Probabilités conditionnelles : calculer « B sachant A » sans inverser le conditionnement

Où est la notion en 2026 ? Le programme de seconde applicable à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, BO n° 14 du 2 avril 2026) introduit la probabilité conditionnelle, les arbres et la « problématique de l'inversion des conditionnements », à partir des tableaux croisés. La spécialité de première a retiré P_A(B), les arbres pondérés et les tableaux croisés de ses contenus et ne les garde que dans ses automatismes ; elle s'en sert pour l'indépendance et la formule des probabilités totales. Pendant les années de transition, l'académie de Bordeaux (webinaire de juin-juillet 2026) laisse les équipes répartir la notion entre seconde et première : selon le lycée, on la découvre encore en première.

Une division, dans le bon univers

Soient A et B deux événements d'un univers fini Ω, avec P(A) ≠ 0. La probabilité de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A). On fait comme si A était le nouvel univers et l'on mesure la part de ses issues qui réalisent B. En équiprobabilité, les Card(Ω) se simplifient : P_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A), la fréquence conditionnelle d'un tableau croisé. La condition P(A) ≠ 0 est nécessaire : on ne conditionne pas par un événement impossible.

Règle du produit et branches complémentaires

En multipliant la définition par P(A) : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). C'est ce qu'on applique le long d'un chemin d'arbre : on multiplie les probabilités des branches.

A ∩ B et A ∩ B̄ sont incompatibles, de réunion A, donc P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄) = P(A). En divisant par P(A) ≠ 0 : P_A(B) + P_A(B̄) = 1. D'où la règle : les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à 1. La construction de l'arbre est détaillée dans l'article sur l'arbre de probabilité pondéré.

Le piège de l'inversion : P_A(B) et P_B(A)

P_A(B) et P_B(A) ont le même numérateur, P(A ∩ B), mais pas le même dénominateur. Elles ne sont égales que si P(A) = P(B) ou si P(A ∩ B) = 0. « 95 % des malades ont un test positif » ne dit pas que 95 % des positifs sont malades. Le programme de seconde cite les tests de dépistage et leur vocabulaire : faux positifs, faux négatifs, sensibilité (P(positif) sachant malade), spécificité (P(négatif) sachant sain).

Méthode. Nommer les événements ; traduire chaque donnée (« parmi », « chez », « sachant que » signalent un conditionnement, un pourcentage de toute la population une intersection) ; repérer ce que la question conditionne ; diviser l'intersection par la probabilité de l'événement qui suit « sachant ».

Exemple 1 · Lire un tableau croisé

Énoncé. Dans un lycée, on interroge 400 élèves de première. 240 suivent la spécialité mathématiques (événement M) ; 220 sont demi-pensionnaires (événement D) ; 150 sont à la fois en spécialité mathématiques et demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard. Calculer P(M ∩ D), P_M(D) et P_D(M).

Rédaction. On complète d'abord le tableau des effectifs : M et D : 150 ; M et D̄ : 240 − 150 = 90 ; M̄ et D : 220 − 150 = 70 ; M̄ et D̄ : 400 − 150 − 90 − 70 = 90. Le tirage se fait au hasard, donc avec équiprobabilité. P(M ∩ D) = 150/400 = 3/8. P_M(D) = Card(M ∩ D) / Card(M) = 150/240 = 5/8 : parmi les élèves de spécialité mathématiques, 62,5 % sont demi-pensionnaires. P_D(M) = 150/220 = 15/22 ≈ 0,68 : parmi les demi-pensionnaires, environ 68 % suivent la spécialité.

Les trois nombres ont le même effectif 150 au numérateur. Ce qui change, c'est la population de référence : tous les élèves, ceux de M, ceux de D. J'exige qu'on écrive cette population en toutes lettres avant chaque division.

Exemple 2 · Le test de dépistage

Énoncé. Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif pour 95 % des malades et pour 10 % des personnes saines. Une personne prise au hasard a un test positif (événement T). Quelle est la probabilité qu'elle soit malade (événement M) ?

Rédaction. Traduction : P(M) = 0,02, P_M(T) = 0,95, P_M̄(T) = 0,10. On raisonne sur 10 000 personnes, en reliant effectifs et probabilités comme le fait le programme de seconde : 200 sont malades, dont 190 ont un test positif ; 9 800 sont saines, dont 980 ont un test positif. Il y a donc 190 + 980 = 1 170 tests positifs, et P_T(M) = 190 / 1 170 = 19/117 ≈ 0,16. Additionner les positifs des deux groupes, c'est la formule des probabilités totales : en seconde, le programme ne l'attend pas sous forme de formule, d'où le passage par les effectifs.

