Suites numériques en première : la carte du chapitre et ce que le programme 2026 attend

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) range le chapitre dans la partie Algèbre, sous le titre « Suites numériques, modèles discrets », et reprend dans ses grandes lignes le programme de 2019 : modes de génération, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, sommes, intuition de la limite. Chaque partie a sa page détaillée, signalée au fil du texte.

Ce que désigne uₙ, et ce que désigne (uₙ)

Les deux écritures ne disent pas la même chose. (uₙ) est la suite tout entière, la liste infinie de ses termes. uₙ est un seul nombre, le terme de rang n. On écrit donc « la suite (uₙ) est croissante » et « uₙ est positif », jamais l'inverse. Le programme admet aussi la notation fonctionnelle u(n), utile quand l'indice devient lourd, et la précision du premier rang : (u_n)_n≥1 commence à u₁.

Les indices se manipulent comme des variables. uₙ₊₁ est le terme qui suit uₙ ; uₙ₋₁ celui qui le précède, à condition que n ≥ 1 ; u₂ₙ est le terme de rang double. Rien de tout cela ne se confond avec uₙ + 1, qui est le terme uₙ augmenté d'une unité.

Exemple corrigé. Soit (uₙ) définie pour tout entier naturel n par uₙ = n² − 3n + 1. Calculer u₀, u₁, u₂, u₃ et u₁₀, puis exprimer uₙ₊₁ en fonction de n.

On remplace n par chaque valeur : u₀ = 0 − 0 + 1 = 1, u₁ = 1 − 3 + 1 = −1, u₂ = 4 − 6 + 1 = −1, u₃ = 9 − 9 + 1 = 1 et u₁₀ = 100 − 30 + 1 = 71. Pour uₙ₊₁, on remplace n par n + 1 dans toute l'expression : uₙ₊₁ = (n + 1)² − 3(n + 1) + 1 = n² + 2n + 1 − 3n − 3 + 1 = n² − n − 1. On vérifie avec n = 2 : 4 − 2 − 1 = 1, qui est bien u₃. Alors que uₙ + 1 = n² − 3n + 2.

La figure en tête de page représente cette suite. La parabole en pointillés, courbe de x ↦ x² − 3x + 1, se dessine d'abord, puis les points (n ; uₙ) apparaissent un par un : (0 ; 1), (1 ; −1), (2 ; −1), (3 ; 1), (4 ; 5), (5 ; 11), (6 ; 19). La suite est la restriction de la fonction aux entiers : ses points sont posés sur la courbe, mais il n'y a pas de terme u₁,₅. La représentation graphique d'une suite est ce nuage de points isolés. On y lit que u₁ = u₂, que la suite descend avant de remonter, et que les écarts entre termes consécutifs grandissent.

Trois façons de fabriquer une suite

Le programme parle de « modes de génération ». La formule explicite uₙ = f(n) donne n'importe quel terme directement : u₁₀₀ se calcule en une ligne. La relation de récurrence donne le premier terme et la règle pour passer d'un terme au suivant, uₙ₊₁ = f(uₙ) : pour obtenir u₁₀₀, il faut en principe calculer les cent termes qui précèdent, à la main, à la calculatrice ou par un programme. Sa représentation en escalier est expliquée dans l'article sur la suite définie par récurrence.

La troisième façon est un motif géométrique qui grandit avec n, ou un algorithme : le programme demande d'en tirer une relation, explicite ou de récurrence.

Exemple corrigé. On aligne n carrés côte à côte avec des allumettes, les carrés voisins partageant un côté. On note aₙ le nombre d'allumettes. Exprimer aₙ₊₁ en fonction de aₙ, puis aₙ en fonction de n.

Un carré demande 4 allumettes, deux carrés 7, trois carrés 10. Pour passer de n à n + 1 carrés, on ajoute trois allumettes : celle du haut, celle du bas et celle qui ferme à droite, le côté gauche du nouveau carré étant déjà là. Donc, pour tout n ≥ 1, aₙ₊₁ = aₙ + 3. Pour la formule explicite, on compte autrement : n allumettes en haut, n en bas, et n + 1 verticales. D'où aₙ = 2n + (n + 1) = 3n + 1. Il faut donc 151 allumettes pour 50 carrés. Les deux relations décrivent la même suite, qui est arithmétique de raison 3.

