Théorème de Thalès en 3e : triangles emboîtés, papillon, réciproque et rédaction du brevet

Deux configurations, une seule égalité

Le théorème s'applique à deux figures. Dans la configuration des triangles emboîtés, M est sur la demi-droite [AB), N sur [AC), et le petit triangle AMN est dans le grand ABC (ou l'inverse). Dans la configuration papillon, A est entre M et B, et entre N et C : les deux triangles AMN et ABC sont de part et d'autre du point A. Dans les deux cas, on écrit la même égalité, en mettant au numérateur les côtés du triangle AMN et au dénominateur les côtés correspondants du triangle ABC.

Les triangles emboîtés et leur réciproque sont vus en 4e. La 3e ajoute la configuration papillon, avec sa réciproque, les triangles semblables et le lien avec les homothéties. C'est le programme que suit un élève de 3e à la rentrée 2026 : le nouveau programme de cycle 4 (Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026) n'arrive en 3e qu'à la rentrée 2028.

D'où viennent ces rapports

Si (MN) // (BC), les angles AMN et ABC sont des angles correspondants formés par deux parallèles et la sécante (AB) : ils sont égaux. De même pour les angles ANM et ACB, et l'angle en A est commun. Deux triangles qui ont leurs angles égaux deux à deux sont semblables, et des triangles semblables ont des côtés proportionnels : c'est exactement l'égalité de Thalès. En 3e, cette propriété caractéristique des triangles semblables fait partie du cours, ce qui donne une démonstration courte des triangles emboîtés.

La configuration papillon se ramène à la première par une symétrie centrale, comme le suggère le programme. Le symétrique M′ de M par rapport à A est sur la demi-droite [AB), le symétrique N′ de N est sur [AC), et la symétrie centrale transforme la droite (MN) en une droite parallèle, (M′N′), donc parallèle à (BC). Elle conserve les longueurs : AM′ = AM, AN′ = AN, M′N′ = MN. On applique alors le théorème aux triangles emboîtés AM′N′ et ABC.

La figure animée suit cette construction. Le triangle ABC se trace d'abord. Le point M se place sur [AB], et la parallèle à (BC) passant par M se trace jusqu'au point N de [AC]. Les quatre longueurs de l'exemple 1 s'affichent, AM = 6, AB = 10, AN = 4,8 et MN = 5,4, puis le rapport 6/10 = 0,6 et les deux longueurs qu'on en déduit, AC = 8 et BC = 9. Pour finir, les points M′ et N′, symétriques de M et N par rapport à A, apparaissent de l'autre côté de A : le segment [M′N′] forme avec ABC un papillon, toujours parallèle à (BC), avec le même rapport 0,6.

Calculer une longueur : la rédaction attendue

La rédaction a trois temps. On cite les hypothèses : les points alignés et les droites parallèles. On écrit l'égalité des trois rapports avec les lettres. On ne garde que les deux rapports utiles, on remplace, et on conclut par un produit en croix. Je fais écrire les trois rapports en lettres avant tout nombre : c'est là que se décide la bonne correspondance des côtés.

Exemple 1 · Triangles emboîtés

Énoncé. Dans le triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC], avec (MN) // (BC). On donne AM = 6 cm, AB = 10 cm, AN = 4,8 cm et MN = 5,4 cm. Calculer AC et BC.

Rédaction. Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC, soit 6/10 = 4,8/AC = 5,4/BC.

De 6/10 = 4,8/AC, on tire AC = 4,8 × 10 / 6 = 8 cm. De 6/10 = 5,4/BC, on tire BC = 5,4 × 10 / 6 = 9 cm.

Le triangle AMN est une réduction de ABC de rapport 0,6 ; son aire vaut 0,6² = 0,36 fois celle de ABC. Un piège fréquent : MB = 4 cm, mais MB n'apparaît dans aucun des trois rapports.

La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

On calcule séparément les deux rapports qui ne font pas intervenir les côtés parallèles supposés, par exemple AM/AB et AN/AC, puis on les compare, par produit en croix ou en valeur exacte. S'ils sont égaux et si l'ordre des points est le même sur les deux droites, la réciproque conclut au parallélisme. S'ils sont différents, la contraposée conclut que les droites ne sont pas parallèles. Comparer des valeurs arrondies ne prouve rien : deux rapports peuvent avoir le même arrondi sans être égaux.

