Navier-Stokes, le problème du millénaire et ce que l'IA a démontré

Depuis le 8 septembre 2026, on lit partout que l'intelligence artificielle « a résolu Navier-Stokes ». La phrase en dit trop, sans être tout à fait fausse. Pour mesurer l'écart, il faut savoir ce que disent ces équations et ce que demandait exactement le problème.

Ce que décrivent les équations de Navier-Stokes

Claude-Louis Navier, ingénieur des Ponts et Chaussées, présente en 1822 à l'Académie des sciences des équations du mouvement des fluides qui tiennent compte du frottement interne. George Stokes, à Cambridge, les retrouve en 1845 par un autre raisonnement. C'est la loi de Newton, masse fois accélération égale somme des forces, appliquée à chaque petite goutte de fluide. Écrite pour un liquide qu'on ne peut pas comprimer, comme l'eau, elle prend cette forme :

∂u/∂t + (u · ∇)u = −∇p/ρ + ν Δu + f, avec ∇ · u = 0

Lue de gauche à droite, terme par terme :

• ∂u/∂t est la variation de la vitesse du fluide, en un point fixe, au fil du temps.
• (u · ∇)u dit que le fluide se transporte lui-même. Une goutte emportée par le courant arrive dans une zone où la vitesse est différente, et sa propre vitesse change. C'est le seul terme où la vitesse se multiplie par elle-même, et c'est de lui que viennent les tourbillons, la turbulence et toute la difficulté.
• −∇p/ρ est la pression : le fluide est poussé des zones de haute pression vers les zones de basse pression (ρ est la masse volumique).
• ν Δu est la viscosité, le frottement entre couches voisines, qui lisse les écarts de vitesse. Le miel en a beaucoup, l'air très peu.
• f est une force extérieure, la gravité ou une hélice qui brasse. Retenez ce terme, toute l'affaire de 2026 tourne autour de lui.
• ∇ · u = 0 traduit l'incompressibilité. Ce qui entre dans un petit volume doit en ressortir.

Pour un lycéen, l'équation la plus proche est l'équation différentielle de terminale, y′ = ay + b, où l'on cherche aussi une fonction à partir de sa dérivée. Ici l'inconnue est une vitesse qui dépend de trois coordonnées d'espace et du temps, et le terme de transport rend l'équation non linéaire. Aucune formule ne donne la solution en général.

Résolues chaque jour par ordinateur, jamais résolues sur le papier

Les modèles de prévision météo tournent sur des équations tirées de Navier-Stokes. Les avionneurs s'en servent pour dessiner une aile, les écuries de Formule 1 pour leurs ailerons, au point que le règlement limite les heures de soufflerie et de calcul numérique de chaque équipe. En médecine, on simule l'écoulement du sang dans une artère rétrécie pour décider s'il faut poser un stent.

Dans tous ces cas, l'ordinateur ne résout pas l'équation. Il découpe l'espace en millions de petites cellules, remplace les dérivées par des différences entre cellules voisines, et avance par pas de temps. Le résultat est une approximation, excellente quand le maillage est assez fin. La question mathématique est autre : la vraie solution, partie d'un état parfaitement régulier, existe-t-elle pour toujours, ou sa vitesse peut-elle devenir infinie en un point, à un instant précis ? Une simulation ne peut pas trancher, parce qu'à l'approche d'un tel point toute grille devient trop grossière.

Le problème posé par le Clay en 2000

En 2000, à Paris, le Clay Mathematics Institute a dressé la liste de sept problèmes du millénaire, chacun doté d'un million de dollars. L'énoncé de Navier-Stokes a été rédigé par Charles Fefferman, de Princeton. Il porte sur un fluide visqueux et incompressible en trois dimensions, parti d'un état lisse et d'énergie finie : sa solution reste-t-elle lisse pour toujours, ou peut-elle exploser en temps fini, ce que les spécialistes appellent un « blow-up » ?

