Dérivée d'une fonction composée : (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′, sans oublier le facteur u′

La composée v ∘ u est la fonction x ↦ v(u(x)) : on applique u, puis v au résultat. Dans √(x² + 1), u(x) = x² + 1 est la fonction intérieure et v = √ la fonction extérieure. Le programme de spécialité de terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, partie « Compléments sur la dérivation ») introduit la notation v ∘ u et la relation (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′ ; il demande de savoir l'appliquer à « une formule simple mettant en jeu opérations algébriques et composition », sans en exiger la démonstration.

Jusqu'ici, la classe de première traitait le cas particulier x ↦ g(ax + b). Le programme de première applicable à la rentrée 2026 (BO n° 14 du 2 avril 2026) l'a retiré : les élèves entrés en première en 2026 n'y voient plus la dérivée de x ↦ g(ax + b).

D'où vient le facteur u′

La règle est admise au programme ; une justification courte aide à ne pas oublier u′. Pour h ≠ 0 tel que u(x + h) ≠ u(x), on écrit le taux d'accroissement de v ∘ u en x sous la forme d'un produit :

[v(u(x + h)) − v(u(x))] / h = [v(u(x + h)) − v(u(x))] / [u(x + h) − u(x)] × [u(x + h) − u(x)] / h.

Quand h tend vers 0, u(x + h) tend vers u(x) : le premier facteur tend vers v′(u(x)), le second vers u′(x). La pente de la composée est le produit de deux pentes : celle de v, prise au point u(x), et celle de u, prise au point x. Le cas où u(x + h) = u(x) pour des h arbitrairement petits demande un argument de plus, hors programme.

Les conditions de l'énoncé ne sont pas là pour décorer. La racine carrée n'est pas dérivable en 0 : x ↦ √(x − 1) est définie sur [1 ; +∞[ mais dérivable seulement sur ]1 ; +∞[, et la copie doit le dire.

La méthode qui évite les oublis

1. Repérer la fonction extérieure v et l'écrire avec une lettre muette : v(X) = √X, v(X) = X⁵, v(X) = ln X…
2. Écrire à part u(x) = … et u′(x) = …
3. Vérifier la condition : u(x) reste dans l'ensemble où v est dérivable (u(x) > 0 pour √ et ln).
4. Assembler v′(u(x)) × u′(x), puis simplifier et factoriser si la suite demande le signe de la dérivée.

Exemple 1 · f(x) = √(x² + 1)

Rédaction. On pose u(x) = x² + 1, dérivable sur ℝ, avec u′(x) = 2x. Pour tout réel x, u(x) ≥ 1 > 0, et la racine carrée est dérivable sur ]0 ; +∞[. Donc f est dérivable sur ℝ et, pour tout x,

f′(x) = u′(x) / (2√u(x)) = 2x / (2√(x² + 1)) = x / √(x² + 1).

En x = 1 : u′(1) = 2 et v′(u(1)) = 1/(2√2), donc f′(1) = 1/(2√2) × 2 = 1/√2 ≈ 0,71. La dérivée a le signe de x : f est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[, de minimum f(0) = 1.

Exemple 2 · g(x) = ln(x² − 2x + 2), une étude de variations

Rédaction. Le trinôme u(x) = x² − 2x + 2 a pour discriminant 4 − 8 = −4 < 0 et un coefficient de x² positif : u(x) > 0 pour tout réel x. g est donc définie et dérivable sur ℝ, et g′(x) = u′(x)/u(x) = (2x − 2)/(x² − 2x + 2).

Le dénominateur est strictement positif, donc g′(x) a le signe de 2x − 2 : négatif sur ]−∞ ; 1[, positif sur ]1 ; +∞[. g est décroissante sur ]−∞ ; 1], croissante sur [1 ; +∞[, de minimum g(1) = ln 1 = 0. Comme ln est croissante, g a les mêmes variations que u ; la dérivée le confirme et c'est elle qu'on rédige.

Ce que montre la figure de la dérivée d'une composée

La figure suit le calcul de f′(1) de l'exemple 1. La parabole de u(x) = x² + 1 se trace d'abord, puis sa tangente en x = 1, de pente u′(1) = 2. Ensuite la courbe de f = √u se dessine, plus plate, puis sa tangente au point d'abscisse 1, de pente 1/√2 ≈ 0,71. L'encadré final écrit le produit : f′(1) = v′(u(1)) × u′(1) = 1/(2√2) × 2. La pente de u est multipliée par 1/(2√2), la pente de la racine carrée au point u(1) = 2, ce qui explique que la tangente à f soit moins raide que celle de u.

Les erreurs sur la dérivée d'une composée qui coûtent des points

• Facteur u′ oublié : (√(x² + 1))′ écrit 1/(2√(x² + 1)).
• v′ évaluée en x au lieu de u(x) : (ln(3x + 1))′ écrit 3 × (1/x).
• Fonction intérieure dérivée deux fois : (x² + 1)³ dérivée en 3(2x)², au lieu de 3 × 2x × (x² + 1)².
• Condition de dérivabilité omise pour √u ou ln u, ou dérivabilité affirmée là où u s'annule sous une racine.
• Dérivée développée alors que la question suivante demande son signe : 6x(x² − 1)² se lit, son développement ne se lit plus.

Trois exercices corrigés sur la dérivée d'une composée

Exercice 1 · Trois dérivées directes

Énoncé. Dériver a) f(x) = (5x − 1)⁷ sur ℝ ; b) g(x) = √(4 − x²) sur ]−2 ; 2[ ; c) h(x) = cos(2x + π/3) sur ℝ.

Correction. a) u(x) = 5x − 1, u′(x) = 5, f′(x) = 7 × 5 × (5x − 1)⁶ = 35(5x − 1)⁶.

b) u(x) = 4 − x² > 0 sur ]−2 ; 2[, u′(x) = −2x, g′(x) = −2x / (2√(4 − x²)) = −x / √(4 − x²). En −2 et 2, u s'annule : g n'y est pas dérivable.

c) u(x) = 2x + π/3, u′(x) = 2, h′(x) = −2 sin(2x + π/3).

Exercice 2 · Une dérivée qui s'annule sans changer de signe

Énoncé. Étudier les variations de f(x) = (x² − 1)³ sur ℝ.

Correction. Avec u(x) = x² − 1 et u′(x) = 2x, f′(x) = 3 × 2x × (x² − 1)² = 6x(x² − 1)². Le facteur (x² − 1)² est positif ou nul et s'annule en −1 et 1 ; f′(x) a donc le signe de x, sauf en −1, 0 et 1 où elle s'annule. f est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, de minimum f(0) = −1. En −1 et 1, la tangente est horizontale mais f′ ne change pas de signe : ce ne sont pas des extremums.

Exercice 3 · Trois étages : h(x) = exp(√(x² + 1))

Énoncé. Dériver h(x) = e^{√(x² + 1)} sur ℝ et donner l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0.

Correction. On pose w(x) = √(x² + 1), dérivable sur ℝ avec w′(x) = x / √(x² + 1) (exemple 1). Alors h = e^w et h′(x) = w′(x) e^w(x) = x e^{√(x² + 1)} / √(x² + 1). En 0 : h(0) = e¹ = e et h′(0) = 0. La tangente a pour équation y = e.