Événements indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B), et le piège des incompatibles

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 (BO n° 14 du 2 avril 2026) demande de « savoir utiliser ou justifier l'indépendance de deux évènements » et ajoute la répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes, représentée par un arbre. La définition de P_A(B) et les arbres pondérés ont quitté la première en 2026 pour la seconde ; cet article suppose connue la notion de probabilité conditionnelle.

Le produit, et sa lecture conditionnelle

Définition. Deux événements A et B d'un même univers sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Le programme l'introduit par l'intuition : A et B sont indépendants si P_B(A) = P(A), sous réserve que P(B) ≠ 0. Les deux formulations sont alors équivalentes, puisque P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B). La forme produit est symétrique en A et B et garde un sens si l'une des probabilités est nulle : un événement de probabilité nulle est indépendant de tout événement.

Incompatibles ne veut pas dire indépendants

Incompatibles signifie A ∩ B = ∅ : les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble. Savoir que B est réalisé renseigne alors parfaitement sur A : A ne l'est pas. Le calcul le confirme : si A et B sont incompatibles et indépendants, P(A) × P(B) = P(A ∩ B) = 0, donc P(A) = 0 ou P(B) = 0. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants. Sur un dé, « obtenir un nombre pair » et « obtenir 1 ou 3 » sont incompatibles ; P(A ∩ B) = 0 alors que P(A) × P(B) = 1/2 × 1/3 = 1/6.

Le contraire d'un événement indépendant l'est aussi

Propriété. Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont indépendants.

Démonstration. Les événements A ∩ B et A ∩ B̄ sont incompatibles et leur réunion est A, donc P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄). Par indépendance, P(A ∩ B) = P(A) × P(B). D'où P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A) × P(B) = P(A) × (1 − P(B)) = P(A) × P(B̄).

En l'appliquant deux fois, Ā et B̄ sont aussi indépendants. Le programme de 2026 ne range pas cette démonstration parmi celles à connaître, mais un sujet de devoir peut demander de la refaire.

Justifier l'indépendance par le calcul

Exemple 1 · Deux événements du même dé, l'un indépendant, l'autre non

Énoncé. On lance un dé équilibré à six faces. A : « obtenir un nombre pair », B : « obtenir 1 ou 2 », C : « obtenir au moins 4 ». A et B sont-ils indépendants ? A et C ?

Rédaction. Il y a équiprobabilité sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}. P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3, A ∩ B = {2} donc P(A ∩ B) = 1/6. Comme P(A) × P(B) = 1/2 × 1/3 = 1/6 = P(A ∩ B), A et B sont indépendants.

P(C) = 3/6 = 1/2 et A ∩ C = {4, 6}, donc P(A ∩ C) = 2/6 = 1/3. Or P(A) × P(C) = 1/4 ≠ 1/3. A et C ne sont pas indépendants : parmi les résultats au moins égaux à 4, deux sur trois sont pairs, contre un sur deux en général. A et B portent sur le même lancer et sont pourtant indépendants : seul le calcul tranche.

Exemple 2 · À partir d'effectifs

Énoncé. Un lycée compte 240 élèves, dont 80 internes et 60 inscrits en section européenne ; 20 élèves sont à la fois internes et en section européenne. On choisit un élève au hasard. Les événements I « l'élève est interne » et E « l'élève est en section européenne » sont-ils indépendants ?

Rédaction. Le choix se fait avec équiprobabilité parmi 240 élèves. P(I) = 80/240 = 1/3, P(E) = 60/240 = 1/4 et P(I ∩ E) = 20/240 = 1/12. Comme P(I) × P(E) = 1/3 × 1/4 = 1/12 = P(I ∩ E), les événements I et E sont indépendants. Lecture conditionnelle : P_I(E) = 20/80 = 1/4, exactement la proportion dans tout le lycée. Avec un 21^e interne européen, ce ne serait plus vrai : dans une population observée, l'indépendance est une égalité exacte, alors qu'elle est souvent une hypothèse de modèle quand on enchaîne des épreuves.

La figure reprend cet exemple en six temps : le carré d'aire 1 de l'univers apparaît, puis la bande verticale bleue des internes (largeur 1/3), puis la bande horizontale dorée de la section européenne (hauteur 1/4), puis leur intersection se colore, avant que s'inscrivent le calcul du produit et la lecture dans la bande I. Le petit rectangle d'intersection a pour aire 1/3 × 1/4 = 1/12 = P(I ∩ E) : la part de E est la même dans la bande I que dans tout le carré.

