Trigonométrie en 3e : cosinus, sinus, tangente, et quel rapport choisir dans le triangle rectangle

Le théorème de Pythagore relie trois longueurs d'un triangle rectangle. La trigonométrie relie ses longueurs à ses angles : c'est elle qui permet de calculer la hauteur d'un arbre à partir de l'angle sous lequel on voit son sommet. En 3e, à la rentrée 2026, le programme en vigueur reste celui du cycle 4 de 2015 aménagé en 2018 : il demande de connaître les « lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente » et de les utiliser « pour calculer des longueurs ou des angles ». Le nouveau programme de cycle 4 publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026 n'arrivera en 3e qu'à la rentrée 2028.

Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

Tout commence par le nom des côtés. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long des trois. Les deux autres côtés se nomment par rapport à l'angle aigu qu'on étudie : le côté adjacent est celui qui touche l'angle sans être l'hypoténuse, le côté opposé est celui qui ne le touche pas.

Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l'angle BÂC, le côté adjacent est [AB] et le côté opposé est [BC]. Pour l'autre angle aigu, BĈA, c'est l'inverse : [BC] devient adjacent et [AB] opposé. L'hypoténuse, elle, reste [AC]. Un côté n'est donc jamais « adjacent » tout court : il l'est à un angle.

Pourquoi le rapport ne dépend que de l'angle

Prenons deux triangles rectangles qui ont un angle aigu de même mesure, par exemple 35°. Leurs trois angles sont égaux deux à deux (90°, 35° et 55°, puisque la somme vaut 180°). Deux triangles qui ont les mêmes angles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels. Si l'un est deux fois plus grand, son côté opposé et son hypoténuse sont tous deux multipliés par 2, et leur quotient ne change pas.

Le rapport opposé / hypoténuse ne dépend donc que de l'angle, pas de la taille du triangle. C'est ce qui permet de lui donner un nom, sin 35°, et à la calculatrice d'en donner la valeur : sin 35° ≈ 0,574 dans n'importe quel triangle rectangle qui a un angle de 35°.

Choisir le bon rapport en quatre temps

Pour un calcul de longueur ou d'angle, je demande la même démarche à chaque fois, écrite sur la copie.

• Nommer le triangle rectangle utilisé et dire où est l'angle droit : c'est la condition d'emploi des formules.
• Repérer l'angle aigu concerné, puis nommer les trois côtés par rapport à lui.
• Marquer ce que l'on connaît et ce que l'on cherche : deux côtés et un angle sont en jeu. Le rapport qui contient exactement ces deux côtés est le bon.
• Écrire l'égalité, la résoudre comme une égalité de quotients, puis arrondir à la fin seulement, avec la calculatrice en mode degrés.

Quand la longueur cherchée est au numérateur, on multiplie : BC = 8 × sin 35°. Quand elle est au dénominateur, on divise : de cos 52° = 5 / DF on tire DF = 5 / cos 52°.

Exemple 1 · Calculer deux longueurs

Énoncé. ABC est rectangle en B, avec BÂC = 35° et AC = 8 cm. Calculer BC et AB au centième près. Puis, dans un triangle DEF rectangle en E avec ED̂F = 52° et DE = 5 cm, calculer DF au dixième près.

Rédaction. Dans le triangle ABC rectangle en B, [AC] est l'hypoténuse et [BC] le côté opposé à l'angle BÂC. Donc sin BÂC = BC / AC, soit sin 35° = BC / 8, et BC = 8 × sin 35° ≈ 4,59 cm. De même, [AB] est le côté adjacent : cos 35° = AB / 8, donc AB = 8 × cos 35° ≈ 6,55 cm.

Dans le triangle DEF rectangle en E, [DE] est adjacent à l'angle ED̂F et [DF] est l'hypoténuse. Donc cos 52° = DE / DF = 5 / DF, et DF = 5 / cos 52° ≈ 8,1 cm. Contrôle de vraisemblance : l'hypoténuse est plus longue que DE.

Exemple 2 · Calculer un angle

Énoncé. Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur vertical, son pied posé sur un sol horizontal à 1,5 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol, au dixième de degré près ?

Rédaction. Le mur est perpendiculaire au sol : le triangle formé par le pied de l'échelle P, le haut de l'échelle H et le pied du mur M est rectangle en M. Pour l'angle MP̂H, [PM] est le côté adjacent (1,5 m) et [PH] l'hypoténuse (6 m). Donc cos MP̂H = 1,5 / 6 = 0,25. La calculatrice, touche cos⁻¹ (parfois notée Arccos ou acs), donne MP̂H ≈ 75,5°.