Les deux familles que le programme formalise

Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r ; géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre q. Le programme les relie à deux types d'évolution : un accroissement constant pour la première, un taux d'évolution constant pour la seconde. Une hausse de 3 % par an se traduit par une multiplication par q = 1,03 ; une baisse de 6 %, par une multiplication par 0,94.

Les démonstrations exigées par le programme sont celles du terme général des deux familles et des deux sommes de référence ; un professeur exigeant les pose en question de cours. Chaque famille a son article, avec ses démonstrations et ses pièges : la suite arithmétique et la suite géométrique. Les sommes de termes consécutifs sont traitées dans la somme des termes d'une suite. Il existe aussi des suites qui ne sont ni l'une ni l'autre mais s'y ramènent, de la forme uₙ₊₁ = auₙ + b : la suite arithmético-géométrique n'est pas au programme comme famille, mais revient sans cesse en exercice, guidée par une suite auxiliaire.

Sens de variation et limite conjecturée

Une suite (uₙ) est croissante si, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ ≥ uₙ ; décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n. La méthode la plus sûre consiste à étudier le signe de la différence uₙ₊₁ − uₙ. Quand tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient uₙ₊₁/uₙ à 1, ce qui est le réflexe pour les suites géométriques. Pour une suite explicite uₙ = f(n), si f est monotone sur [0 ; +∞[, la suite a le même sens de variation.

Reprenons uₙ = n² − 3n + 1. D'après le calcul précédent, uₙ₊₁ − uₙ = (n² − n − 1) − (n² − 3n + 1) = 2n − 2. Cette différence est négative pour n = 0 et positive ou nulle pour tout n ≥ 1. La suite n'est donc pas croissante sur ℕ, puisque u₁ < u₀, mais elle est croissante à partir du rang 1.

Attention au cas récurrent. Pour uₙ₊₁ = f(uₙ), le fait que f soit croissante ne dit pas que la suite l'est : tout dépend du premier terme. Les méthodes complètes, avec leurs rédactions, sont dans l'article sur le sens de variation d'une suite.

Pour la limite, le programme de première exclut toute formalisation : on conjecture, sur des exemples, à l'aide de calculs ou d'un tableau de valeurs. Les termes de uₙ = 1/(n + 1) se rapprochent de 0. Ceux de uₙ = n² dépassent n'importe quel nombre donné à l'avance, à partir d'un certain rang : on dit que la suite tend vers +∞. Ceux de uₙ = (−1)ⁿ valent alternativement 1 et −1 et ne se rapprochent d'aucun nombre : la suite n'a pas de limite.

Sur une copie de première, on écrit « on conjecture que la suite converge vers 2 », jamais « la suite converge vers 2 » sans justification. La définition, les théorèmes de comparaison et la convergence des suites monotones bornées arrivent en terminale, dans le chapitre sur la limite d'une suite. Les notions de suite majorée, minorée ou bornée ne figurent pas dans les contenus du programme 2026 de première ; on les rencontre en terminale, et elles sont expliquées dans l'article sur la suite majorée, minorée, bornée.

Chercher un seuil avec un programme Python

Exemple corrigé. Un capital de 2 000 € est placé à intérêts composés au taux de 3 % par an. On note Cₙ le capital au bout de n années. Déterminer au bout de combien d'années il dépasse 3 000 €.

Chaque année, le capital est multiplié par 1 + 3/100 = 1,03, donc (Cₙ) est géométrique de raison 1,03 et de premier terme C₀ = 2 000 : Cₙ = 2 000 × 1,03ⁿ. On cherche le plus petit entier n tel que 2 000 × 1,03ⁿ ≥ 3 000, c'est-à-dire 1,03ⁿ ≥ 1,5. Sans logarithme, qui n'est pas au programme de première, on procède par essais ou par programme :

def seuil():
    n, c = 0, 2000
    while c < 3000:
        c = c * 1.03
        n = n + 1
    return n

La fonction renvoie 14. On le confirme à la calculatrice : C₁₃ ≈ 2 937,07 < 3 000 et C₁₄ ≈ 3 025,18 ≥ 3 000. Le capital dépasse 3 000 € au bout de 14 ans. Les deux valeurs encadrantes prouvent que 14 est le premier rang, et pas seulement un rang qui convient.

