Développer et factoriser en 3e : du produit à la somme, et retour

Au programme de 3e en vigueur à la rentrée 2026 (cycle 4 de 2015, aménagé en 2018), l'élève doit savoir développer par simple et double distributivité, factoriser, réduire des expressions simples, et factoriser a² − b². Les repères officiels précisent qu'« aucune virtuosité calculatoire n'est attendue » : ce qui compte, c'est de ne pas se tromper de signe et de savoir dans quel sens on va.

Somme ou produit : lire l'expression avant de calculer

Une expression est un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication, une somme si c'est une addition ou une soustraction. 3(x + 2) est un produit : on calcule d'abord x + 2, puis on multiplie par 3. 3x + 6 est une somme. (x + 1)(x − 2) + 4 est une somme, même si elle contient un produit, parce que l'on ajoute 4 en dernier.

Cette lecture décide de tout. « Développer » demande d'arriver à une somme, « factoriser » à un produit. Une réponse de la forme (x + 1)(x + 4) − 3 n'est pas factorisée.

Développer : simple et double distributivité

La simple distributivité, k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb, est déjà connue en arrivant en 3e. La double distributivité s'en déduit. On pose k = c + d : (a + b)(c + d) = (a + b)k = ak + bk = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui fait quatre produits.

Un signe moins devant une parenthèse multiplie tout son contenu par −1 : −(a + b) = −a − b et −(a − b) = −a + b. C'est là que se perdent beaucoup de points.

Exemple 1 · Développer et réduire

Énoncé. Développer et réduire A = (2x − 3)(5x + 7), B = 3(2x + 1) − (6 − x) et C = −4x(6 − 3x).

Rédaction. A = 2x × 5x + 2x × 7 − 3 × 5x − 3 × 7 = 10x² + 14x − 15x − 21 = 10x² − x − 21.

B = 6x + 3 − 6 + x = 7x − 3. Le moins devant (6 − x) change −x en +x.

C = −4x × 6 − 4x × (−3x) = −24x + 12x². Par la règle des signes, (−4x) × (−3x) = +12x².

Contrôle avec x = 1 : (2 − 3)(5 + 7) = −12 et 10 − 1 − 21 = −12. Les deux formes de A donnent bien la même valeur.

Factoriser : faire apparaître le facteur commun

Factoriser par un facteur commun, c'est repérer ce qui se répète dans chaque terme de la somme, puis l'écrire une seule fois devant une parenthèse qui contient « ce qui reste ». Le facteur commun peut être un nombre (5a + 15b = 5 × a + 5 × 3b = 5(a + 3b)), une lettre ou un monôme (12x² − 15x = 3x × 4x − 3x × 5 = 3x(4x − 5)), ou une parenthèse entière.

Deux cas demandent de l'attention. Quand le facteur commun apparaît seul, il reste 1 à sa place : (x − 2)(x + 5) − (x − 2) = (x − 2)(x + 5) − (x − 2) × 1 = (x − 2)(x + 5 − 1) = (x − 2)(x + 4). Quand le second terme est précédé d'un moins, on garde des crochets pour ne pas oublier de changer les signes.

Si aucun facteur commun n'apparaît, on regarde si l'expression est une différence de deux carrés : 16x² − 144 = (4x)² − 12² = (4x − 12)(4x + 12). Les trois identités sont traitées dans l'article sur les identités remarquables.

Exemple 2 · Un facteur commun entre parenthèses, et un signe moins

Énoncé. Factoriser E = (3x − 1)(x + 2) − (3x − 1)(2x − 5).

Rédaction. Le facteur commun est (3x − 1). E = (3x − 1)[(x + 2) − (2x − 5)] = (3x − 1)(x + 2 − 2x + 5) = (3x − 1)(−x + 7).

Contrôle avec x = 0 : la forme de départ donne (−1) × 2 − (−1) × (−5) = −2 − 5 = −7, la forme factorisée (−1) × 7 = −7. L'erreur courante, (3x − 1)(x + 2 − 2x − 5), aurait donné −1 × (−3) = 3.

