Discriminant : la formule Δ = b² − 4ac et ce qu'elle décide

Cet article traite de l'équation ; le signe du trinôme a son propre article, et le chapitre entier est sur le second degré en première.

Les trois cas et la factorisation

La factorisation fait partie du résultat : un sujet qui dit « factoriser f(x) » attend a(x − x₁)(x − x₂), avec le coefficient a devant. Écrire (x − x₁)(x − x₂) quand a vaut 2 ou −3, c'est changer de polynôme.

La démonstration au programme : pourquoi Δ décide

Le programme de spécialité de première demande de savoir démontrer la résolution de l'équation du second degré. La preuve repose sur la forme canonique.

Soit a ≠ 0. On développe a(x + b/(2a))² = ax² + bx + b²/(4a). Donc, pour tout réel x :

ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − b²/(4a) + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a) = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)].

Comme a ≠ 0, l'équation ax² + bx + c = 0 équivaut à (x + b/(2a))² = Δ/(4a²). Le membre de droite a le signe de Δ, puisque 4a² > 0. On distingue alors les cas.

• Si Δ < 0, le membre de droite est strictement négatif alors qu'un carré est positif ou nul : aucune solution.
• Si Δ = 0, l'équation équivaut à (x + b/(2a))² = 0, soit x = −b/(2a).
• Si Δ > 0, on écrit Δ/(4a²) = (√Δ / (2a))². L'équation équivaut à x + b/(2a) = √Δ/(2a) ou x + b/(2a) = −√Δ/(2a), soit x = (−b + √Δ)/(2a) ou x = (−b − √Δ)/(2a).

Dans le dernier cas, la forme a[(x + b/(2a))² − (√Δ/(2a))²] est une différence de deux carrés, ce qui donne directement la factorisation a(x − x₁)(x − x₂). Le signe de a ne pose aucune difficulté à l'étape « ± » : que 2a soit positif ou négatif, les deux valeurs ±√Δ/(2a) sont les deux mêmes nombres.

Avant de calculer Δ

La formule ne s'applique qu'à une équation écrite ax² + bx + c = 0. J'exige qu'on écrive les trois coefficients sur la copie avant tout calcul.

• Les signes font partie des coefficients : dans 5 − x − 3x² = 0, a = −3, b = −1 et c = 5, quel que soit l'ordre de l'énoncé.
• Un terme absent a un coefficient nul : dans 4x² − 9 = 0, b = 0.
• 2x² + 3 = 5x se réécrit d'abord 2x² − 5x + 3 = 0.
• Si a dépend d'un paramètre m, le cas a = 0 se traite à part : l'équation n'est plus du second degré.

Certaines équations se résolvent sans Δ, et le programme demande de factoriser « en diversifiant les stratégies » :

• pas de terme constant : x² − 5x = 0 s'écrit x(x − 5) = 0, donc x = 0 ou x = 5 ;
• pas de terme en x : x² − 7 = 0 donne x = −√7 ou x = √7, et x² + 7 = 0 n'a aucune solution ;
• une racine évidente : dans x² + 4x − 5 = 0, la somme des coefficients est nulle, donc 1 est racine, et l'autre vaut c/a = −5 (voir somme et produit des racines) ;
• une identité remarquable : 9x² − 12x + 4 = (3x − 2)².

Trois équations, trois signes de Δ

Deux racines : 2x² − 3x − 2 = 0

On résout dans ℝ. Ici a = 2, b = −3, c = −2.

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25.

Δ > 0, donc l'équation admet deux solutions réelles : x₁ = (3 − √25) / (2 × 2) = (3 − 5)/4 = −1/2 et x₂ = (3 + 5)/4 = 2.

S = {−1/2 ; 2}, et 2x² − 3x − 2 = 2(x + 1/2)(x − 2) = (2x + 1)(x − 2).

Racine double : 9x² − 12x + 4 = 0

Ici a = 9, b = −12, c = 4. Δ = (−12)² − 4 × 9 × 4 = 144 − 144 = 0.

Δ = 0, donc l'équation admet une unique solution x₀ = −b/(2a) = 12/18 = 2/3. S = {2/3}. L'identité (3x − 2)² donnait le même résultat plus vite.

