Taux d'évolution réciproque : pourquoi une baisse de 20 % ne se rattrape pas par +20 %

Coefficient multiplicateur et taux

Une grandeur passe d'une valeur V₁ non nulle à une valeur V₂. La variation absolue V₂ − V₁ dit de combien elle a bougé ; le coefficient multiplicateur CM = V₂/V₁ dit par combien on a multiplié ; le taux d'évolution t = (V₂ − V₁)/V₁ rapporte la variation à la valeur de départ. Les deux derniers sont liés par CM = 1 + t : une hausse de 8 % correspond à un coefficient 1,08, une baisse de 15 % à 0,85. Les évolutions deviennent des multiplications.

Le programme de seconde applicable à la rentrée 2026 demande de « calculer le taux d'évolution global à partir des taux successifs » et de « calculer un taux d'évolution réciproque », par le produit et l'inverse des coefficients. Les bases sont sur la page du calcul d'un pourcentage d'évolution.

Pourquoi le coefficient réciproque est l'inverse

On cherche le taux t′ qui fait revenir de V₂ à V₁ : V₁ = (1 + t′) × V₂. Or V₂ = (1 + t) × V₁, donc V₁ = (1 + t′)(1 + t) × V₁. Comme V₁ ≠ 0, on peut diviser : (1 + t′)(1 + t) = 1.

Cette égalité exige 1 + t ≠ 0. Une baisse de 100 % donne V₂ = 0, et aucune multiplication ne fait revenir de 0 à une valeur non nulle. Pour une baisse inférieure à 100 %, 1 + t > 0 et 1 + t′ = 1/(1 + t), soit t′ = 1/(1 + t) − 1 = −t/(1 + t) en réduisant au même dénominateur.

Pour une hausse, t > 0, donc |t′| = t/(1 + t) < t : la baisse qui compense est plus faible. Pour une baisse, −1 < t < 0, donc t′ = |t|/(1 + t) > |t| : la hausse qui compense est plus forte. La baisse s'applique à une valeur plus grande, il lui faut un pourcentage plus petit pour retirer la même quantité. Les deux taux ne sont proches que si t est petit : pour +1 %, la réciproque vaut environ −0,99 % ; pour −50 %, elle vaut +100 %.

Ce que montre la courbe du taux réciproque

La figure place en abscisse le taux t, en pourcentage, de −60 % à +100 %, et en ordonnée le taux réciproque t′. La droite pointillée d'équation y = −t se trace d'abord : c'est la réponse fausse la plus tentante, « l'opposé ». La courbe pleine de t′ = −t/(1 + t) se trace ensuite par-dessus. Elles se touchent en 0, et c'est le seul point commun : à droite, la courbe reste au-dessus de la droite (la baisse compensatrice est plus faible que l'opposé), à gauche elle monte beaucoup plus vite (la hausse compensatrice est plus forte). Deux points de l'article apparaissent alors l'un après l'autre : +25 % donne −20 %, à 5 points de la droite ; −40 % donne +66,7 %, à près de 27 points. Le dernier point, en rouge, place −50 % face à +100 %. Plus on approche de −100 %, plus la courbe s'envole : c'est la trace graphique de la condition t > −1. La courbe est une hyperbole, cousine de la fonction inverse des fonctions de référence de seconde.

La méthode, et le piège des évolutions enchaînées

1. Écrire le coefficient multiplicateur CM = 1 + t, avec t en décimal (−12 % devient −0,12) ; pour plusieurs évolutions successives, multiplier les coefficients.
2. Calculer CM′ = 1/CM, gardé en fraction ou en valeur exacte.
3. En déduire t′ = CM′ − 1, converti en pourcentage et arrondi seulement à cette étape, avec une phrase qui dit hausse ou baisse.
4. Contrôler : partir de 100, appliquer t puis t′, retomber sur 100.

Un prix augmente de 10 %, puis de 20 % : quelle baisse unique le ramène au prix initial ? Le coefficient global est 1,1 × 1,2 = 1,32, soit une hausse globale de 32 % (et non de 30 %). Le coefficient réciproque vaut 1/1,32 ≈ 0,7576, d'où une baisse d'environ 24,24 %. Additionner les deux réciproques (−9,09 % et −16,67 %) donnerait −25,76 %, qui est faux : seuls les coefficients se multiplient.