Un test qui détecte 95 % des malades ne donne, ici, qu'une chance sur six d'être malade quand il est positif. La raison est dans les effectifs : la maladie est rare, et 10 % de 9 800 personnes saines font bien plus de positifs que 95 % de 200 malades. À l'inverse, un test négatif est très rassurant : 8 820 vrais négatifs pour 10 faux négatifs.

Ce que montre l'arbre du dépistage

La figure est l'arbre de l'exemple 2, construit dans l'ordre : le premier niveau M (0,02) et M̄ (0,98), puis les branches issues de M (0,95 et 0,05), puis celles issues de M̄ (0,10 et 0,90), puis le produit de chaque chemin, enfin le calcul de P_T(M). Les deux chemins en or mènent à un test positif : 0,019 par la maladie, 0,098 par une personne saine. L'arbre est construit « sachant M » alors que la question porte sur M « sachant T » : on ne la lit sur aucune branche, on divise le chemin du haut par la somme des deux chemins dorés.

Les erreurs sur les probabilités conditionnelles qui coûtent des points

• Confondre P(A ∩ B) et P_A(B) : « 3 % des pièces de A sont défectueuses » donne P_A(D) = 0,03, pas P(A ∩ D).
• Inverser le conditionnement, comme dans l'exemple 2, et répondre 0,95.
• Diviser par la mauvaise probabilité : P_A(B) se divise par P(A).
• Ne pas nommer les événements avant de calculer.

Trois exercices corrigés sur les probabilités conditionnelles

Exercice 1 · Un dé, deux conditionnements

Énoncé. On lance un dé équilibré à six faces. A : « le résultat est pair » ; B : « le résultat est supérieur ou égal à 3 ». Calculer P(A ∩ B), P_A(B) et P_B(A).

Correction. A = {2 ; 4 ; 6}, B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, A ∩ B = {4 ; 6}. Le dé étant équilibré, P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3. P_A(B) = Card(A ∩ B) / Card(A) = 2/3 et P_B(A) = Card(A ∩ B) / Card(B) = 2/4 = 1/2. Les deux probabilités conditionnelles diffèrent parce que A et B n'ont pas le même nombre d'issues.

Exercice 2 · Remonter un arbre (niveau première)

Énoncé. A et B sont deux événements tels que P(A) = 0,3, P_A(B) = 0,4 et P_Ā(B) = 0,2. Construire l'arbre, calculer P(B), puis P_B(A).

Correction. Premier niveau : A (0,3) et Ā (0,7). Second niveau : B (0,4) et B̄ (0,6) sachant A ; B (0,2) et B̄ (0,8) sachant Ā. Règle du produit : P(A ∩ B) = 0,3 × 0,4 = 0,12 et P(Ā ∩ B) = 0,7 × 0,2 = 0,14. Ces deux événements sont incompatibles et leur réunion est B, donc P(B) = 0,12 + 0,14 = 0,26 : c'est la formule des probabilités totales, au programme de première. Enfin P_B(A) = 0,12 / 0,26 = 6/13 ≈ 0,46.

Exercice 3 · Retrouver une proportion cachée

Énoncé. Dans un club sportif, 60 % des membres sont des filles. 25 % des filles jouent au tennis, et la moitié des joueurs de tennis du club sont des filles. On choisit un membre au hasard. Quelle est la probabilité qu'il joue au tennis sachant que c'est un garçon ?

Correction. On note F « le membre est une fille », G = F̄ et T « le membre joue au tennis ». Traduction : P(F) = 0,6, P_F(T) = 0,25 et P_T(F) = 0,5. Raisonnons sur 100 membres : 60 filles, dont 60 × 0,25 = 15 jouent au tennis. Ces 15 filles forment la moitié des joueurs de tennis, il y en a donc 30, dont 15 garçons. Le club compte 40 garçons, donc P_G(T) = 15/40 = 3/8 = 0,375. Le piège est la troisième donnée : « la moitié des joueurs de tennis sont des filles » est un conditionnement par T, pas par F.

La suite se construit sur P_A(B) : les événements indépendants, caractérisés, quand P(A) ≠ 0, par P_A(B) = P(B), puis la répétition d'épreuves et la loi binomiale.