Suite arithmétique : démontrer uₙ = u₀ + nr, puis ne plus jamais se tromper de rang

Ce qui progresse par ajouts constants, un coureur qui allonge sa sortie de 1,5 km chaque semaine, se modélise par une suite arithmétique. Le programme de première de 2026 la relie aux évolutions à accroissements constants et aux fonctions affines, et exige la démonstration de son terme général et du calcul de 1 + 2 + … + n. Elle fait partie du chapitre sur les suites en première.

Ajouter toujours le même nombre

La raison r est la même pour tous les rangs : c'est ce qu'il faut démontrer pour prouver qu'une suite est arithmétique. La forme uₙ₊₁ − uₙ = r transforme la question en un calcul : la différence de deux termes consécutifs dépend-elle de n ?

Exemple corrigé. Montrer que la suite définie par uₙ = 5n − 2 est arithmétique. La suite définie par vₙ = n² l'est-elle ?

Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ − uₙ = [5(n + 1) − 2] − [5n − 2] = 5n + 5 − 2 − 5n + 2 = 5. La différence ne dépend pas de n : (uₙ) est arithmétique de raison 5 et de premier terme u₀ = −2.

Pour (vₙ), on a v₀ = 0, v₁ = 1, v₂ = 4. Donc v₁ − v₀ = 1 et v₂ − v₁ = 3. Ces deux différences ne sont pas égales, donc (vₙ) n'est pas arithmétique. Un seul contre-exemple, écrit avec ses valeurs, suffit.

Pourquoi uₙ = u₀ + nr

Démonstration exigée. Soit (uₙ) arithmétique de raison r et n un entier naturel non nul. On écrit la relation de définition pour les rangs 0 à n − 1 :

u₁ = u₀ + r
u₂ = u₁ + r
…
uₙ = uₙ₋₁ + r

On additionne ces n égalités membre à membre. Les termes u₁, u₂, …, uₙ₋₁ apparaissent une fois à gauche et une fois à droite ; ils s'éliminent. Il reste uₙ = u₀ + n × r, puisque r a été ajouté n fois. La formule est encore vraie pour n = 0, car u₀ = u₀ + 0 × r. Donc pour tout n ∈ ℕ, uₙ = u₀ + nr.

Le même raisonnement, mené à partir du rang p au lieu du rang 0, donne uₙ = uₚ + (n − p)r : entre le rang p et le rang n, on ajoute r exactement n − p fois. Elle sert quand l'énoncé ne donne pas u₀, ou quand la suite commence à u₁ : uₙ = u₁ + (n − 1)r. Elle règle aussi l'énoncé classique qui donne deux termes non consécutifs.

Exemple corrigé. (uₙ) est arithmétique, avec u₅ = 17 et u₁₂ = 38. Déterminer sa raison, son premier terme et son terme général.

D'après la formule, u₁₂ = u₅ + (12 − 5)r, soit 38 = 17 + 7r. Donc 7r = 21 et r = 3. Puis u₅ = u₀ + 5r donne u₀ = 17 − 15 = 2. Pour tout n ∈ ℕ, uₙ = 2 + 3n. On vérifie : u₁₂ = 2 + 36 = 38.

Des points alignés : la figure et les fonctions affines

Si uₙ = u₀ + nr, alors uₙ = f(n) avec f(x) = rx + u₀, fonction affine de coefficient directeur r et d'ordonnée à l'origine u₀. Les points de coordonnées (n ; uₙ) sont donc tous sur la droite d'équation y = rx + u₀. Réciproquement, une suite de la forme uₙ = an + b est arithmétique de raison a.

La figure représente la suite de l'exemple précédent, uₙ = 2 + 3n. Le point u₀ apparaît d'abord, puis chaque marche se trace et dépose le terme suivant, et la droite d'alignement arrive avec la dernière. Les points bleus (0 ; 2), (1 ; 5), (2 ; 8)… jusqu'à (7 ; 23) sont posés sur la droite en pointillés y = 3x + 2. Entre deux points voisins, la marche dorée avance de 1 vers la droite, un rang de plus, et monte de 3, la raison. Toutes les marches ont la même hauteur, c'est la définition rendue visible ; on y lit aussi u₅ = 17. Le sens de variation se lit sur le signe de r (marches qui montent si r > 0, descendent si r < 0, palier si r = 0), puisque uₙ₊₁ − uₙ = r pour tout n ; voir le sens de variation d'une suite. Une suite géométrique, qui gagne le même pourcentage et non la même quantité, n'a pas ses points alignés.

