Représentation paramétrique d'une droite de l'espace : un point, un vecteur, un paramètre

La représentation paramétrique d'une droite est au programme de spécialité de terminale (2019), partie « Représentations paramétriques et équations cartésiennes » : il faut savoir en déterminer une, la reconnaître, et s'en servir pour étudier alignement, parallélisme, intersection et projeté orthogonal. Elle traduit en calcul ce qu'on a vu sur les vecteurs de l'espace : une droite est déterminée par un point et une direction.

D'où sort le système en x, y, z

Dans un repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗), soit d la droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et de vecteur directeur u⃗(a ; b ; c) ≠ 0⃗. Un point M(x ; y ; z) appartient à d si et seulement si AM^→ et u⃗ sont colinéaires, c'est-à-dire, comme u⃗ n'est pas nul, s'il existe un réel t tel que AM^→ = t u⃗. Coordonnée par coordonnée : x − x_A = ta, y − y_A = tb, z − z_A = tc, d'où le système de l'encadré. Le réel t associé à M est unique puisque u⃗ est non nul. Le repère n'a pas besoin d'être orthonormé ; il ne le devient que pour le produit scalaire (orthogonalité, distances).

Lire une représentation paramétrique, c'est faire le chemin inverse : les termes constants donnent un point (celui de t = 0), les coefficients de t un vecteur directeur. Dans x = 3 − t, y = 2t, z = 1 + t, on lit le point (3 ; 0 ; 1) et le vecteur (−1 ; 2 ; 1) : dans y = 2t, le terme constant est 0, et c'est lui qu'on oublie.

Changer de point de d, ou remplacer u⃗ par un vecteur non nul colinéaire, donne une autre représentation de la même droite. Pour vérifier que deux systèmes décrivent la même droite, il faut les deux conditions : vecteurs directeurs colinéaires et un point de l'une sur l'autre (la colinéarité seule ne donne que le parallélisme).

Appartenance, position relative, plan, projeté

Appartenance. On remplace x, y, z par les coordonnées du point et l'on résout chaque équation en t : le point est sur la droite si les trois donnent la même valeur. Si un coefficient a, b ou c est nul, l'équation correspondante ne contient pas t et doit simplement être vraie.

Deux droites. Deux droites ont des paramètres de noms différents, t et s : écrire t dans les deux imposerait la même valeur de paramètre aux deux points, ce qui n'a aucune raison d'être. On regarde d'abord si les vecteurs directeurs sont colinéaires. Si oui, les droites sont parallèles, et l'on teste un point de l'une sur l'autre (strictement parallèles ou confondues). Sinon, on égale les coordonnées : trois équations à deux inconnues. On résout avec deux d'entre elles, puis on vérifie la troisième. Vérifiée, les droites sont sécantes ; non vérifiée, elles sont non coplanaires, situation qui n'existe pas dans le plan.

Droite et plan. On remplace x, y, z par leurs expressions en t dans l'équation ax + by + cz + d = 0 du plan (voir l'équation cartésienne d'un plan). L'équation du premier degré en t obtenue a une solution unique (point d'intersection), aucune (droite parallèle au plan, sans point commun) ou une infinité (droite contenue dans le plan).

Projeté orthogonal de M sur d (repère orthonormé). On écrit H comme point de d, AH^→ = t u⃗, et l'on impose HM^→ · u⃗ = 0. Alors AM^→ · u⃗ = (AH^→ + HM^→) · u⃗ = t ‖u⃗‖², donc t = (AM^→ · u⃗) / ‖u⃗‖², et la distance de M à d vaut MH. Le calcul est celui du produit scalaire en coordonnées, avec une troisième coordonnée ; l'exercice 3 le traite en entier.

La droite (AB) face à des points et à d’autres droites

Exemple 1 · La droite (AB) et deux points à tester

Énoncé. Dans un repère de l'espace, on donne A(1 ; 2 ; −1) et B(3 ; −1 ; 4). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). Les points C(5 ; −4 ; 9) et D(−1 ; 5 ; −5) appartiennent-ils à (AB) ?

