Arbre de probabilité pondéré : les trois règles de lecture et les branches qu'on oublie

En seconde depuis la réforme de 2026

Le programme de première applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) a retiré les arbres pondérés et la notation P_A(B), désormais vus en seconde. Le nouveau programme de seconde, publié au même Bulletin officiel, demande d'introduire la probabilité conditionnelle en mettant en évidence « la problématique de l'inversion des conditionnements », et de calculer des probabilités « à l'aide de probabilités conditionnelles et d'arbres de probabilité ». Il précise en revanche que le calcul d'une probabilité à partir de ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers n'y est pas un attendu : en seconde, on additionne les chemins d'un arbre donné, sans formule générale.

La première garde les arbres pour la succession de deux épreuves indépendantes, la répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli, et la formule des probabilités totales, qui formalise la somme des chemins. En terminale (programme de 2019, en vigueur jusqu'à la rentrée 2027), l'arbre sert partout, jusqu'à la loi binomiale. En 2026-2027, les élèves de première ont fait leur seconde sous l'ancien programme, qui ne contenait pas les probabilités conditionnelles : pour eux, P_A(B) ne figure au programme d'aucune de leurs deux classes.

Ce qu'on écrit sur chaque branche

Pour une expérience en deux étapes, l'arbre part d'une racine, se sépare vers A et Ā, puis chacun de ces nœuds se sépare vers B et B̄. Les branches du premier niveau portent P(A) et P(Ā). Une branche du deuxième niveau porte la probabilité de l'événement d'arrivée sachant le nœud de départ : la branche A → B porte P_A(B), jamais P(B) ni P(A ∩ B).

Pourquoi on multiplie. Si P(A) ≠ 0, la définition donne P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A) ; en multipliant par P(A), P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Suivre la branche A puis la branche B, c'est réaliser A et B. Pourquoi on additionne. On ne peut pas être passé à la fois par A et par Ā : B est la réunion des événements disjoints A ∩ B et Ā ∩ B, donc sa probabilité est la somme des deux.

Méthode : avant de tracer, j'écris la liste des probabilités connues avec leur notation (P(B) = 0,6, P_B(R) = 0,15). Les mots « parmi », « quand », « si », « sachant que » signalent une probabilité conditionnelle, donc une branche du second niveau.

Trois cas rédigés

Exemple 1 · Du texte à l'arbre, puis la question inverse

Énoncé. Un lycéen va en cours en bus trois jours sur cinq, à vélo les autres jours. Quand il prend le bus, il arrive en retard avec une probabilité de 0,15 ; à vélo, avec une probabilité de 0,05. On choisit un jour au hasard ; on note B l'événement « il prend le bus » et R l'événement « il arrive en retard ». a) Construire l'arbre pondéré. b) Calculer P(B ∩ R) puis P(R). c) Il est arrivé en retard : quelle est la probabilité qu'il ait pris le bus ?

Rédaction. a) P(B) = 3/5 = 0,6 et P(B̄) = 0,4. « Quand il prend le bus » et « à vélo » donnent des probabilités conditionnelles : P_B(R) = 0,15 et P_B̄(R) = 0,05. Par la règle des nœuds, P_B(R̄) = 0,85 et P_B̄(R̄) = 0,95.

b) P(B ∩ R) = P(B) × P_B(R) = 0,6 × 0,15 = 0,09. Les événements B ∩ R et B̄ ∩ R sont incompatibles et leur réunion est R, donc P(R) = 0,09 + 0,4 × 0,05 = 0,09 + 0,02 = 0,11.

c) On cherche P_R(B), qui ne se lit pas sur l'arbre : R n'est pas au premier niveau. P_R(B) = P(B ∩ R) / P(R) = 0,09 / 0,11 = 9/11 ≈ 0,818. C'est l'inversion du conditionnement : P_B(R) = 0,15 dit que le bus est rarement en retard, P_R(B) ≈ 0,82 que la plupart des retards viennent du bus.

Exemple 2 · Tirage sans remise : l'arbre qui change en route

Énoncé. Une urne contient 3 boules rouges et 2 noires. On tire une boule, on ne la remet pas, on en tire une seconde. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges, puis celle d'obtenir deux boules de couleurs différentes.

Rédaction. Notons R₁ « la première boule est rouge » et R₂ « la seconde est rouge ». P(R₁) = 3/5. Si la première est rouge, il reste 2 rouges sur 4 boules : P_R₁(R₂) = 2/4. Si elle est noire, il reste 3 rouges sur 4 : P_R̄₁(R₂) = 3/4.

Deux rouges : P(R₁ ∩ R₂) = 3/5 × 2/4 = 3/10. Couleurs différentes : deux chemins, P(R₁ ∩ R̄₂) + P(R̄₁ ∩ R₂) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 3/5. Garder les mêmes poids au second niveau (3/5 × 3/5 = 9/25) serait la réponse d'un tirage avec remise.

Exemple 3 · Un poids manquant, retrouvé par la somme des chemins

Énoncé. On sait que P(A) = 0,3, P_A(B) = 0,8 et P(B) = 0,45. Déterminer P_Ā(B).