Deux exemples corrigés

Exemple 1. Un article passe de 80 € à 100 €. De quel pourcentage doit-il baisser pour revenir à 80 € ?

Le taux de la hausse est t = (100 − 80)/80 = 0,25, soit +25 %, de coefficient multiplicateur 1,25. Le coefficient réciproque vaut 1/1,25 = 0,8. Le taux réciproque est donc 0,8 − 1 = −0,2. Le prix doit baisser de 20 %. Vérification : 100 × 0,8 = 80.

Exemple 2. Une action perd 40 % de sa valeur. Quelle hausse lui faut-il pour retrouver sa valeur initiale ?

Le coefficient de la baisse est 1 − 0,4 = 0,6. Le coefficient réciproque vaut 1/0,6 = 5/3. Le taux réciproque est 5/3 − 1 = 2/3 ≈ 0,6667. Il faut une hausse d'environ 66,67 %. Vérification avec une valeur de 50 € : 50 × 0,6 = 30, puis 30 × 5/3 = 50.

Les erreurs sur le taux réciproque qui coûtent des points

• Prendre l'opposé du taux : la droite et la courbe de la figure ne se confondent qu'en 0. Cas classique : un prix TTC avec une TVA de 20 % ne redevient pas HT en retirant 20 %, mais en multipliant par 1/1,2 = 5/6, soit −16,67 % (90 € TTC donnent 75 € HT, pas 72 €).
• Arrondir le coefficient trop tôt : 1/0,6 ≈ 1,67 appliqué à 300 € donne 501 € au lieu de 500 €. On garde 5/3 jusqu'au bout.
• Se tromper de référence : pour le retour, le départ est V₂ ; écrire (V₁ − V₂)/V₁ donne l'opposé du taux d'aller.
• Confondre proportion et évolution : « 20 % des élèves » décrit une part, « +20 % d'élèves » un changement ; la réciproque n'a de sens que pour le second.

Trois exercices corrigés sur le taux réciproque

Exercice 1 · Après une hausse de 60 %

Énoncé. Le nombre d'abonnés d'une chaîne a augmenté de 60 % en un an. Quel taux d'évolution ramènerait ce nombre à sa valeur de départ ?

Correction. Le coefficient de la hausse est 1,6. Le coefficient réciproque vaut 1/1,6 = 0,625. Le taux réciproque est 0,625 − 1 = −0,375 : il faudrait une baisse de 37,5 %. Vérification : 100 × 1,6 = 160 et 160 × 0,625 = 100.

Exercice 2 · Retrouver un loyer avant révision

Énoncé. Après une hausse de 4 %, un loyer mensuel vaut 832 €. Calculer le loyer avant la hausse, puis le taux d'évolution qui permettrait de revenir à ce loyer, arrondi à 0,01 %.

Correction. Notons L le loyer initial : L × 1,04 = 832, donc L = 832/1,04 = 800 €. Le coefficient réciproque vaut 1/1,04 = 25/26. Le taux réciproque est 25/26 − 1 = −1/26 ≈ −0,0385. Il faudrait une baisse d'environ 3,85 %. On remarque que le calcul du loyer initial est lui-même une application du coefficient réciproque : 832 × 25/26 = 800.

Exercice 3 · Deux démarques et une remontée

Énoncé. a) Pendant les soldes, un manteau subit une première démarque de 30 %, puis une seconde de 20 % sur le nouveau prix. Quel est le taux d'évolution global ? Quelle hausse unique ramènerait le manteau à son prix d'origine ? b) Déterminer le taux de hausse t > 0 pour lequel la baisse compensatrice vaut exactement la moitié de t, en valeur absolue.

Correction. a) Le coefficient global est 0,7 × 0,8 = 0,56 : le prix a baissé de 44 %, et non de 50 %. Le coefficient réciproque vaut 1/0,56 = 25/14, donc le taux réciproque est 25/14 − 1 = 11/14 ≈ 0,7857 : il faudrait une hausse d'environ 78,57 %.

b) On cherche t > 0 tel que −t/(1 + t) = −t/2. Comme t ≠ 0, on peut diviser par −t : 1/(1 + t) = 1/2, donc 1 + t = 2 et t = 1. Une hausse de 100 % se compense par une baisse de 50 % : doubler, puis diviser par deux. C'est la seule valeur qui convient.

En première, une évolution répétée au même taux donne une suite géométrique de raison 1 + t.