Rédaction. Les points A et B sont distincts et AB^→(2 ; −3 ; 5) est un vecteur directeur de (AB). Une représentation paramétrique de (AB) est donc : x = 1 + 2t, y = 2 − 3t, z = −1 + 5t, t ∈ ℝ.

Pour C : 1 + 2t = 5 donne t = 2 ; alors y = 2 − 6 = −4 et z = −1 + 10 = 9, ce sont bien les coordonnées de C. Donc C ∈ (AB), avec t = 2.

Pour D : 1 + 2t = −1 donne t = −1 ; alors y = 2 + 3 = 5, qui convient, mais z = −1 − 5 = −6 ≠ −5. Aucun réel t ne donne D, donc D ∉ (AB). Deux coordonnées sur trois « marchent » : qui ne teste que x et y conclut à tort.

Exemple 2 · Sécantes ou non coplanaires

Énoncé. On reprend d₁ = (AB) de l'exemple 1. Soit d₂ : x = 2 + s, y = −2 + s, z = 6 − 2s, s ∈ ℝ, et d₃ : x = 2 + s, y = −2 + s, z = 5 − 2s, s ∈ ℝ. Étudier la position relative de d₁ et d₂, puis de d₁ et d₃.

Rédaction. Un vecteur directeur de d₁ est u⃗(2 ; −3 ; 5), un vecteur directeur de d₂ est v⃗(1 ; 1 ; −2). Leurs deux premières coordonnées donnent 2/1 ≠ −3/1, donc ils ne sont pas colinéaires et les droites ne sont pas parallèles.

On cherche t et s tels que 1 + 2t = 2 + s, 2 − 3t = −2 + s et −1 + 5t = 6 − 2s. En soustrayant les deux premières équations, on obtient 5t − 1 = 4, donc t = 1, puis s = 1. On vérifie la troisième : −1 + 5 = 4 et 6 − 2 = 4. Elle est vérifiée, donc d₁ et d₂ sont sécantes, au point de paramètre t = 1 sur d₁, c'est-à-dire (3 ; −1 ; 4), qui est le point B.

Pour d₃, le vecteur directeur est le même v⃗, donc d₁ et d₃ ne sont pas parallèles. Les deux premières équations sont identiques à celles d'avant et donnent encore t = 1 et s = 1. Mais la troisième donne −1 + 5 = 4 d'un côté et 5 − 2 = 3 de l'autre : le système n'a pas de solution. Les droites d₁ et d₃ ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires.

Ce que montre la figure de la représentation paramétrique

La figure dessine en perspective cavalière la droite (AB) de l'exemple 1, dans l'ordre des valeurs de t : A, puis le vecteur u⃗ = AB^→ en or et le point B, puis C, puis le point t = −1, et enfin la droite entière. t = 0 redonne A, t = 1 donne B (une fois u⃗), t = 2 donne C (deux fois u⃗), t = −1 le point situé de l'autre côté de A, à la même distance que B : le paramètre compte combien de fois on a reporté u⃗ depuis A, et quand t décrit ℝ, M(t) parcourt toute la droite. Les pointillés gris rappellent la position de A, d'abscisse 1, d'ordonnée 2 et de cote −1. Le dessin ne prouve rien : deux droites qui semblent se couper en perspective peuvent être non coplanaires, comme d₁ et d₃.

Les erreurs sur la représentation paramétrique qui coûtent des points

• Oublier « t ∈ ℝ » : sans ce quantificateur, le système ne décrit rien.
• Le même paramètre pour deux droites, qui fait conclure que des droites sécantes ne se coupent pas.
• Une seule équation résolue dans un test d'appartenance, sans vérifier les deux autres ; ou trois valeurs de t différentes et la conclusion que le point est sur la droite « pour plusieurs t ».
• La troisième équation oubliée dans l'étude de deux droites : on annonce sécantes des droites non coplanaires. Et deux droites sans point commun ne sont parallèles que si l'on a montré la colinéarité des vecteurs directeurs.
• Prendre comme vecteur directeur les coordonnées d'un point, ou OA^→ à la place de AB^→ : un point donne une position, pas une direction.