Aucune racine : x² + x + 1 = 0

Ici a = b = c = 1. Δ = 1 − 4 = −3 < 0, donc l'équation n'admet aucune solution réelle. S = ∅. J'exige « réelle » ou « dans ℝ » : en option maths expertes de terminale, la même équation aura deux solutions complexes.

Les erreurs sur le discriminant qui coûtent des points

• Le carré de b négatif. Avec b = −3, écrire b² = −3² = −9 (la calculatrice fait de même sans parenthèses). On écrit (−3)², et la ligne Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) avant le résultat.
• La fraction coupée. x = −b ± √Δ / 2a ne divise que √Δ, et seulement par 2. Les parenthèses (−b ± √Δ) / (2a) sont obligatoires.
• Le signe de −b. Avec b = −12, −b = 12.
• Une équation pas égale à zéro. Dans 2x² + 3 = 5x, lire b = 0 parce que « 5x est de l'autre côté » fausse tout.
• Le cas a = 0 oublié dans un exercice à paramètre (exercice 3).

Trois exercices corrigés sur le discriminant

Exercice 1 · Résoudre dans ℝ l'équation −x² + 4x + 5 = 0, puis factoriser −x² + 4x + 5.

On a a = −1, b = 4, c = 5. Δ = 4² − 4 × (−1) × 5 = 16 + 20 = 36.

Δ > 0, donc deux solutions : (−4 − 6)/(2 × (−1)) = −10/(−2) = 5 et (−4 + 6)/(−2) = 2/(−2) = −1.

S = {−1 ; 5}. Factorisation : −x² + 4x + 5 = −(x + 1)(x − 5).

Remarque : avec a < 0, la formule « x₁ = (−b − √Δ)/(2a) » donne la plus grande des deux racines. Ce n'est pas gênant pour résoudre, mais il faut ranger les racines dans l'ordre avant de faire un tableau de signes.

Exercice 2 · Résoudre dans ℝ l'équation 2x² + 3 = 5x.

On se ramène à la forme ax² + bx + c = 0 : 2x² + 3 = 5x équivaut à 2x² − 5x + 3 = 0.

a = 2, b = −5, c = 3. Δ = (−5)² − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1.

Δ > 0 : x₁ = (5 − 1)/4 = 1 et x₂ = (5 + 1)/4 = 3/2. S = {1 ; 3/2}.

Vérification rapide : 1 est racine évidente, car 2 − 5 + 3 = 0, et le produit des racines vaut c/a = 3/2, donc l'autre racine est 3/2.

Exercice 3 · Pour quelles valeurs du réel m l'équation mx² + 4x + 1 = 0 admet-elle une unique solution réelle ?

Cas m = 0. L'équation devient 4x + 1 = 0, qui a une unique solution, x = −1/4. La valeur m = 0 convient.

Cas m ≠ 0. L'équation est du second degré, avec a = m, b = 4, c = 1. Δ = 16 − 4m. Elle admet une unique solution si et seulement si Δ = 0, soit m = 4. La solution est alors x₀ = −4/(2 × 4) = −1/2. On vérifie : 4 × (1/4) + 4 × (−1/2) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0.

Conclusion. L'équation admet une unique solution réelle si et seulement si m = 0 ou m = 4.

Une copie qui ne traite que Δ = 0 trouve m = 4 et perd la moitié des points. Le cas m = 0 est exactement ce que l'exercice teste.

Ce que montre la figure du discriminant

La figure trace l'une après l'autre les trois paraboles des exemples : la bleue, de 2x² − 3x − 2, coupe l'axe des abscisses en −1/2 et 2 (Δ = 25 > 0) ; la dorée, de 9x² − 12x + 4, touche l'axe en 2/3 sans le traverser, son sommet posé dessus (Δ = 0) ; la verte, de x² + x + 1, reste entièrement au-dessus (Δ = −3 < 0). Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points où la courbe rencontre l'axe, et le signe de Δ dit combien il y en a. Les trois coefficients a sont positifs, d'où des paraboles tournées vers le haut ; avec a négatif, la même lecture vaut vers le bas.