Théorème d'Al-Kashi : démonstration et calcul des côtés et des angles d'un triangle

L'énoncé et ses notations

Soit ABC un triangle. On note a = BC, b = CA et c = AB : chaque côté porte le nom, en minuscule, du sommet qui lui fait face. On note  l'angle géométrique BAC, compris entre 0° et 180°. Alors a² = b² + c² − 2bc cos Â. Les deux autres égalités s'obtiennent en faisant tourner les lettres : le côté qu'on calcule fait face à l'angle utilisé, et les deux autres côtés forment cet angle.

Le terme − 2bc cos  mesure l'écart à Pythagore. Si  est aigu, cos  > 0 et a² < b² + c² ; s'il est obtus, cos  < 0 et a² > b² + c² ; s'il est droit, le terme disparaît. D'où un critère sans calculatrice : l'angle opposé au plus grand côté est obtus si et seulement si le carré de ce côté dépasse la somme des carrés des deux autres. Pour les côtés 3, 5 et 7, 49 > 9 + 25 : l'angle face à 7 est obtus, et son cosinus vaut (9 + 25 − 49)/30 = −1/2, soit 120°.

La démonstration au produit scalaire

Le programme de première 2026 demande cette démonstration ; elle peut tomber en question de cours. On part de la relation de Chasles : BC^→ = BA^→ + AC^→ = AC^→ − AB^→. Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, donc :

BC² = ‖AC^→ − AB^→‖² = AC² − 2 AB^→ · AC^→ + AB².

Ce développement vient de la bilinéarité et de la symétrie du produit scalaire, comme (x − y)² en algèbre. On remplace ensuite AB^→ · AC^→ par AB × AC × cos Â, ce qui suppose AB^→ et AC^→ non nuls, vrai dans un triangle. On obtient BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos Â, c'est-à-dire a² = b² + c² − 2bc cos Â.

Les deux justifications doivent apparaître sur la copie : le développement du carré scalaire et la formule du cosinus. Le développement est détaillé dans l'article sur le produit scalaire avec les normes.

Ce que montre la figure du triangle à 60°

La figure en tête de page dessine le triangle de l'exemple 1 ci-dessous : AB = 5, AC = 8 et un angle de 60° en A, marqué par l'arc doré. Le côté [BC], dont la longueur s'affiche en rouge, est celui qu'on cherche ; il fait face à l'angle connu. Pythagore, appliqué à tort, donnerait BC² = 25 + 64 = 89. Al-Kashi retire 2 × 5 × 8 × cos 60° = 40, et BC² = 49, donc BC = 7. La hauteur en pointillés, issue de C, montre d'où vient la correction : son pied H est à la distance AH = AC × cos  = 4 de A, et le terme correctif vaut − 2 × AB × AH = − 40. Si l'angle s'ouvrait jusqu'à 90°, H viendrait en A et la correction tomberait à zéro. La figure se construit dans cet ordre : [AB], puis l'angle de 60° et [AC], puis la hauteur issue de C avec AH = 4, puis le côté [BC] qui ferme le triangle, et enfin la lecture du terme correctif.

Calculer un côté, puis un angle

Un côté, quand on connaît deux longueurs et l'angle qu'elles forment : nommer le côté cherché et l'angle qui lui fait face, écrire la formule avec les lettres de l'énoncé, remplacer, puis prendre la racine carrée positive.

Un angle, quand on connaît les trois côtés : cos  = (b² + c² − a²) / (2bc), où l'on soustrait le côté qui fait face à l'angle cherché. On garde le cosinus en fraction exacte, puis la calculatrice en degrés donne l'angle (arccos, ou cos⁻¹). Comme le cosinus est strictement décroissant sur [0° ; 180°], sa valeur détermine l'angle sans ambiguïté.

Exemple 1 · Le triangle de la figure

Énoncé. ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 8 et BAC = 60°. Calculer BC.

Rédaction. D'après le théorème d'Al-Kashi dans le triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos BAC. Donc BC² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × cos 60° = 89 − 80 × 1/2 = 49. Comme BC > 0, BC = 7.

Exemple 2 · Le triangle 4, 5, 6

Énoncé. ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 6. Calculer ses trois angles au dixième de degré.

