Pourcentage d'évolution : le calcul, le coefficient multiplicateur et les hausses qui s'enchaînent

Le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur sont vus au collège. Le programme de seconde applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) les reprend dans « Information chiffrée et statistique descriptive » et les prolonge par les évolutions successives, l'évolution réciproque et la distinction entre un pourcentage qui exprime une proportion et un pourcentage qui exprime une évolution. Dans ses automatismes, il demande aussi de passer sans hésiter de « augmenter de 5 % » à « multiplier par 1,05 ».

Variation absolue, taux, coefficient

Quand une grandeur passe de V₁ à V₂, trois nombres décrivent le changement. La variation absolue V₂ − V₁ s'exprime dans l'unité de la grandeur : un prix qui passe de 80 € à 92 € augmente de 12 €. Le taux d'évolution, ou variation relative, rapporte cette variation à la valeur de départ : 12/80 = 0,15, soit +15 %. Le coefficient multiplicateur V₂/V₁ dit par combien la valeur a été multipliée : 92/80 = 1,15.

Les deux derniers sont liés. De t = (V₂ − V₁)/V₁, on tire V₂ − V₁ = t × V₁, donc V₂ = V₁ + t × V₁ = V₁(1 + t). Le coefficient multiplicateur vaut donc 1 + t : il est supérieur à 1 pour une hausse, compris entre 0 et 1 pour une baisse de moins de 100 %. Une évolution de taux fixé est ainsi une fonction linéaire x ↦ (1 + t)x.

Les trois calculs de base

Toutes les questions se ramènent à l'égalité V₂ = V₁ × (1 + t), dont on cherche l'un des trois termes. Pour le taux : t = V₂/V₁ − 1, ce qui revient au même que la formule de la différence. Pour la valeur d'arrivée : on multiplie par le coefficient. Pour la valeur de départ : on divise par le coefficient. Je fais écrire l'égalité en toutes lettres avant le calcul : c'est elle qui empêche de diviser par la mauvaise valeur.

Exemple 1 · Calculer un taux

Énoncé. Le prix d'un abonnement passe de 80 € à 92 €. Calculer le pourcentage d'évolution.

Rédaction. t = (92 − 80)/80 = 12/80 = 0,15. Le prix a augmenté de 15 %. Contrôle par le coefficient : 92/80 = 1,15 = 1 + 0,15.

Exemple 2 · Appliquer un taux, retrouver un départ

Énoncé. a) Un article à 240 € baisse de 25 %. Quel est son nouveau prix ? b) Après une hausse de 20 %, un produit coûte 54 €. Quel était son prix avant la hausse ?

Rédaction. a) Le coefficient d'une baisse de 25 % est 1 − 0,25 = 0,75. Nouveau prix : 240 × 0,75 = 180 €.

b) Notons P le prix initial. P × 1,2 = 54, donc P = 54/1,2 = 45 €. Contrôle : 45 × 1,2 = 54. Retirer 20 % à 54 € donnerait 43,20 €, ce qui est faux : la hausse de 20 % portait sur 45 €, pas sur 54 €. Le taux qui ramène de 54 à 45 n'est pas −20 % ; il se calcule dans l'article sur le taux d'évolution réciproque.

Évolutions successives : les coefficients se multiplient

Si une grandeur subit une évolution de taux t₁, puis une évolution de taux t₂, elle est multipliée par (1 + t₁), puis par (1 + t₂). Le coefficient global est le produit (1 + t₁)(1 + t₂), et le taux global vaut (1 + t₁)(1 + t₂) − 1. En développant, on obtient t₁ + t₂ + t₁t₂ : la somme des taux est fausse d'un terme t₁t₂, qui vient de ce que la seconde évolution s'applique à une valeur déjà modifiée.

