitent.

Correction. f(x) = g(x) équivaut à −x² + 3x = 0, soit x(3 − x) = 0, donc x = 0 ou x = 3. Pour x ∈ [0 ; 3], f(x) − g(x) = x(3 − x) ≥ 0 comme produit de deux facteurs positifs : la parabole est au-dessus de la droite sur [0 ; 3]. L'aire vaut ∫₀³ (−x² + 3x) dx = [−x³/3 + 3x²/2]₀³ = −9 + 27/2 = 9/2 u.a.

Exercice 3 · Une suite d'intégrales qui tend vers 0

Énoncé. Pour tout n ∈ ℕ, on pose Iₙ = ∫₀¹ xⁿ / (1 + x) dx. a) Calculer I₀. b) Montrer que Iₙ + Iₙ₊₁ = 1/(n + 1) et en déduire I₁. c) Montrer que (Iₙ) est décroissante. d) Montrer que 0 ≤ Iₙ ≤ 1/(n + 1) et en déduire la limite de (Iₙ).

Correction. a) Sur [0 ; 1], 1 + x > 0 et une primitive de 1/(1 + x) est ln(1 + x). Donc I₀ = ln 2 − ln 1 = ln 2.

b) Par linéarité, Iₙ + Iₙ₊₁ = ∫₀¹ (xⁿ + xⁿ⁺¹)/(1 + x) dx = ∫₀¹ xⁿ(1 + x)/(1 + x) dx = ∫₀¹ xⁿ dx = [xⁿ⁺¹/(n + 1)]₀¹ = 1/(n + 1). Pour n = 0 : I₁ = 1 − ln 2 ≈ 0,307.

c) Pour x ∈ [0 ; 1], xⁿ⁺¹ = x × xⁿ ≤ xⁿ, donc xⁿ⁺¹/(1 + x) ≤ xⁿ/(1 + x). Comme 0 ≤ 1, l'intégration des inégalités donne Iₙ₊₁ ≤ Iₙ : la suite est décroissante.

d) Pour x ∈ [0 ; 1], 1 + x ≥ 1, donc 0 ≤ xⁿ/(1 + x) ≤ xⁿ. En intégrant entre 0 et 1 (bornes dans l'ordre croissant) : 0 ≤ Iₙ ≤ ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1). Comme 1/(n + 1) tend vers 0, le théorème des gendarmes donne lim Iₙ = 0.