Vecteurs de l'espace en terminale : décomposer dans une base et prouver une coplanarité

Le calcul vectoriel du plan, avec une direction de plus

Le programme de terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) résume la notion ainsi : un vecteur non nul engendre une direction de droite, deux vecteurs non colinéaires une direction de plan, trois vecteurs non coplanaires tous les vecteurs de l'espace. Il attend qu'on exprime un vecteur comme combinaison linéaire à partir d'une figure (cube, pavé, tétraèdre) et qu'on étudie alignement, parallélisme et coplanarité.

Les règles de calcul du plan ne changent pas : relation de Chasles AB^→ + BC^→ = AC^→, multiplication par un réel, combinaisons linéaires au⃗ + bv⃗ + cw⃗. Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Une droite est caractérisée par un point A et un vecteur directeur u⃗ non nul : M appartient à la droite si et seulement s'il existe un réel t tel que AM^→ = tu⃗. En coordonnées, c'est la représentation paramétrique d'une droite.

Plans et coplanarité

Soient A un point et u⃗, v⃗ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points M tels qu'il existe deux réels s et t avec AM^→ = su⃗ + tv⃗ est un plan : le plan passant par A et dirigé par u⃗ et v⃗. L'ensemble des vecteurs su⃗ + tv⃗ est la direction de ce plan. Deux plans sont parallèles quand ils ont la même direction. Une droite est parallèle à un plan quand un de ses vecteurs directeurs appartient à la direction du plan.

Pour le plan (ABC), avec A, B, C non alignés, on prend u⃗ = AB^→ et v⃗ = AC^→ : M appartient à (ABC) si et seulement si AM^→ = sAB^→ + tAC^→ pour des réels s et t.

Trois vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si, en les représentant à partir d'un même point O par OU^→ = u⃗, OV^→ = v⃗, OW^→ = w⃗, les quatre points O, U, V, W sont dans un même plan. On utilise le critère suivant : si u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires, alors u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels a et b tels que w⃗ = au⃗ + bv⃗.

Pour des points, A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB^→, AC^→, AD^→ sont coplanaires. Si A, B, C ne sont pas alignés, cela revient à trouver a et b tels que AD^→ = aAB^→ + bAC^→.

Deux vecteurs sont toujours coplanaires : la question ne se pose qu'à partir de trois. Trois vecteurs deux à deux non colinéaires peuvent très bien être coplanaires : AB^→, AC^→ et BC^→, dans un triangle, ne sont jamais colinéaires deux à deux, et pourtant BC^→ = AC^→ − AB^→.

Base de l'espace : pourquoi la décomposition est unique

Trois vecteurs i⃗, j⃗, k⃗ non coplanaires forment une base de l'espace. Pour tout vecteur w⃗, il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z) tel que w⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Avec un point O, (O ; i⃗, j⃗, k⃗) est un repère et le point M a pour coordonnées celles de OM^→.

L'existence est admise. L'unicité se démontre en quelques lignes. Supposons xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ = x′i⃗ + y′j⃗ + z′k⃗ avec, par exemple, z ≠ z′. Alors (z − z′)k⃗ = (x′ − x)i⃗ + (y′ − y)j⃗, et en divisant par z − z′, qui n'est pas nul, k⃗ s'écrit comme combinaison linéaire de i⃗ et j⃗. Les trois vecteurs seraient coplanaires, ce qui contredit l'hypothèse. Donc z = z′, et le même raisonnement donne x = x′ et y = y′.

C'est cette unicité qui permet « d'identifier les coefficients » : si un calcul aboutit à αi⃗ + βj⃗ + γk⃗ = 0⃗ dans une base, alors α = β = γ = 0. Elle donne aussi les critères en coordonnées : u⃗(x ; y ; z) et v⃗(x′ ; y′ ; z′) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

La méthode sur une figure de devoir surveillé

1. Choisir une base adaptée à la figure : dans un cube ABCDEFGH, (AB^→, AD^→, AE^→) ; dans un tétraèdre ABCD, (AB^→, AC^→, AD^→).
2. Exprimer chaque vecteur utile dans cette base avec la relation de Chasles, en passant par des arêtes de la figure.
3. Conclure selon la question : deux vecteurs proportionnels donnent un alignement ou un parallélisme ; un vecteur qui s'écrit avec deux vecteurs d'un plan donne un parallélisme entre une droite et un plan ; un AD^→ qui s'écrit aAB^→ + bAC^→ donne une coplanarité.
4. Si l'énoncé fournit un repère, ou si les expressions deviennent lourdes, passer en coordonnées et résoudre un petit système.