La figure le montre en cinq temps. La barre de départ, 100, apparaît d'abord ; une flèche « × 1,2 » mène à la deuxième barre, 120 ; une flèche « × 0,8 » mène à la troisième, 96. La ligne pointillée du niveau 100 se trace enfin à travers les trois barres, et l'écart de 4 qui manque à la dernière s'affiche : −4 %. La baisse de 20 % porte sur 120 et retire 24, quand la hausse n'avait ajouté que 20. Le calcul tient en une ligne : 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une évolution globale de −4 %, et le terme t₁t₂ vaut ici 0,2 × (−0,2) = −0,04.

Proportion ou évolution, pourcentage ou point

« 20 % des élèves sont internes » décrit une part : une proportion, calculée sur un tout. « Le nombre d'internes a augmenté de 20 % » décrit un changement entre deux dates : une évolution. Les deux se combinent différemment. Les proportions emboîtées se multiplient : si 55 % des élèves d'un lycée sont des filles et que 40 % d'entre elles sont internes, les filles internes représentent 0,55 × 0,40 = 0,22, soit 22 % des élèves du lycée.

Quand la grandeur qui évolue est elle-même un pourcentage, deux mesures coexistent, et on les confond facilement. La différence de deux pourcentages s'exprime en points de pourcentage ; le taux d'évolution reste un quotient.

Exemple 3 · Un taux de chômage qui baisse

Énoncé. Le taux de chômage d'un pays passe de 8 % à 7,4 % en un an. Décrire cette évolution de deux façons.

Rédaction. Variation absolue : 7,4 − 8 = −0,6. Le taux de chômage a baissé de 0,6 point. Taux d'évolution : (7,4 − 8)/8 = −0,6/8 = −0,075. Le taux de chômage a baissé de 7,5 %. Écrire « le chômage a baissé de 0,6 % » mélange les deux et donne une valeur fausse.

Les erreurs sur les pourcentages d'évolution qui coûtent des points

• Diviser par la valeur d'arrivée : (92 − 80)/92 au lieu de (92 − 80)/80.
• Écrire le coefficient avec le pourcentage brut : « 1 + 15 » au lieu de 1,15, ou 0,25 pour une baisse de 25 % au lieu de 0,75.
• Additionner des taux successifs : +20 % puis −20 % ne donnent pas 0 %.
• Retrouver une valeur de départ en appliquant le taux opposé au lieu de diviser par le coefficient.
• Confondre points de pourcentage et pourcentage d'évolution.
• Arrondir un coefficient intermédiaire, puis multiplier : l'erreur se propage jusqu'au résultat.

Trois exercices corrigés sur les pourcentages d'évolution

Exercice 1 · Une population qui diminue

Énoncé. La population d'une commune passe de 12 500 à 11 850 habitants. Calculer la variation absolue et le taux d'évolution.

Correction. Variation absolue : 11 850 − 12 500 = −650 habitants. Taux : −650/12 500 = −0,052. La population a baissé de 5,2 %. Contrôle : 12 500 × 0,948 = 11 850.

Exercice 2 · Trois évolutions de suite

Énoncé. Un prix augmente de 10 %, puis encore de 10 %, puis baisse de 15 %. Quel est le taux d'évolution global ?

Correction. Coefficient global : 1,1 × 1,1 × 0,85 = 1,21 × 0,85 = 1,028 5. Le taux global vaut 1,028 5 − 1 = 0,028 5 : le prix a augmenté de 2,85 %. La somme des taux, 10 + 10 − 15 = 5 %, est fausse. Les deux premières hausses donnent déjà +21 %, et non +20 %.

Exercice 3 · Retrouver un taux inconnu

Énoncé. Un loyer subit deux hausses successives. La seconde est de 15 %, et la hausse globale est de 38 %. Quel était le taux de la première hausse ?

Correction. Notons t le taux cherché. Les coefficients se multiplient : (1 + t) × 1,15 = 1,38, donc 1 + t = 1,38/1,15 = 1,2 et t = 0,2. La première hausse était de 20 %. Soustraire les taux, 38 − 15 = 23 %, donnerait une réponse fausse : 1,23 × 1,15 = 1,414 5, soit +41,45 %.

Une évolution répétée au même taux, chaque année ou chaque mois, produit une suite géométrique de raison 1 + t : c'est le prolongement de ce chapitre en première.