Primitives usuelles : le tableau complet, les formes composées et la manière de ne plus se tromper

Dériver à l'envers : ce qu'est une primitive

Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x de I, F′(x) = f(x). Ainsi x ↦ x² et x ↦ x² + 7 sont des primitives de x ↦ 2x sur ℝ.

Le programme de terminale admet d'abord que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (le théorème revient dans le chapitre sur l'intégrale), et fait chercher les primitives usuelles « par lecture inverse du tableau des dérivées ». Existence ne veut pas dire formule : x ↦ e^−x² a des primitives sur ℝ, mais aucune ne s'écrit avec les fonctions usuelles.

Pourquoi deux primitives diffèrent d'une constante

C'est la démonstration exigible. Soient F et G deux primitives de f sur l'intervalle I. La fonction H = G − F est dérivable sur I et, pour tout x de I, H′(x) = f(x) − f(x) = 0. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel C tel que G(x) = F(x) + C pour tout x de I. Réciproquement, (F + C)′ = f. Si l'on impose F(x₀) = y₀, la constante est déterminée, d'où l'unicité.

Le mot intervalle compte : sur ℝ*, la fonction égale à 0 sur ]−∞ ; 0[ et à 1 sur ]0 ; +∞[ a une dérivée nulle sans être constante. C'est pourquoi le tableau précise toujours l'intervalle.

Le tableau des primitives de référence

Fonction f	Une primitive F	Intervalle
k (constante)	kx	ℝ
xⁿ, n entier, n ≥ 0	xⁿ⁺¹/(n + 1)	ℝ
xⁿ, n entier, n ≤ −2	xⁿ⁺¹/(n + 1)	]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
1/x² (cas n = −2)	−1/x	]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
1/x (cas n = −1)	ln(x)	]0 ; +∞[
1/√x	2√x	]0 ; +∞[
eˣ	eˣ	ℝ
cos(x)	sin(x)	ℝ
sin(x)	−cos(x)	ℝ

Chaque ligne se vérifie en dérivant la deuxième colonne : (2√x)′ = 2 × 1/(2√x) = 1/√x, (−cos)′ = sin. La formule xⁿ⁺¹/(n + 1) tombe en panne pour n = −1 (division par 0) : c'est la place du logarithme, de dérivée 1/x. Une ligne douteuse se reconstruit à partir des dérivées usuelles.

Reconnaître une forme composée u′ × v′(u)

La dérivée de v ∘ u est (v′ ∘ u) × u′. Lue à l'envers : si f est le produit d'une dérivée u′ par une fonction de u, une primitive est v ∘ u. Avec u dérivable sur l'intervalle I :

Forme de f	Une primitive	Condition
u′ uⁿ, n entier, n ≠ −1	uⁿ⁺¹/(n + 1)	u ne s'annule pas sur I si n ≤ −2
u′/u²	−1/u	u ne s'annule pas sur I
u′/u	ln(u)	u > 0 sur I
u′/√u	2√u	u > 0 sur I
u′ eᵘ	eᵘ	aucune
u′ cos(u)	sin(u)	aucune
u′ sin(u)	−cos(u)	aucune

1. Repérer dans f une fonction « intérieure » u et regarder si u′ apparaît en facteur.
2. Si u′ apparaît à une constante près, ajuster : x/(x² + 1) = ½ × 2x/(x² + 1). On n'ajuste qu'une constante, jamais une fonction de x : pour x e^x, il faudra l'intégration par parties.
3. Écrire la primitive en vérifiant la condition (u > 0 pour ln et √).
4. Dériver le résultat au brouillon. Si l'on ne retrouve pas f, l'erreur est presque toujours dans la constante d'ajustement.

Trois primitives rédigées comme sur une copie

Exemple 1 · Deux formes composées

Énoncé. Déterminer une primitive sur ℝ de g(x) = x/(x² + 1) et de h(x) = x e^−x².

Rédaction. Pour g, on pose u(x) = x² + 1 ; u′(x) = 2x et u(x) > 0 sur ℝ. g(x) = ½ × u′(x)/u(x), donc G(x) = ½ ln(x² + 1) est une primitive de g sur ℝ.

Pour h, on pose u(x) = −x², u′(x) = −2x. h(x) = −½ × u′(x) e^u(x), donc H(x) = −½ e^−x². Vérification : H′(x) = −½ × (−2x) e^−x² = x e^−x².