Exemple 2 · Un papillon et sa réciproque

Énoncé. Les droites (AD) et (BE) se coupent en O, avec O entre A et D, et entre B et E. On donne OA = 3 cm, OD = 4,5 cm, OB = 2 cm et OE = 3 cm. a) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? b) Sachant que AB = 2,8 cm, calculer DE.

Rédaction. a) D'une part, OA/OD = 3/4,5 = 2/3. D'autre part, OB/OE = 2/3. Donc OA/OD = OB/OE. De plus, les points A, O, D et B, O, E sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

b) Les droites (AD) et (BE) sont sécantes en O et (AB) // (DE). D'après le théorème de Thalès : OA/OD = OB/OE = AB/DE, donc 3/4,5 = 2,8/DE et DE = 2,8 × 4,5 / 3 = 4,2 cm.

Les erreurs sur Thalès qui coûtent des points

• Des rapports qui mélangent les triangles : AM/AB avec NC/AC, ou un côté du petit triangle au dénominateur d'un rapport et au numérateur d'un autre.
• La longueur MB utilisée à la place de AB. Dans la configuration emboîtée, on calcule d'abord AB = AM + MB.
• Thalès appliqué sans droites parallèles, ou « d'après le théorème de Thalès, les droites sont parallèles » : c'est la réciproque qu'on cite.
• La réciproque appliquée sans vérifier l'ordre des points : avec des rapports égaux mais un ordre différent, les droites ne sont pas parallèles.
• Deux rapports comparés en valeurs arrondies, ou une égalité AM/AB = AN/AC écrite avant d'être vérifiée.

Trois exercices corrigés sur Thalès

Exercice 1 · Une longueur à reconstituer d'abord

Énoncé. EFG est un triangle, K un point de [EF] et L un point de [EG], avec (KL) // (FG). On donne EK = 3 cm, KF = 4,5 cm, EL = 2,4 cm et FG = 8 cm. Calculer EG et KL.

Correction. K est sur [EF], donc EF = EK + KF = 7,5 cm. Les points E, K, F et E, L, G sont alignés et (KL) // (FG) : d'après le théorème de Thalès, EK/EF = EL/EG = KL/FG, soit 3/7,5 = 2,4/EG = KL/8.

EG = 2,4 × 7,5 / 3 = 6 cm et KL = 3 × 8 / 7,5 = 3,2 cm.

Exercice 2 · Parallèles ou pas ?

Énoncé. Les droites (AD) et (BE) se coupent en O, avec O entre A et D, et entre B et E. On donne OA = 3 cm, OD = 4,5 cm, OB = 2 cm et OE = 3,2 cm. a) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? b) Quelle longueur OE les aurait rendues parallèles ?

Correction. a) On compare OA/OD et OB/OE par les produits en croix : OA × OE = 3 × 3,2 = 9,6 et OD × OB = 4,5 × 2 = 9. Comme 9,6 ≠ 9, OA/OD ≠ OB/OE : d'après la contraposée du théorème de Thalès, (AB) et (DE) ne sont pas parallèles.

b) Il faudrait OB/OE = OA/OD = 2/3, soit OE = 2 × 4,5 / 3 = 3 cm.

Exercice 3 · La hauteur d'un arbre par son ombre

Énoncé. Un bâton vertical [BB′] de 1,5 m est planté de sorte que l'extrémité de son ombre coïncide avec celle de l'ombre d'un arbre vertical [TT′], au point S du sol horizontal. Les points S, B, T sont alignés, ainsi que S, B′, T′. On mesure SB = 2 m et ST = 12 m. a) Calculer la hauteur TT′ de l'arbre. b) Calculer la distance ST′ entre le sommet de l'arbre et l'extrémité de son ombre.

Correction. a) Le bâton et l'arbre sont tous deux perpendiculaires au sol, donc (BB′) // (TT′). D'après le théorème de Thalès dans les triangles SBB′ et STT′ : SB/ST = BB′/TT′, soit 2/12 = 1,5/TT′, donc TT′ = 1,5 × 12 / 2 = 9 m.

b) L'arbre est perpendiculaire au sol, donc le triangle STT′ est rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore, ST′² = ST² + TT′² = 144 + 81 = 225, et ST′ = 15 m.

Dans un triangle rectangle, Thalès explique aussi pourquoi le cosinus d'un angle ne dépend pas de la taille du triangle : c'est le point de départ de la trigonométrie en 3e.