Épreuves répétées : multiplier le long de l'arbre

Pour deux épreuves indépendantes (deux lancers, deux tirages avec remise), la probabilité d'un couple de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat ; sur l'arbre, les branches du second niveau portent les mêmes poids quelle que soit la branche du premier. Le tirage sans remise est traité dans l'article sur l'arbre de probabilité pondéré. Le programme précise que l'indépendance de deux lancers réels « fait partie de la modélisation » : on ne la démontre pas, on la justifie par le protocole (« le tirage se fait avec remise », « les lancers sont effectués dans les mêmes conditions »).

Exemple 3 · Trois lancers francs, n = 3

Énoncé. Une joueuse de basket réussit un lancer franc avec une probabilité de 0,7. Elle tire trois lancers francs, et l'on admet que les résultats sont indépendants. Calculer la probabilité qu'elle en réussisse exactement deux, puis au moins un.

Rédaction. On répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,7 (S succès, S̄ échec). L'arbre a 2³ = 8 chemins ; par indépendance, la probabilité d'un chemin est le produit de ses trois poids.

Exactement deux succès : trois chemins, SSS̄, SS̄S et S̄SS, chacun de probabilité 0,7 × 0,7 × 0,3 = 0,147. La probabilité cherchée est 3 × 0,147 = 0,441.

Au moins un succès : l'événement contraire est « trois échecs », de probabilité 0,3³ = 0,027. La probabilité cherchée est 1 − 0,027 = 0,973. En terminale, ces calculs deviennent ceux de la loi binomiale, pour n quelconque ; la formule des probabilités totales permet aussi de reconnaître une indépendance : si 0 < P(A) < 1 et P_A(B) = P_Ā(B), alors A et B sont indépendants.

Les erreurs sur l'indépendance qui coûtent des points

• « A et B sont incompatibles, donc indépendants » : c'est presque toujours l'inverse.
• Écrire P(A ∩ B) = P(A) × P(B) sans que l'indépendance soit donnée ni justifiée ; en général, P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
• Écrire P(A ∪ B) = P(A) + P(B) pour des événements indépendants, au lieu de P(A) + P(B) − P(A) × P(B).
• Comparer P_B(A) à P(B) au lieu de P(A).

Trois exercices corrigés sur l'indépendance

Exercice 1 · Décider à partir de P(A ∪ B)

Énoncé. On sait que P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∪ B) = 0,7. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Même question si P(A ∪ B) = 0,8.

Correction. D'après la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), on a P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 − 0,7 = 0,2. Or P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2. L'égalité P(A ∩ B) = P(A) × P(B) est vérifiée : A et B sont indépendants.

Si P(A ∪ B) = 0,8, alors P(A ∩ B) = 0,1 ≠ 0,2 : A et B ne sont pas indépendants.

Exercice 2 · Exploiter l'indépendance et les contraires

Énoncé. A et B sont indépendants, P(A) = 0,3 et P(B) = 0,6. Calculer P(A ∩ B̄), P(A ∪ B) et P_B(Ā).

Correction. A et B étant indépendants, A et B̄ le sont aussi, donc P(A ∩ B̄) = P(A) × P(B̄) = 0,3 × 0,4 = 0,12.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,3 + 0,6 − 0,3 × 0,6 = 0,9 − 0,18 = 0,72. Contrôle par le contraire : P(Ā ∩ B̄) = 0,7 × 0,4 = 0,28 et 1 − 0,28 = 0,72.

Ā et B sont indépendants et P(B) ≠ 0, donc P_B(Ā) = P(Ā) = 0,7.

Exercice 3 · Combien de composants en parallèle ?

Énoncé. Un composant électronique fonctionne pendant un an avec une probabilité de 0,9. On admet que les composants fonctionnent indépendamment les uns des autres. a) Un montage en série de deux composants fonctionne si les deux fonctionnent ; un montage en parallèle fonctionne si au moins l'un des deux fonctionne. Calculer la probabilité de fonctionnement de chaque montage. b) Combien de composants faut-il au minimum mettre en parallèle (n ≤ 4) pour que le montage fonctionne avec une probabilité d'au moins 0,9999 ?

Correction. a) On note C₁ et C₂ les événements « le composant fonctionne », indépendants. En série : P(C₁ ∩ C₂) = 0,9 × 0,9 = 0,81. En parallèle, le montage tombe en panne seulement si les deux composants tombent en panne ; C̄₁ et C̄₂ sont indépendants, donc la probabilité de panne est 0,1 × 0,1 = 0,01, et la probabilité de fonctionnement 1 − 0,01 = 0,99.

b) Avec n composants en parallèle, le montage ne tombe en panne que si les n composants tombent en panne, ce qui arrive avec probabilité 0,1ⁿ par indépendance. Il fonctionne donc avec probabilité 1 − 0,1ⁿ. Pour n = 3, on obtient 0,999 < 0,9999 ; pour n = 4, 1 − 0,0001 = 0,9999. Il faut au minimum quatre composants.