Limites de fonctions en terminale : asymptotes et justification de chaque limite

Limite finie, limite infinie, asymptotes

Le programme de terminale de 2019 définit ces limites sur le modèle des suites ; il admet les opérations sur les limites et demande surtout de savoir les calculer, les justifier et les relier aux asymptotes.

Limite finie à l'infini. f a pour limite ℓ en +∞ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs f(x) dès que x est assez grand. On écrit lim_x→+∞ f(x) = ℓ. La droite d'équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbe en +∞. Même chose en −∞, avec « x négatif assez grand en valeur absolue ».

Limite infinie à l'infini. f tend vers +∞ en +∞ si, pour tout réel A, f(x) ≥ A dès que x est assez grand. Aucune asymptote parallèle aux axes dans ce cas.

Limite infinie en un réel a. f tend vers +∞ quand x tend vers a si f(x) dépasse n'importe quel réel A dès que x est assez proche de a. Très souvent, le comportement diffère selon le côté : on parle de limite à droite (x → a avec x > a, noté x → a⁺) et de limite à gauche (x → a⁻). Si l'une de ces limites est infinie, la droite x = a est asymptote verticale.

Pourquoi eˣ tend vers +∞, puis vers 0

Le programme demande de le démontrer, en comparant eˣ à x.

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = eˣ − x. Elle est dérivable et g′(x) = eˣ − 1. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante et e⁰ = 1, g′(x) < 0 sur ]−∞ ; 0[ et g′(x) > 0 sur ]0 ; +∞[. La fonction g admet donc un minimum en 0, qui vaut g(0) = 1. Ainsi, pour tout réel x, eˣ − x ≥ 1 > 0, d'où eˣ > x.

Comme lim_x→+∞ x = +∞ et eˣ ≥ x pour tout x, le théorème de comparaison donne lim_x→+∞ eˣ = +∞.

En −∞, on pose X = −x. Quand x tend vers −∞, X tend vers +∞, donc e^X tend vers +∞ et eˣ = 1/e^X tend vers 0. C'est un premier exemple de limite d'une composée. La comparaison de eˣ avec toutes les puissances fait l'objet de la page sur la croissance comparée.

Étudier f(x) = (2x + 1)/(x − 1) aux bornes, comme en DS

En ±∞. Pour tout x ≠ 1, 2x + 1 = 2(x − 1) + 3, donc f(x) = 2 + 3/(x − 1). Quand x tend vers +∞ ou vers −∞, x − 1 tend vers l'infini, donc 3/(x − 1) tend vers 0 et f(x) tend vers 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale en −∞ et en +∞. De plus, f(x) − 2 = 3/(x − 1) est positif pour x > 1 et négatif pour x < 1 : la courbe est au-dessus de l'asymptote à droite, en dessous à gauche.

En 1. Le numérateur tend vers 2 × 1 + 1 = 3. Le dénominateur tend vers 0, et tout se joue sur son signe. Si x > 1, x − 1 > 0 : le dénominateur tend vers 0 par valeurs positives, noté 0⁺, et par quotient lim_x→1⁺ f(x) = +∞. Si x < 1, x − 1 tend vers 0⁻ et lim_x→1⁻ f(x) = −∞. La droite x = 1 est asymptote verticale.

Sur une copie, j'attends trois éléments pour chaque limite en un point : la limite du numérateur, la limite du dénominateur avec son signe, puis « par quotient ». Quand le dénominateur se factorise, comme x² − 4 = (x − 2)(x + 2) près de 2, son signe se lit sur un tableau de signes fait au brouillon.

La figure montre ce calcul. L'asymptote horizontale y = 2 (verte) apparaît d'abord, puis l'asymptote verticale x = 1 (rouge), puis la branche de droite se trace, enfin celle de gauche. Loin de l'origine, la courbe se rapproche de y = 2 sans la toucher, au-dessus à droite et en dessous à gauche, comme l'indique le signe de 3/(x − 1). Près de x = 1, elle monte vers +∞ à droite et plonge vers −∞ à gauche. Elle coupe l'axe des abscisses en −1/2 et l'axe des ordonnées en −1, deux points qui permettent de vérifier le tracé.

Quand les opérations ne concluent pas

Un encadrement à l'infini. Soit k(x) = (sin x)/x en +∞. Les opérations ne disent rien, puisque sin x n'a pas de limite en +∞. Mais pour x > 0, −1 ≤ sin x ≤ 1 donne −1/x ≤ (sin x)/x ≤ 1/x. Les deux fonctions extrêmes tendent vers 0 en +∞, donc par encadrement lim_x→+∞ (sin x)/x = 0, et l'axe des abscisses est asymptote horizontale. Cette courbe coupe pourtant son asymptote une infinité de fois, en chaque réel kπ avec k entier, k ≥ 1.

Quand les opérations donnent une expression du type ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ ou 0/0, elles ne concluent pas : c'est une forme indéterminée, et il faut transformer l'écriture avant de calculer.

Les erreurs sur les limites de fonctions qui coûtent des points

• Écrire « 3/0 = ∞ » : ce n'est pas un calcul et le signe manque. On écrit les limites séparément, avec 0⁺ ou 0⁻, puis « par quotient ».
• Croire qu'une courbe ne traverse jamais son asymptote : vrai pour f ci-dessus, faux pour (sin x)/x.
• Conclure à une asymptote verticale en a parce que a est une valeur interdite : (x² − 1)/(x − 1) n'est pas définie en 1 et tend vers 2 en 1. Il faut une limite infinie.
• Donner une seule limite en un point où le dénominateur change de signe : la limite à gauche et la limite à droite s'étudient séparément.
• Recopier une limite lue sur la calculatrice : l'écran suggère, seul un théorème prouve.

Trois fonctions à étudier aux bornes

Exercice 1 · f(x) = 3 − 2/x² sur ℝ* : limites et asymptotes

En +∞ et en −∞, x² tend vers +∞, donc 2/x² tend vers 0 et f(x) tend vers 3. La droite y = 3 est asymptote horizontale en ±∞ ; comme 2/x² > 0, la courbe est en dessous.

En 0, x² tend vers 0 par valeurs positives, des deux côtés. Donc 2/x² tend vers +∞ et f(x) tend vers −∞, à gauche comme à droite. La droite x = 0, c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale.

Exercice 2 · g(x) = e^1/x : limites en 0⁺, en 0⁻ et en ±∞

On compose : X = 1/x, puis e^X.

Quand x → 0⁺, X = 1/x → +∞, et lim_X→+∞ e^X = +∞ : donc lim_x→0⁺ g(x) = +∞. Asymptote verticale x = 0.

Quand x → 0⁻, X → −∞, et lim_X→−∞ e^X = 0 : donc lim_x→0⁻ g(x) = 0. La courbe arrive à gauche de 0 vers le point (0 ; 0), qui n'est pas sur la courbe.

En +∞ comme en −∞, X → 0 et e^X → e⁰ = 1 : la droite y = 1 est asymptote horizontale des deux côtés.

Exercice 3 · k(x) = (2 + cos x)/x sur ]0 ; +∞[ : limites en 0 et en +∞

Pour tout x > 0, 1 ≤ 2 + cos x ≤ 3, et en divisant par x > 0 : 1/x ≤ k(x) ≤ 3/x.

En +∞ : 1/x et 3/x tendent vers 0, donc, par encadrement, lim_x→+∞ k(x) = 0. Asymptote horizontale y = 0.

En 0 : k(x) ≥ 1/x et lim_x→0⁺ 1/x = +∞, donc, par comparaison, lim_x→0⁺ k(x) = +∞. Asymptote verticale x = 0.