Rédaction. Avec a = 6, b = 5 et c = 4, le théorème d'Al-Kashi donne cos  = (b² + c² − a²) / (2bc) = (25 + 16 − 36) / 40 = 5/40 = 1/8, donc  ≈ 82,8°. De même, cos B̂ = (a² + c² − b²) / (2ac) = (36 + 16 − 25) / 48 = 27/48 = 9/16, donc B̂ ≈ 55,8°. Enfin cos Ĉ = (a² + b² − c²) / (2ab) = (36 + 25 − 16) / 60 = 3/4, donc Ĉ ≈ 41,4°.

Contrôle : 82,8 + 55,8 + 41,4 = 180. Je conseille de calculer les trois angles par Al-Kashi plutôt que le troisième par différence : la somme sert alors de vérification.

Les erreurs sur Al-Kashi qui coûtent des points

• Prendre le mauvais angle. Si l'énoncé donne AB, AC et l'angle en B, la formule s'écrit en B : AC² = AB² + BC² − 2 AB × BC × cos B̂, et l'inconnue BC apparaît dans une équation du second degré (exercice 2).
• Oublier le facteur 2, ou le signe quand le cosinus est négatif : − 2bc × (−1/2) = + bc. Écrire la parenthèse autour d'un cosinus négatif évite l'erreur.
• Calculatrice en radians : 1,45 au lieu de 82,8°. Un angle de triangle inférieur à 1 doit alerter.
• Arrondir le cosinus avant l'arccos, ce qui fausse le dixième de degré.
• Oublier la racine carrée et rendre BC = 49.

Trois exercices corrigés sur Al-Kashi

Exercice 1 · Un angle de 120°

Énoncé. ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 10 et BAC = 120°. Calculer BC.

Correction. D'après le théorème d'Al-Kashi, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos 120°. Or cos 120° = −1/2, donc BC² = 36 + 100 − 2 × 6 × 10 × (−1/2) = 136 + 60 = 196. Comme BC > 0, BC = 14. On remarque que BC² est plus grand que AB² + AC², ce qui est cohérent avec un angle obtus en A.

Exercice 2 · Le côté inconnu est un des côtés de l'angle

Énoncé. ABC est un triangle tel que AC = 5, BC = 7 et BAC = 120°. Calculer AB.

Correction. On pose x = AB, avec x > 0. Le théorème d'Al-Kashi appliqué en A donne BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos 120°, soit 49 = x² + 25 − 2 × 5x × (−1/2) = x² + 25 + 5x. Donc x² + 5x − 24 = 0. Le discriminant vaut Δ = 25 + 96 = 121 = 11², d'où les solutions x = (−5 − 11)/2 = −8 et x = (−5 + 11)/2 = 3. Comme x > 0, AB = 3. Vérification : 9 + 25 + 15 = 49. Ici l'angle connu n'est pas celui qui fait face au côté cherché, et c'est l'équation du second degré qui fait le travail ; la méthode est celle de l'article sur le discriminant.

Exercice 3 · La longueur d'une médiane

Énoncé. ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 6 et BC = 8. On note I le milieu de [BC]. Calculer la longueur AI.

Correction. On calcule d'abord cos B̂ dans le triangle ABC : cos B̂ = (AB² + BC² − AC²) / (2 × AB × BC) = (16 + 64 − 36) / 64 = 44/64 = 11/16. Dans le triangle ABI, on connaît AB = 4, BI = BC/2 = 4 et l'angle en B, qui est le même angle que dans ABC puisque I est sur le segment [BC]. Le théorème d'Al-Kashi dans ABI donne AI² = AB² + BI² − 2 × AB × BI × cos B̂ = 16 + 16 − 32 × 11/16 = 32 − 22 = 10. Donc AI = √10 ≈ 3,16. Contrôle : la relation AB² + AC² = 2AI² + BC²/2, qu'on démontre aussi au produit scalaire, donne 52 = 20 + 32. L'idée à retenir : changer de triangle en gardant le même angle.

Le chapitre complet : le produit scalaire en première. Quand cos  = 0, le triangle est rectangle en A : c'est l'objet de l'article sur le produit scalaire et l'orthogonalité.