Exemple 2 · La primitive qui passe par un point donné

Énoncé. Déterminer la primitive F de f(x) = x² − 1 sur ℝ telle que F(0) = 1.

Rédaction. Les primitives de f sur ℝ sont les fonctions x ↦ x³/3 − x + C, C réel. La condition F(0) = 1 donne C = 1. F(x) = x³/3 − x + 1.

Ce que montre la figure des primitives de x² − 1

La figure montre d'abord f(x) = x² − 1 (parabole dorée en pointillés), puis la primitive de l'exemple 2, en bleu nuit, qui passe par (0 ; 1), puis ses translatées verticales pour C = −1, 0 et 2, enfin les tangentes en x = 2. Quatre fois la même courbe décalée : c'est l'image de « deux primitives diffèrent d'une constante », et la condition en un point en choisit une seule. Les tangentes en x = 2 sont parallèles, de pente f(2) = 3. La parabole coupe l'axe en −1 et 1, là où toutes les primitives atteignent leurs extremums, et elle est négative entre les deux, là où elles descendent.

Les erreurs sur les primitives qui coûtent des points

• « La » primitive. Sans condition, on écrit « une primitive » ou on donne la famille F + C.
• Oublier le coefficient 1/a. Une primitive de e^2x est ½ e^2x, non e^2x ; la dérivation de contrôle le détecte.
• Signe entre sin et cos. Une primitive de sin est −cos ; on la retrouve en se rappelant que la dérivée de cos est −sin.
• Primitive d'un produit égale au produit des primitives. (x²/2) eˣ n'est pas une primitive de x eˣ : sa dérivée contient un terme en x² eˣ.
• ln(x²) pour 1/x². 1/x² = x⁻² relève des puissances : −1/x. Le logarithme n'intervient que pour u′/u.
• Ignorer u > 0. ½ ln(2x + 3) est une primitive de 1/(2x + 3) seulement sur ]−3/2 ; +∞[.

Trois exercices corrigés sur les primitives

Exercice 1 · Puissances, racine et exponentielle

Énoncé. Déterminer une primitive sur ]0 ; +∞[ de f(x) = 4x³ − 6x + 1/x² et de g(x) = 1/√x + eˣ.

Correction. F(x) = x⁴ − 3x² − 1/x, puisque 1/x² = x⁻² a pour primitive x⁻¹/(−1) = −1/x.

G(x) = 2√x + eˣ. Vérification : G′(x) = 1/√x + eˣ.

Exercice 2 · Trois formes composées à reconnaître

Énoncé. Déterminer une primitive sur ℝ de h(x) = (3x − 1)⁴, de k(x) = cos(2x) et de m(x) = 2x/(x² + 4)².

Correction. h(x) = ⅓ × 3(3x − 1)⁴, de la forme ⅓ u′u⁴ avec u(x) = 3x − 1. H(x) = ⅓ × (3x − 1)⁵/5 = (3x − 1)⁵/15.

k(x) = ½ × 2cos(2x), de la forme ½ u′cos(u). K(x) = ½ sin(2x).

m(x) = u′(x)/u(x)² avec u(x) = x² + 4, qui ne s'annule pas sur ℝ. M(x) = −1/(x² + 4). Vérification : M′(x) = 2x/(x² + 4)².

Exercice 3 · Avec un logarithme, et une condition imposée

Énoncé. a) Déterminer la primitive F de f(x) = ln(x)/x sur ]0 ; +∞[ telle que F(e) = 1. b) Déterminer une primitive sur ℝ de g(x) = eˣ/(eˣ + 1).

Correction. a) f(x) = (1/x) × ln(x) = u′(x) × u(x) avec u = ln : forme u′u¹. Les primitives sont x ↦ ½ (ln x)² + C. F(e) = ½ × 1² + C = 1 donne C = ½. F(x) = ½ (ln x)² + ½.

b) Avec u(x) = eˣ + 1, u′(x) = eˣ et u(x) > 0 sur ℝ : g = u′/u. G(x) = ln(eˣ + 1).

Vérification : G′(x) = eˣ/(eˣ + 1) = g(x), et F′(x) = ½ × 2 ln(x) × (1/x) = ln(x)/x.

Les primitives servent ensuite au calcul d'intégrales et d'aires et aux équations différentielles.