Trois exercices corrigés sur la représentation paramétrique

Exercice 1 · Écrire, tester, réécrire

Énoncé. Dans un repère de l'espace, P(0 ; 1 ; 3) et Q(2 ; 1 ; −1). Donner une représentation paramétrique de (PQ). Le point R(3 ; 1 ; −3) appartient-il à (PQ) ? Donner une seconde représentation paramétrique de (PQ), passant par Q et de vecteur directeur w⃗(1 ; 0 ; −2).

Correction. PQ^→(2 ; 0 ; −4) est non nul, donc (PQ) : x = 2t, y = 1, z = 3 − 4t, t ∈ ℝ. La deuxième équation ne contient pas t : tous les points de (PQ) ont pour ordonnée 1.

Pour R : 2t = 3 donne t = 3/2 ; l'ordonnée de R est bien 1, et z = 3 − 6 = −3. Donc R ∈ (PQ).

Le vecteur w⃗ vérifie PQ^→ = 2w⃗, il est donc colinéaire à PQ^→ et non nul ; Q est sur (PQ). Une autre représentation est x = 2 + k, y = 1, z = −1 − 2k, k ∈ ℝ. Contrôle : k = −2 redonne P(0 ; 1 ; 3) et k = 1 redonne R(3 ; 1 ; −3).

Exercice 2 · Deux droites parallèles, puis une droite qui perce un plan

Énoncé. Soit Δ : x = 3 − t, y = 2t, z = 1 + t, t ∈ ℝ, et Δ′ : x = 1 + 2s, y = −4s, z = −2s, s ∈ ℝ. a) Donner un point et un vecteur directeur de chacune. b) Étudier leur position relative. c) Déterminer l'intersection de la droite d₁ de l'exemple 1 avec le plan 𝒫 d'équation 2x − y + z − 3 = 0.

Correction. a) Δ passe par E(3 ; 0 ; 1) et a pour vecteur directeur u⃗(−1 ; 2 ; 1). Δ′ passe par F(1 ; 0 ; 0) et a pour vecteur directeur v⃗(2 ; −4 ; −2).

b) v⃗ = −2u⃗, donc les droites sont parallèles. F est-il sur Δ ? 3 − t = 1 donne t = 2, puis y = 4 ≠ 0. Donc F ∉ Δ : les droites sont strictement parallèles.

c) On remplace dans l'équation de 𝒫 : 2(1 + 2t) − (2 − 3t) + (−1 + 5t) − 3 = 0, soit 12t − 4 = 0, donc t = 1/3. L'équation a une solution unique : d₁ coupe 𝒫 en un point, de coordonnées x = 1 + 2/3 = 5/3, y = 2 − 1 = 1, z = −1 + 5/3 = 2/3. Contrôle : 10/3 − 1 + 2/3 − 3 = 0.

Exercice 3 · Distance d'un point à une droite, par deux méthodes

Énoncé. Le repère est orthonormé. Soit d : x = t, y = 1 + t, z = 2 − t, t ∈ ℝ, et M(4 ; 1 ; 2). a) Déterminer le projeté orthogonal H de M sur d par le produit scalaire. b) Pour t réel, on note M_t le point de d de paramètre t. Exprimer MM_t² en fonction de t et retrouver H et la distance de M à d.

Correction. a) d passe par A(0 ; 1 ; 2) et a pour vecteur directeur u⃗(1 ; 1 ; −1). AM^→(4 ; 0 ; 0), AM^→ · u⃗ = 4 et ‖u⃗‖² = 3, donc t = 4/3 et H(4/3 ; 7/3 ; 2/3). Contrôle : HM^→(8/3 ; −4/3 ; 4/3) et HM^→ · u⃗ = 8/3 − 4/3 − 4/3 = 0.

b) MM_t^→(t − 4 ; t ; −t), donc MM_t² = (t − 4)² + t² + t² = 3t² − 8t + 16. Ce trinôme, de coefficient dominant positif, atteint son minimum en t = 8/6 = 4/3 : on retrouve H. Le minimum vaut 3 × 16/9 − 32/3 + 16 = 32/3. La distance de M à d est donc √(32/3) = 4√6/3 ≈ 3,27.

La seconde méthode illustre que le projeté orthogonal est le point de la droite le plus proche de M.