Quatre énoncés, un seul suffit

Fefferman a proposé quatre énoncés, et démontrer n'importe lequel vaut le prix.

Source : Clay Mathematics Institute, énoncé officiel de C. Fefferman (2000).

La table cache une asymétrie. A et C ne sont pas exactement contraires : si A est faux, C est vrai, mais C peut être vrai sans que A soit faux. Démontrer C revient à dire qu'on peut faire exploser un fluide en le poussant de la bonne façon. Cela ne dit rien d'un fluide qu'on laisse évoluer seul. Pendant vingt-six ans, la plupart des chercheurs ont visé A ou une explosion sans force, la question physique qui les intéressait. La porte C, plus large, existait dans le texte.

Pourquoi le plan est réglé et pas l'espace

En deux dimensions, on sait depuis les années 1960 que les solutions restent lisses. La raison se voit sur les tourbillons. Dans un écoulement plat, un tourbillon est emporté et amorti par la viscosité, mais rien ne peut l'étirer. En trois dimensions, un tourbillon peut être étiré le long de son axe, et comme une patineuse qui ramène les bras, il tourne alors plus vite en devenant plus fin. Si cet étirement s'emballe plus vite que la viscosité ne lisse, la vitesse peut devenir infinie en un point. L'énergie totale, qui reste bornée, ne suffit pas en 3D à exclure ce scénario.

Quatre-vingt-dix ans d'approches

En 1934, Jean Leray démontre que des solutions existent pour toujours si l'on accepte qu'elles soient « faibles », c'est-à-dire qu'elles vérifient l'équation en moyenne sans forcément être dérivables partout. Il démontre aussi qu'elles restent lisses si la vitesse de départ est assez petite. Le cas général reste ouvert depuis.

En 2016, Terence Tao publie l'explosion en temps fini d'une version « moyennée » de Navier-Stokes, qui garde la conservation de l'énergie mais modifie le terme de transport. Il en conclut qu'une preuve de régularité devra se servir de la structure précise de la vraie équation.

D'autres équations voisines ont cédé avant elle. Les équations d'Euler sont Navier-Stokes sans viscosité. Jiajie Chen et Thomas Hou ont démontré, avec une partie de la preuve vérifiée par ordinateur, l'explosion de solutions d'Euler en 3D en présence d'une paroi, ainsi que pour l'équation de Boussinesq en 2D (prépublication en 2022, publication en 2025). Diego Córdoba et Luis Martínez-Zoroa ont construit en 2023 une explosion pour Euler en 3D poussé par une force, avec des tourbillons de plus en plus concentrés qui s'amplifient d'échelle en échelle. En septembre 2025, Google DeepMind, avec Javier Gómez-Serrano et Tristan Buckmaster, a trouvé par réseaux de neurones des familles de singularités « instables », qui n'apparaissent que si l'état de départ est réglé avec une précision extrême, sans prétendre résoudre le problème du millénaire.

Septembre 2026 : ce qu'OpenAI annonce

Le théorème

Le 8 septembre 2026, OpenAI publie un article de 166 pages, « Finite time blowup for Navier–Stokes », et une traduction de la preuve dans le langage Lean. Le théorème dit ceci : pour n'importe quelle viscosité, il existe un fluide qui part du repos, poussé par une force lisse qui n'agit que dans une région bornée de l'espace, dont la vitesse devient infinie au bout d'un temps fini alors que son énergie reste bornée. L'article revendique explicitement les énoncés C et D. Le mécanisme décrit est un tourbillon où le fluide spirale vers l'axe et s'échappe le long de cet axe ; le cœur devient une colonne de plus en plus fine et tourne de plus en plus vite.

Le travail a été produit par un modèle interne non publié, lancé en essaim d'environ 10 000 agents qui ont travaillé 88 heures, puis environ 17 heures de plus pour la formalisation. OpenAI a annoncé qu'il ne réclamerait pas le prix.