Rédaction. On note x = P_Ā(B). D'après l'arbre, P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7x = 0,24 + 0,7x. Comme P(B) = 0,45, 0,7x = 0,21, donc x = 0,3. Ainsi P_Ā(B) = 0,3.

La figure : un arbre où chaque feuille porte son produit

La figure reprend l'exemple 1 et se trace dans l'ordre d'une copie : les deux branches du premier niveau (0,6 et 0,4), puis les branches qui partent de B (0,15 et 0,85), puis celles qui partent de B̄ (0,05 et 0,95), puis les probabilités des chemins, ligne par ligne : 0,09, 0,51, 0,02 et 0,38, de somme 1. Les deux chemins dorés aboutissent à R ; leur somme, 0,11, est P(R). P_R(B) n'est écrite sur aucune branche : il faut la calculer en divisant 0,09 par 0,11.

Les erreurs sur les arbres pondérés qui coûtent des points

• Écrire P(B) sur la branche A → B : dans l'exemple 1, « quand il prend le bus, il est en retard avec une probabilité de 0,15 » devient à tort la probabilité d'un retard un jour quelconque.
• Additionner le long d'un chemin et multiplier entre les chemins. Le contrôle par la somme des feuilles l'attrape presque toujours.
• Lire P_R(B) sur un arbre qui commence par B : il faut passer par P(B ∩ R) / P(R).
• Écrire « 0,3 × 0,8 = 0,24 » sans dire ce qu'on calcule. J'attends « P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = 0,3 × 0,8 = 0,24 ».

Trois exercices corrigés sur les arbres pondérés

Exercice 1 · Lire et compléter un arbre donné

Énoncé. Un arbre pondéré donne P(A) = 0,25, P_A(B) = 0,6 et P_Ā(B) = 0,2. Calculer P(A ∩ B̄), P(B), puis P_B(A).

Correction. Par la règle des nœuds, P_A(B̄) = 1 − 0,6 = 0,4. Donc P(A ∩ B̄) = P(A) × P_A(B̄) = 0,25 × 0,4 = 0,1.

P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = 0,25 × 0,6 + 0,75 × 0,2 = 0,15 + 0,15 = 0,3.

P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,15 / 0,3 = 0,5. Contrôle : la quatrième feuille vaut P(Ā ∩ B̄) = 0,75 × 0,8 = 0,6, et 0,15 + 0,1 + 0,15 + 0,6 = 1.

Exercice 2 · Une réponse juste à un QCM : savoir ou chance ?

Énoncé. À une question de QCM à quatre réponses, dont une seule est juste, un élève connaît la réponse avec une probabilité de 0,7. S'il ne la connaît pas, il répond au hasard. a) Construire l'arbre et calculer la probabilité que sa réponse soit juste. b) Sa réponse est juste : quelle est la probabilité qu'il ait connu la réponse ?

Correction. a) On note C « il connaît la réponse » et J « la réponse est juste ». P(C) = 0,7, P(C̄) = 0,3. S'il connaît la réponse, il répond juste : P_C(J) = 1. Sinon il choisit au hasard parmi quatre réponses : P_C̄(J) = 1/4 = 0,25.

P(J) = P(C) × P_C(J) + P(C̄) × P_C̄(J) = 0,7 × 1 + 0,3 × 0,25 = 0,7 + 0,075 = 0,775.

b) P_J(C) = P(C ∩ J) / P(J) = 0,7 / 0,775 = 28/31 ≈ 0,903. La probabilité que la réponse juste soit due à la chance vaut 0,075 / 0,775 = 3/31 ≈ 0,097 : environ une réponse juste sur dix.

Exercice 3 · Combien de boules noires pour une chance sur deux ?

Énoncé. Une urne contient 6 boules blanches et n boules noires, avec n entier naturel. On tire successivement deux boules sans remise. a) Montrer que la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur est (n² − n + 30) / ((n + 6)(n + 5)). b) Vérifier que n² − 13n + 30 = (n − 3)(n − 10), puis déterminer les valeurs de n pour lesquelles cette probabilité vaut 1/2.

Correction. a) L'urne contient n + 6 boules. Deux blanches : 6/(n + 6) × 5/(n + 5) = 30 / ((n + 6)(n + 5)). Deux noires : n/(n + 6) × (n − 1)/(n + 5) = n(n − 1) / ((n + 6)(n + 5)). Les deux chemins sont incompatibles, donc la probabilité cherchée est (30 + n² − n) / ((n + 6)(n + 5)). Pour n = 0 ou n = 1, la formule reste juste : la branche « noire » a un poids nul ou mène à une branche de poids 0.

b) En développant, (n − 3)(n − 10) = n² − 10n − 3n + 30 = n² − 13n + 30. La probabilité vaut 1/2 si et seulement si 2(n² − n + 30) = (n + 6)(n + 5), soit 2n² − 2n + 60 = n² + 11n + 30, soit n² − 13n + 30 = 0, c'est-à-dire (n − 3)(n − 10) = 0. Donc n = 3 ou n = 10.

Vérification : avec n = 3, (9 − 3 + 30) / (9 × 8) = 36/72 = 1/2 ; avec n = 10, (100 − 10 + 30) / (16 × 15) = 120/240 = 1/2.