Si l'on demande ensuite la hauteur atteinte, Pythagore la donne sans arrondi intermédiaire : MH² = 6² − 1,5² = 33,75, donc MH = √33,75 ≈ 5,81 m.

La figure : de l'angle droit au calcul de BC

La figure reprend l'exemple 1 dans l'ordre d'une rédaction au tableau. Le triangle ABC apparaît avec son codage d'angle droit en B, puis l'arc marque l'angle de 35° en A. L'hypoténuse [AC] se trace en rouge, face à l'angle droit. Viennent ensuite le côté adjacent [AB], en vert, qui touche l'angle, puis le côté opposé [BC], en bleu, qui ne le touche pas. Une fois les trois côtés nommés, le rapport qui contient BC et AC s'impose : c'est le sinus. Le calcul s'écrit alors, sin 35° = BC / 8, et se termine par BC ≈ 4,59 cm.

Les erreurs sur la trigonométrie de 3e qui coûtent des points

• Une calculatrice réglée en radians. Elle donne sin 35 ≈ −0,43, donc une longueur négative : c'est le signal qu'il faut passer en degrés.
• Le côté adjacent confondu avec l'hypoténuse, parce que les deux touchent l'angle. L'hypoténuse se repère d'abord, face à l'angle droit.
• Les formules appliquées dans un triangle qui n'est pas rectangle, ou sans avoir écrit qu'il l'est.
• Un arrondi trop tôt : avec cos 52° ≈ 0,62, on trouve 5 / 0,62 ≈ 8,06 au lieu de 8,12. On garde la valeur exacte dans la calculatrice jusqu'au résultat.
• Une égalité écrite sans l'angle, « cos = 5 / DF », que le correcteur ne peut pas lire.

Trois exercices corrigés sur la trigonométrie de 3e

Exercice 1 · Deux côtés de l'angle droit, un angle à trouver

Énoncé. RST est rectangle en S, avec RS = 7 cm et ST = 4 cm. Calculer l'angle SR̂T au degré près, puis RT au dixième près.

Correction. Pour l'angle SR̂T, [ST] est le côté opposé et [RS] le côté adjacent : on connaît les deux côtés de l'angle droit, c'est la tangente. tan SR̂T = 4 / 7, donc SR̂T ≈ 30° (29,74° avant arrondi). Pour RT, Pythagore dans le triangle rectangle en S : RT² = 7² + 4² = 65, donc RT = √65 ≈ 8,1 cm.

Exercice 2 · La hauteur d'un arbre

Énoncé. Une personne dont les yeux sont à 1,6 m du sol se tient à 15 m du pied d'un arbre vertical, sur un sol horizontal. Elle voit le sommet de l'arbre sous un angle de 32° avec l'horizontale. Calculer la hauteur de l'arbre au dixième de mètre près.

Correction. Notons O l'œil, K le point du tronc à la hauteur des yeux et S le sommet. Le triangle OKS est rectangle en K, avec OK = 15 m et KÔS = 32°. [OK] est adjacent à l'angle, [KS] lui est opposé : tan 32° = KS / 15, donc KS = 15 × tan 32° ≈ 9,37 m. On ajoute la hauteur des yeux : 9,37 + 1,6 ≈ 11,0 m. L'oubli des 1,6 m est l'erreur classique de cet exercice.

Exercice 3 · Une hauteur commune à deux triangles

Énoncé. Dans un triangle ABC, H est le pied de la hauteur issue de A, et H est sur le segment [BC]. On sait que AH = 6 cm, AB̂C = 40° et AĈB = 25°. Calculer BC au dixième près.

Correction. La hauteur crée deux triangles rectangles en H. Dans ABH, [AH] est opposé à l'angle AB̂H et [BH] adjacent : tan 40° = 6 / BH, donc BH = 6 / tan 40° ≈ 7,15 cm. Dans ACH, de même, tan 25° = 6 / HC, donc HC = 6 / tan 25° ≈ 12,87 cm. Comme H est sur [BC], BC = BH + HC ≈ 20,0 cm.

Le triangle ABC n'est pas rectangle : on ne peut pas y appliquer la trigonométrie directement. C'est la hauteur qui fournit les deux triangles rectangles, et il faut les nommer sur la copie.