Contrôler un calcul en remplaçant x

Une expression développée ou factorisée est égale à celle de départ pour toutes les valeurs de x. Je fais donc remplacer x par une valeur simple dans les deux expressions, 0, 1 ou 2, en évitant celles qui annulent un facteur. Si les résultats diffèrent, le calcul est faux, à coup sûr. S'ils sont égaux, il est très probablement juste, mais ce n'est pas une démonstration : seul le calcul littéral vaut pour tous les x.

La figure : un rectangle qui se développe

La figure montre (x + 3)(x + 2) comme l'aire d'un rectangle de côtés x + 3 et x + 2, dessiné avec x = 4. Le rectangle se trace d'abord, avec ses côtés notés x et 3, x et 2. Deux traits le coupent en quatre. Les morceaux se colorent ensuite un par un, dans l'ordre de la double distributivité : x × x = x², puis 3 × x = 3x, puis x × 2 = 2x, puis 3 × 2 = 6. L'égalité s'écrit à droite, (x + 3)(x + 2) = x² + 3x + 2x + 6, et se réduit en x² + 5x + 6. La dernière ligne contrôle avec x = 4 : 7 × 6 = 42 et 16 + 20 + 6 = 42. Lue à l'envers, la figure dit ce qu'est factoriser : retrouver le grand rectangle à partir des quatre morceaux.

Signes et produits oubliés : les fautes de copie

• Le signe moins appliqué au premier terme seulement : −(6 − x) écrit −6 − x.
• Un produit oublié dans la double distributivité, souvent le dernier.
• 2x × 5x = 10x au lieu de 10x², ou x + x = x².
• Le « 1 » qui disparaît quand le facteur commun est seul : (x − 2)(x + 5) − (x − 2) n'est pas (x − 2)(x + 5).
• Une factorisation qui s'arrête à une somme, comme (x + 1)(x + 4) − 3.

S'entraîner : développer, factoriser, choisir la forme

Exercice 1 · Développer et réduire

Énoncé. Développer et réduire F = 5(x − 4) − 2(3x − 1), G = (x + 3)(x − 7) et K = (4 − x)(2x + 5).

Correction. F = 5x − 20 − 6x + 2 = −x − 18. Le −2 multiplie aussi le −1 : −2 × (−1) = +2.

G = x² − 7x + 3x − 21 = x² − 4x − 21.

K = 8x + 20 − 2x² − 5x = −2x² + 3x + 20.

Exercice 2 · Trouver le facteur commun

Énoncé. Factoriser L = 14x² + 21x, M = (x − 3)(2x + 1) + (x − 3)² et N = (5x + 2)(x − 1) − (5x + 2).

Correction. L = 7x × 2x + 7x × 3 = 7x(2x + 3).

M : (x − 3)² = (x − 3)(x − 3), donc le facteur commun est (x − 3). M = (x − 3)[(2x + 1) + (x − 3)] = (x − 3)(3x − 2).

N = (5x + 2)(x − 1) − (5x + 2) × 1 = (5x + 2)(x − 1 − 1) = (5x + 2)(x − 2).

Exercice 3 · Choisir la forme selon la question

Énoncé. On considère P = (x + 5)(x − 1) − (x + 5)(2x + 3). a) Développer et réduire P. b) Factoriser P. c) Calculer P pour x = 0, puis pour x = −5, en choisissant chaque fois la forme la plus commode.

Correction. a) (x + 5)(x − 1) = x² + 4x − 5 et (x + 5)(2x + 3) = 2x² + 13x + 15. Donc P = x² + 4x − 5 − 2x² − 13x − 15 = −x² − 9x − 20.

b) P = (x + 5)[(x − 1) − (2x + 3)] = (x + 5)(x − 1 − 2x − 3) = (x + 5)(−x − 4).

c) Pour x = 0, la forme développée donne directement P = −20. Pour x = −5, la forme factorisée donne P = 0 × 1 = 0 sans calcul. Chercher les valeurs qui annulent P relève de l'équation produit nul.