Forme indéterminée : les quatre cas, et la transformation qui lève chacun

L'expression « forme indéterminée » ne figure pas en toutes lettres dans le programme de terminale de 2019 : il admet les opérations sur les limites et demande de savoir déterminer une limite par « la factorisation du terme prépondérant dans une somme », les croissances comparées, des majorations ou des encadrements. Cette page traite les cas où les opérations ne concluent pas, pour les fonctions comme pour les suites.

Où les règles d'opérations s'arrêtent

Les règles d'opérations concluent tant qu'il n'y a pas de conflit. Il reste quatre situations où deux effets s'opposent et où aucune règle ne tranche :

• ∞ − ∞ : deux termes tendent vers +∞, et l'on prend leur différence ;
• 0 × ∞ : un facteur écrase, l'autre explose ;
• ∞/∞ : numérateur et dénominateur grandissent tous les deux ;
• 0/0 : numérateur et dénominateur s'annulent tous les deux.

« Indéterminée » ne signifie pas que la limite n'existe pas. Cela signifie que la forme seule ne permet pas de la connaître. En +∞, x²/x, x/x² et 3x/x sont toutes trois de la forme ∞/∞ ; elles tendent respectivement vers +∞, vers 0 et vers 3. Aucune règle générale ne peut donc exister.

En revanche, 1/0 n'est pas une forme indéterminée : le quotient d'un nombre non nul par une quantité qui tend vers 0 tend vers l'infini, et seul le signe reste à régler avec 0⁺ ou 0⁻. De même, 0/∞ donne 0 et ∞/0⁺ donne l'infini.

La figure trace, pour x positif, trois différences de la forme ∞ − ∞, l'une après l'autre. La rouge, x − √x, s'envole : x grandit beaucoup plus vite que √x. La bleu nuit, √(x² + x) − x, monte très vite puis se colle à la droite en pointillés y = 1/2 : les deux termes grandissent presque au même rythme. La dorée, √(x + 1) − √x, part de 1 et redescend vers l'axe des abscisses. Même forme au départ, trois directions : il faut savoir lequel des deux termes l'emporte, et de combien.

Factoriser par le terme qui l'emporte

Un polynôme. En +∞, x³ − 5x² + 1 est de la forme ∞ − ∞. Pour x ≠ 0, x³ − 5x² + 1 = x³(1 − 5/x + 1/x³). La parenthèse tend vers 1, x³ tend vers +∞, donc par produit la limite est +∞. En −∞, le même calcul donne −∞, puisque x³ tend vers −∞. Un polynôme a, en ±∞, la limite de son terme de plus haut degré ; cette factorisation en est la preuve.

Un quotient. En +∞, (3x² − x + 2)/(1 − 2x²) est de la forme ∞/∞. On factorise en haut et en bas par x² : le quotient vaut (3 − 1/x + 2/x²)/(1/x² − 2). Le numérateur tend vers 3, le dénominateur vers −2, donc la limite est −3/2, en +∞ comme en −∞. La droite y = −3/2 est asymptote horizontale.

Pour les suites, l'idée est la même avec les puissances. 2ⁿ − 3ⁿ est de la forme ∞ − ∞ ; on écrit 2ⁿ − 3ⁿ = 3ⁿ((2/3)ⁿ − 1). Comme −1 < 2/3 < 1, (2/3)ⁿ tend vers 0, la parenthèse tend vers −1, et par produit 2ⁿ − 3ⁿ tend vers −∞.

Par la croissance comparée. En +∞, eˣ − x² est de la forme ∞ − ∞. On écrit eˣ − x² = eˣ(1 − x²/eˣ). La croissance comparée donne x²/eˣ → 0, donc la parenthèse tend vers 1 et l'expression tend vers +∞. Le cas 0 × ∞ se ramène à un quotient : en +∞, x e^−x s'écrit x/eˣ, de la forme ∞/∞, et tend vers 0 par croissance comparée.

La quantité conjuguée, pour les racines

Quand une racine carrée s'oppose à un autre terme, on utilise (a − b)(a + b) = a² − b², qui fait disparaître les racines.

Pour x > 0 : √(x² + x) − x = [(x² + x) − x²]/(√(x² + x) + x) = x/(√(x² + x) + x). Le résultat est encore de la forme ∞/∞, mais une forme qui se lève : pour x > 0, √(x² + x) = x√(1 + 1/x), donc l'expression vaut 1/(√(1 + 1/x) + 1), qui tend vers 1/(1 + 1) = 1/2. C'est la courbe bleu nuit de la figure.