Les erreurs sur les suites qui coûtent des points

• Calculer uₙ₊₁ comme uₙ + 1 : on remplace n par (n + 1), avec ses parenthèses, partout dans la formule.
• Se tromper de premier rang : une suite qui commence à u₁ a pour terme général u₁ + (n − 1)r, pas u₀ + nr. De u₀ à uₙ il y a n + 1 termes, et non n : c'est l'erreur qui fausse le plus de sommes.
• Conclure sur le sens de variation à partir des premiers termes : u₀ = 1, u₁ = −1, u₂ = −1 laissaient croire à une suite décroissante ; elle monte vers +∞.
• Ne pas écrire la conclusion en toutes lettres, avec les mots de la question : « (uₙ) est croissante à partir du rang 1 », « le capital dépasse 3 000 € au bout de 14 ans ».

Trois exercices corrigés sur les suites

Exercice 1 · Une suite explicite rationnelle. Soit uₙ = (2n + 1)/(n + 1) pour tout n ∈ ℕ. Calculer u₀, u₁, u₂, étudier le sens de variation et conjecturer la limite.

u₀ = 1/1 = 1, u₁ = 3/2 et u₂ = 5/3.

Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = (2(n + 1) + 1)/((n + 1) + 1) = (2n + 3)/(n + 2). Alors uₙ₊₁ − uₙ = [(2n + 3)(n + 1) − (2n + 1)(n + 2)] / [(n + 1)(n + 2)]. Le numérateur vaut (2n² + 5n + 3) − (2n² + 5n + 2) = 1. Donc uₙ₊₁ − uₙ = 1/[(n + 1)(n + 2)], qui est strictement positif puisque n + 1 > 0 et n + 2 > 0. La suite (uₙ) est strictement croissante.

On remarque que uₙ = (2(n + 1) − 1)/(n + 1) = 2 − 1/(n + 1). Quand n devient grand, 1/(n + 1) se rapproche de 0 : par exemple u₉₉₉ = 1,999. On conjecture que (uₙ) converge vers 2.

Exercice 2 · Les nombres triangulaires. On dispose des points en triangle : 1 point sur la première ligne, 2 sur la deuxième, et ainsi de suite. On note Tₙ le nombre de points d'un triangle de n lignes. Trouver une relation de récurrence, puis une formule explicite, et calculer T₂₀.

T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 6, T₄ = 10. Passer de n à n + 1 lignes revient à ajouter une ligne de n + 1 points, donc pour tout n ≥ 1, Tₙ₊₁ = Tₙ + (n + 1).

Le triangle de n lignes contient 1 + 2 + … + n points. D'après la formule du cours, Tₙ = n(n + 1)/2. Vérification : T₄ = 4 × 5/2 = 10. Et T₂₀ = 20 × 21/2 = 210.

La suite (Tₙ) n'est ni arithmétique (les écarts 2, 3, 4… ne sont pas constants) ni géométrique (T₂/T₁ = 3 et T₃/T₂ = 2).

Exercice 3 · Une décroissance à taux constant. Un échantillon de 80 g d'une substance perd 6 % de sa masse chaque année. On note mₙ sa masse en grammes au bout de n années. Exprimer mₙ en fonction de n, étudier le sens de variation et déterminer l'année où la masse passe sous 40 g.

Perdre 6 % revient à multiplier par 1 − 6/100 = 0,94. Donc pour tout n ∈ ℕ, mₙ₊₁ = 0,94 mₙ : la suite (mₙ) est géométrique de raison 0,94 et de premier terme m₀ = 80, d'où mₙ = 80 × 0,94ⁿ. Par exemple m₁ = 75,2.

Pour tout n, mₙ > 0 et mₙ₊₁ − mₙ = 0,94 mₙ − mₙ = −0,06 mₙ < 0. La suite est strictement décroissante.

On cherche le plus petit entier n tel que 80 × 0,94ⁿ < 40, soit 0,94ⁿ < 0,5. À la calculatrice, 0,94¹¹ ≈ 0,5063 et 0,94¹² ≈ 0,4759, donc m₁₁ ≈ 40,50 g et m₁₂ ≈ 38,07 g. Comme la suite est décroissante, tous les termes suivants restent sous 40 g. La masse passe sous 40 g au cours de la douzième année : n = 12. On conjecture que mₙ tend vers 0.