Exemple 1 · La grande diagonale du cube

Énoncé. ABCDEFGH est un cube, ABCD et EFGH étant deux faces opposées, avec E au-dessus de A, F de B, G de C et H de D. Exprimer AG^→ en fonction de AB^→, AD^→ et AE^→.

Rédaction. D'après la relation de Chasles, AG^→ = AB^→ + BC^→ + CG^→. ABCD est un carré, donc BC^→ = AD^→. ACGE est un rectangle ([AE] et [CG] sont deux arêtes parallèles et de même longueur, de même sens), donc CG^→ = AE^→. Ainsi AG^→ = AB^→ + AD^→ + AE^→. Dans le repère (A ; AB^→, AD^→, AE^→), le point G a pour coordonnées (1 ; 1 ; 1).

Exemple 2 · Quatre points coplanaires, en coordonnées

Énoncé. Dans un repère de l'espace, on donne A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 0), C(0 ; 2 ; 1) et D(6 ; 0 ; −1). Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ?

Rédaction. AB^→(2 ; 1 ; −2), AC^→(−1 ; 2 ; −1) et AD^→(5 ; 0 ; −3). Les coordonnées de AB^→ et AC^→ ne sont pas proportionnelles (2/(−1) = −2 alors que 1/2 = 0,5), donc A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan. On cherche a et b tels que AD^→ = aAB^→ + bAC^→, soit le système 2a − b = 5, a + 2b = 0, −2a − b = −3. En additionnant la première et la troisième équation, −2b = 2, donc b = −1, puis a = 2 avec la première. On vérifie la deuxième : 2 + 2 × (−1) = 0. Donc AD^→ = 2AB^→ − AC^→ et les points A, B, C, D sont coplanaires.

Avec trois équations et deux inconnues, on trouve a et b avec deux d'entre elles ; c'est la troisième qui décide.

Exemple 3 · Une droite parallèle à un plan, dans le cube

Énoncé. Dans le cube de l'exemple 1, I est le milieu de [AE] et J celui de [FG]. Montrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (ABH).

Rédaction. Par Chasles, IJ^→ = IE^→ + EF^→ + FJ^→. Comme I est le milieu de [AE], IE^→ = ½AE^→ ; EF^→ = AB^→ ; et FJ^→ = ½FG^→ = ½AD^→. Donc IJ^→ = AB^→ + ½(AD^→ + AE^→). Or AH^→ = AD^→ + DH^→ = AD^→ + AE^→. Ainsi IJ^→ = AB^→ + ½AH^→. Les vecteurs AB^→ et AH^→ ne sont pas colinéaires et dirigent le plan (ABH) ; IJ^→ en est une combinaison linéaire, donc la droite (IJ) est parallèle au plan (ABH).

On peut préciser que la droite n'est pas contenue dans le plan : (ABH) est le plan (ABGH), qui coupe l'arête [AE] seulement en A, et I est distinct de A. La droite (IJ) est donc strictement parallèle au plan.

La figure du cube

Le cube est dessiné en perspective cavalière : arêtes cachées en pointillés, arêtes parallèles parallèles sur le dessin, seule propriété que cette perspective garantit. Sur le cube déjà dessiné, les trois vecteurs de la base se tracent l'un après l'autre depuis A : AB^→ en bleu nuit, AD^→ en bleu clair, AE^→ en vert. Vient ensuite le vecteur doré AG^→, qui traverse le cube jusqu'au sommet opposé, la même flèche qu'AB^→, BC^→ et CG^→ mis bout à bout (exemple 1). Enfin I, J et le vecteur rouge IJ^→, qui monte d'une demi-arête, avance d'une arête selon AB^→ et d'une demi-arête selon AD^→ (exemple 3). Sur le dessin, IJ^→ et AG^→ semblent se couper ; dans l'espace, ces deux droites ne se rencontrent pas.