La somme 1 + 2 + … + n et celle de termes consécutifs

Démonstration exigée. Soit n ≥ 1 et S = 1 + 2 + … + n. On l'écrit dans les deux sens :

S = 1 + 2 + … + (n − 1) + n
S = n + (n − 1) + … + 2 + 1

En additionnant terme à terme, chaque colonne vaut n + 1, et il y a n colonnes. Donc 2S = n(n + 1) et S = n(n + 1)/2. Par exemple, 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101/2 = 5 050.

Le même retournement donne la somme de termes consécutifs : nombre de termes × (premier + dernier)/2. Les variantes sont détaillées dans l'article sur la somme des termes d'une suite.

Exemple corrigé. Un coureur parcourt 4 km la première semaine, puis augmente sa distance de 1,5 km chaque semaine. Quelle distance parcourt-il la douzième semaine ? Et en tout sur douze semaines ?

On note dₙ la distance de la semaine n, pour n ≥ 1. La suite (dₙ) est arithmétique de premier terme d₁ = 4 et de raison 1,5, donc dₙ = d₁ + (n − 1) × 1,5 et d₁₂ = 4 + 11 × 1,5 = 20,5 km. La distance totale est la somme des douze termes de d₁ à d₁₂ : 12 × (4 + 20,5)/2 = 6 × 24,5 = 147 km.

Les pièges de rang, et quelques autres

• Le rang du premier terme : avec d₁ = 4, la douzième semaine correspond à onze ajouts de 1,5. d₁₂ = 4 + 12 × 1,5 = 22 a l'air juste et est faux. On vérifie la formule sur le premier terme : pour n = 1, 4 + (n − 1) × 1,5 donne bien 4.
• Le comptage des termes : de u₃ à u₁₅, il y a 15 − 3 + 1 = 13 termes, pas 12.
• Une suite déclarée arithmétique après trois termes calculés : seul uₙ₊₁ − uₙ pour n quelconque le prouve ; quelques termes servent à réfuter.
• Les formules arithmétique et géométrique mélangées (uₙ = u₀ × rⁿ, uₙ = u₀ + qn) : on ajoute r, on multiplie par q.

Trois exercices corrigés sur les suites arithmétiques

Exercice 1 · Remonter au premier terme. (uₙ) est arithmétique de raison 4 et u₃ = 10. Calculer u₀ et u₁₅.

D'après la formule uₙ = uₚ + (n − p)r : u₃ = u₀ + 3 × 4, donc u₀ = 10 − 12 = −2. Puis u₁₅ = u₃ + (15 − 3) × 4 = 10 + 48 = 58. On vérifie avec u₀ : −2 + 15 × 4 = 58.

Exercice 2 · Une suite déguisée. Soit uₙ = (n + 1)² − n² pour tout n ∈ ℕ. Montrer que (uₙ) est arithmétique, puis calculer S = u₀ + u₁ + … + u₂₀.

On développe : uₙ = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1. Alors uₙ₊₁ − uₙ = [2(n + 1) + 1] − [2n + 1] = 2 pour tout n : (uₙ) est arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀ = 1.

De u₀ à u₂₀ il y a 21 termes ; le dernier vaut u₂₀ = 41. Donc S = 21 × (1 + 41)/2 = 21 × 21 = 441. On retrouve ce résultat autrement : en remplaçant chaque uₙ par (n + 1)² − n², les termes intermédiaires s'éliminent et il reste S = 21² − 0² = 441. La somme des 21 premiers nombres impairs est 21².

Exercice 3 · Trois termes consécutifs. Trois nombres sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Leur somme vaut 15 et leur produit 80. Les déterminer.

On les note a − r, a et a + r, où r est la raison : ce choix centré simplifie les calculs. Leur somme vaut 3a = 15, donc a = 5. Leur produit vaut (5 − r) × 5 × (5 + r) = 5(25 − r²) = 80, d'où 25 − r² = 16, r² = 9, et r = 3 ou r = −3.

Avec r = 3, les nombres sont 2, 5, 8 ; avec r = −3, ce sont 8, 5, 2. Vérification : 2 + 5 + 8 = 15 et 2 × 5 × 8 = 80. Les trois nombres sont 2, 5 et 8, dans un ordre croissant ou décroissant selon le signe de la raison.