De même, √(x + 1) − √x = 1/(√(x + 1) + √x). Le dénominateur tend vers +∞, donc la limite est 0 : la courbe dorée.

Un piège en −∞ : √(x²) = |x|, et |x| = −x quand x est négatif. Ainsi √(x² + 1)/x tend vers −1 en −∞, pas vers 1.

Les 0/0 en un point

Par simplification. En 2, (x² − 4)/(x − 2) est de la forme 0/0. Pour x ≠ 2, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), donc le quotient vaut x + 2, qui tend vers 4. La limite est 4.

Par le nombre dérivé. En 0, (eˣ − 1)/x est de la forme 0/0, et aucune factorisation ne s'offre. Mais eˣ − 1 = eˣ − e⁰ : le quotient est le taux d'accroissement de l'exponentielle entre 0 et x. Comme exp est dérivable en 0, de dérivée e⁰ = 1, la limite vaut 1. De même, (√(x + 9) − 3)/x est le taux d'accroissement de la racine carrée entre 9 et 9 + x, dont la limite est 1/(2√9) = 1/6 ; la quantité conjuguée donne le même résultat.

Les formes de type 1^∞ ou 0⁰, comme (1 + 1/n)ⁿ qui tend vers e et non vers 1, se traitent avec le logarithme, plus tard dans l'année.

Les réflexes qui font perdre la question

• Écrire « ∞ − ∞ = 0 » ou « ∞/∞ = 1 » : l'infini n'est pas un nombre, et la figure montre trois ∞ − ∞ qui ne valent pas 0.
• Classer 1/0 parmi les formes indéterminées et chercher une transformation alors que seul le signe est en jeu.
• Factoriser par le mauvais terme : dans (3x² − x + 2)/(1 − 2x²), mettre x en facteur en haut et en bas donne (3x − 1 + 2/x)/(1/x − 2x), encore de la forme ∞/∞.
• Oublier que √(x²) = |x| = −x en −∞.
• Écrire « on a une FI » sans la nommer : une rédaction complète nomme la forme (« forme ∞/∞ »), écrit la transformation, puis la limite de chaque morceau.

Trois indéterminations à lever

Exercice 1 · Limite en −∞ de f(x) = (2x³ − x + 4)/(x² + 1)

En −∞, le numérateur tend vers −∞ et le dénominateur vers +∞ : forme ∞/∞.

Pour x ≠ 0, on factorise le numérateur par x³ et le dénominateur par x² : f(x) = x³(2 − 1/x² + 4/x³)/(x²(1 + 1/x²)) = x × (2 − 1/x² + 4/x³)/(1 + 1/x²).

Le quotient de droite tend vers 2/1 = 2, et x tend vers −∞. Par produit, lim_x→−∞ f(x) = −∞.

Exercice 2 · Limite de la suite uₙ = √(n² + 3n) − n

Les deux termes tendent vers +∞ : forme ∞ − ∞. Pour n ≥ 1, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée : uₙ = [(n² + 3n) − n²]/(√(n² + 3n) + n) = 3n/(√(n² + 3n) + n).

Comme n > 0, √(n² + 3n) = n√(1 + 3/n), et en divisant par n : uₙ = 3/(√(1 + 3/n) + 1).

3/n tend vers 0, donc le dénominateur tend vers √1 + 1 = 2, et lim uₙ = 3/2.

Exercice 3 · Deux limites avec l'exponentielle : (e^2x − 1)/x en 0, puis (eˣ − x)/(eˣ + x) en +∞

Première limite. Forme 0/0. Posons g(x) = e^2x ; g(0) = 1, et le quotient vaut (g(x) − g(0))/(x − 0), taux d'accroissement de g en 0. Or g est dérivable avec g′(x) = 2e^2x, donc g′(0) = 2. La limite vaut 2.

Seconde limite. En +∞, le dénominateur tend vers +∞ et le numérateur est une forme ∞ − ∞ : le quotient ne relève d'aucune règle d'opération. On factorise par eˣ : (eˣ − x)/(eˣ + x) = (1 − x e^−x)/(1 + x e^−x).

Par croissance comparée, x e^−x = x/eˣ tend vers 0 en +∞. Le quotient tend donc vers 1/1 = 1.