La force extérieure, tout le débat

Dans la construction, la force est fabriquée à partir de l'écoulement voulu : on choisit un tourbillon qui se resserre, on calcule ce qu'il faudrait lui appliquer pour qu'il vérifie l'équation, et tout le travail consiste à rendre ce surplus parfaitement lisse. C'est permis par l'énoncé C. Le 17 septembre, Peter Constantin, Mihaela Ignatova et Vlad Vicol ont publié une prépublication, non encore relue par une revue, où ils démontrent qu'une construction de ce type ne peut pas fonctionner avec une force « analytique », une classe de fonctions très régulières à laquelle appartient la force nulle. La méthode, telle qu'elle est, ne peut donc pas trancher les énoncés A et B.

Les avis se partagent sur ce que cela vaut. Diego Córdoba rappelle que tous les fluides réels subissent une force. Luis Silvestre, de l'université de Chicago, résume pour Scientific American : le problème du Clay est réglé, le problème principal des équations de Navier-Stokes ne l'est pas. Les deux phrases peuvent être vraies en même temps, à condition que la preuve soit juste.

Vérifié par Lean, vérifié par qui

Lean est un langage où l'on écrit une démonstration ligne par ligne, et un programme vérifie que chaque pas découle des précédents et des axiomes. Si le fichier se compile, l'énoncé formel est démontré, sans erreur de calcul possible. Il reste à vérifier que l'énoncé formel dit bien ce que dit l'article, et ce travail est humain.

Le 6 octobre 2026, trois chercheurs de Cambridge et du King's College de Londres ont publié une analyse qui relève des écarts entre le code Lean et l'article : des énoncés intermédiaires différents, des preuves qui passent par d'autres chemins. Ils précisent qu'ils ne se prononcent pas sur la justesse de la preuve écrite. Au 14 octobre, aucune relecture par une revue n'a été publiée, et plusieurs spécialistes cités par Scientific American le 13 octobre décrivent un texte très difficile à pénétrer. Le Clay, dans sa déclaration du 11 septembre, parle d'un problème « apparemment » réglé et d'une évaluation « délibérément sans hâte ». Ses règles imposent deux ans d'attente après publication, et sa page affiche toujours le problème comme « actif ».

La querelle de paternité

La veille de l'annonce, Tristan Buckmaster (université de New York) et Levent Alpöge annonçaient un résultat voisin, l'explosion des équations d'Euler avec force, obtenu eux aussi avec l'aide de l'IA. Une querelle a suivi sur l'influence que leurs travaux auraient pu avoir ; OpenAI la dément. Selon les experts interrogés par Scientific American en octobre, la preuve de Navier-Stokes ne suit pas le même programme, même si elle passe par la même porte de la force extérieure. Rien n'a été tranché par une instance indépendante.

Ce que ça change pour la façon de faire des maths

Une machine a produit en moins de quatre jours une construction de plus de 160 pages sur une équation qui résiste depuis 1934, et un vérificateur a accepté sa version formelle. Même si la preuve devait finalement tomber, ce fait reste. Le travail des mathématiciens se déplace vers ce qu'aucun vérificateur ne juge, savoir si l'énoncé formel est le bon et si le résultat répond à la question qui comptait. Sur Navier-Stokes, les désaccords depuis septembre portent exactement là-dessus, et ce sont des humains qui les tranchent, prépublication contre prépublication.

Pour un élève, l'affaire montre ce que rapportent les maths qu'on apprend au lycée. Lire un énoncé mot à mot, savoir qu'un « il existe » se prouve avec un seul exemple quand un « pour tout » exige un argument général, voir qu'une hypothèse ajoutée change la question : la différence entre l'énoncé A et l'énoncé C n'est rien d'autre. Ceux qui se demandent ce que vaut un diplôme quand une machine démontre des théorèmes trouveront une réflexion plus large dans cet article sur les grandes écoles à l'heure de l'IA. Et pour un lycéen que ce genre de problème attire, les olympiades et le Concours général sont le premier endroit où l'on cherche des démonstrations plutôt que des résultats.