Les erreurs sur les vecteurs de l'espace qui coûtent des points

• Lire une intersection sur la figure : deux segments qui se croisent sur un dessin en perspective peuvent porter des droites non coplanaires. Seul un calcul tranche.
• Croire que trois vecteurs deux à deux non colinéaires forment une base : il faut qu'ils ne soient pas coplanaires (contre-exemple du triangle).
• Oublier la troisième équation du système : c'est le piège de l'exercice 2.
• Inverser un sens dans Chasles : FJ^→ = ½FG^→ est juste, FJ^→ = ½GF^→ est faux. On nomme chaque vecteur en suivant le chemin sur la figure, du départ à l'arrivée.
• Affirmer qu'une droite est parallèle à un plan sans exhiber la combinaison linéaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

Trois exercices corrigés sur les vecteurs de l'espace

Exercice 1 · Une somme de trois diagonales de faces

Énoncé. Dans le cube ABCDEFGH de l'exemple 1, simplifier AF^→ + AH^→ + AC^→.

Correction. Dans la base (AB^→, AD^→, AE^→) : AF^→ = AB^→ + BF^→ = AB^→ + AE^→, AH^→ = AD^→ + AE^→ et AC^→ = AB^→ + AD^→. En additionnant, AF^→ + AH^→ + AC^→ = 2AB^→ + 2AD^→ + 2AE^→ = 2(AB^→ + AD^→ + AE^→) = 2AG^→, d'après l'exemple 1. En coordonnées, (1 ; 0 ; 1) + (0 ; 1 ; 1) + (1 ; 1 ; 0) = (2 ; 2 ; 2).

Exercice 2 · Coplanaires ou non ?

Énoncé. On reprend A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 0) et C(0 ; 2 ; 1) de l'exemple 2, et on considère D′(4 ; 5 ; −1). Les points A, B, C, D′ sont-ils coplanaires ?

Correction. AD′^→(3 ; 5 ; −3). On sait que A, B, C ne sont pas alignés. On cherche a et b tels que AD′^→ = aAB^→ + bAC^→ : 2a − b = 3, a + 2b = 5, −2a − b = −3. La somme de la première et de la troisième équation donne −2b = 0, donc b = 0, puis a = 3/2. La deuxième équation devient 3/2 + 0 = 5, ce qui est faux. Le système n'a pas de solution : AD′^→ n'est pas combinaison linéaire de AB^→ et AC^→, et les points A, B, C, D′ ne sont pas coplanaires. Les vecteurs AB^→, AC^→, AD′^→ forment donc une base de l'espace.

Exercice 3 · Les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre

Énoncé. ABCD est un tétraèdre, I est le milieu de [AB] et J celui de [CD]. Démontrer que IJ^→ = ½(AD^→ + BC^→), puis que les vecteurs IJ^→, AD^→ et BC^→ sont coplanaires.

Correction. Par Chasles, de deux façons : IJ^→ = IA^→ + AD^→ + DJ^→ et IJ^→ = IB^→ + BC^→ + CJ^→. En additionnant, 2IJ^→ = (IA^→ + IB^→) + AD^→ + BC^→ + (DJ^→ + CJ^→). Comme I est le milieu de [AB], IA^→ + IB^→ = 0⃗ ; comme J est le milieu de [CD], DJ^→ + CJ^→ = 0⃗. Donc IJ^→ = ½AD^→ + ½BC^→. IJ^→ s'écrit comme combinaison linéaire de AD^→ et BC^→ : les trois vecteurs sont coplanaires. Ce résultat ne dit pas que les droites (IJ), (AD), (BC) sont dans un même plan, seulement que leurs directions le sont ; la droite (IJ) est parallèle à tout plan dirigé par AD^→ et BC^→.

La suite : l'équation cartésienne d'un plan, qui ajoute le produit scalaire dans l'espace, prolongement du produit scalaire de première.