Équation produit nul : pourquoi A × B = 0 se coupe en deux équations, et comment s'y ramener

Les équations du premier degré se résolvent en isolant x. Une équation comme x² = 3x ne se laisse pas faire ainsi : x apparaît au carré et au premier degré. En 3e, on la ramène à des équations du premier degré grâce à une seule propriété, celle du produit nul. Les attendus de fin de 3e (2019) demandent de résoudre « des équations produits » et des équations x² = a « sur des exemples simples » ; le programme du cycle 4 cite l'annulation d'un produit avec sa « démonstration possible par disjonction de cas ». À la rentrée 2026, ces textes s'appliquent toujours en 3e : le nouveau programme du cycle 4 n'y arrivera qu'en 2028.

La propriété et sa démonstration

Propriété. Pour tous nombres A et B : A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.

Le « ou » est celui des mathématiques : l'un, l'autre, ou les deux à la fois. Et la propriété se prolonge à plus de deux facteurs : x(x − 1)(x + 2) = 0 équivaut à x = 0 ou x = 1 ou x = −2.

Démonstration. Si A = 0, alors A × B = 0 × B = 0 ; de même si B = 0. Réciproquement, supposons A × B = 0 et distinguons deux cas. Premier cas, A = 0 : c'est terminé. Second cas, A ≠ 0 : on peut diviser les deux membres par A, et B = 0 / A = 0. Dans les deux cas, A = 0 ou B = 0.

La propriété ne vaut que pour 0. Si (x − 2)(x + 3) = 5, on ne peut rien conclure sur chaque facteur : 5 s'obtient comme 1 × 5, 2 × 2,5, 10 × 0,5 et une infinité d'autres produits.

Résoudre une équation déjà factorisée

Exemple 1 · (2x − 3)(x + 1) = 0

Rédaction. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

2x − 3 = 0 ou x + 1 = 0

2x = 3 ou x = −1

x = 3/2 ou x = −1.

L'équation a deux solutions : 3/2 et −1. Contrôle : pour x = 3/2, le premier facteur vaut 2 × 3/2 − 3 = 0 ; pour x = −1, le second vaut 0.

La phrase de départ fait partie de la rédaction attendue : c'est elle qui justifie le passage d'une équation à deux. Sans elle, je considère la résolution comme non justifiée.

La figure montre pourquoi il n'y a pas d'autre solution. La droite y = 2x − 3 se trace d'abord : elle coupe l'axe des abscisses en 3/2, la seule valeur qui annule le premier facteur. Vient ensuite la droite y = x + 1, qui coupe l'axe en −1. La courbe du produit (2x − 3)(x + 1) se trace à son tour, puis ses deux points sur l'axe s'allument, x = −1 et x = 3/2 : exactement les abscisses où l'une des droites passe par 0. Dernière étape, un point témoin en x = 0 : aucun facteur n'y est nul, (−3) × 1 = −3, et la courbe passe sous l'axe. Partout ailleurs qu'en −1 et 3/2, les deux facteurs sont non nuls, et leur produit aussi.

Se ramener à un produit nul : tout d'un côté, puis factoriser

La méthode tient en trois temps : regrouper tous les termes dans le membre de gauche pour avoir 0 à droite ; factoriser ce membre de gauche ; appliquer la propriété. La factorisation se fait par un facteur commun, ou par l'identité a² − b² = (a − b)(a + b), détaillées dans développer et factoriser et identités remarquables.

Exemple 2 · Un facteur commun à repérer

Énoncé. Résoudre (2x + 1)(x − 4) − (2x + 1)(3x + 2) = 0.

Rédaction. Le membre de droite vaut déjà 0. Le facteur 2x + 1 est commun aux deux termes :

(2x + 1)[(x − 4) − (3x + 2)] = 0

(2x + 1)(x − 4 − 3x − 2) = 0

(2x + 1)(−2x − 6) = 0.

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : 2x + 1 = 0 ou −2x − 6 = 0, donc x = −1/2 ou x = −3. Les solutions sont −1/2 et −3.

Le piège est dans la deuxième ligne : le signe − devant la parenthèse (3x + 2) change les deux signes, d'où −3x − 2. Développer tout le membre de gauche serait une impasse : on obtiendrait −4x² − 14x − 6 = 0, qu'on ne sait pas résoudre en 3e.

Le cas x² = a

Pour a > 0, l'équation x² = a a deux solutions, √a et −√a. On le démontre avec le produit nul : x² = a équivaut à x² − (√a)² = 0, soit (x − √a)(x + √a) = 0, donc x = √a ou x = −√a.

• x² = 25 : x² − 25 = 0, (x − 5)(x + 5) = 0, solutions 5 et −5 ;
• x² = 20 : solutions √20 et −√20 (environ 4,47 et −4,47) ;
• x² = 0 : une seule solution, 0 ;
• x² = −4 : aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.

Oublier la solution négative est l'erreur la plus fréquente : (−5)² = 25 aussi.

Les erreurs sur l'équation produit nul qui coûtent des points

• Diviser par x. Dans x² = 3x, écrire « x = 3 » perd la solution 0 : on ne divise pas par un nombre qui peut être nul. La bonne voie : x² − 3x = 0, x(x − 3) = 0, x = 0 ou x = 3.
• Appliquer la propriété à un produit qui ne vaut pas 0 : de (x − 2)(x + 3) = 5, déduire x − 2 = 5 ou x + 3 = 5. Avec x = 7, le produit vaut 50.
• Développer au lieu de factoriser, et se retrouver avec un x² qu'on ne sait pas isoler.
• Se tromper de signe en résolvant un facteur : 2x − 3 = 0 donne 3/2, pas −3/2.
• Écrire « et » au lieu de « ou » : x ne vaut pas 3/2 et −1 en même temps.

Trois exercices corrigés sur l'équation produit nul

Exercice 1 · Deux équations déjà factorisées

Énoncé. Résoudre (5x − 2)(3 − x) = 0, puis x(4x + 7) = 0.

Correction. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Première équation : 5x − 2 = 0 ou 3 − x = 0, donc x = 2/5 ou x = 3. Seconde équation : x = 0 ou 4x + 7 = 0, donc x = 0 ou x = −7/4.

Le facteur x tout seul est un facteur comme un autre : il donne la solution 0, que l'on oublie souvent.

Exercice 2 · Des carrés, avec ou sans solution

Énoncé. Résoudre x² = 49, puis 9x² − 16 = 0, puis x² + 5 = 1.

Correction. x² = 49 : les solutions sont 7 et −7.

9x² − 16 = (3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4). Donc 3x − 4 = 0 ou 3x + 4 = 0, et les solutions sont 4/3 et −4/3.

x² + 5 = 1 équivaut à x² = −4. Un carré est toujours positif ou nul : l'équation n'a aucune solution.

Exercice 3 · Une solution perdue en route

Énoncé. Pour résoudre (x − 2)² = 3(x − 2), un élève divise les deux membres par x − 2 et obtient x − 2 = 3, donc x = 5. a) Quelle solution a-t-il perdue, et pourquoi ? b) Résoudre correctement l'équation.

Correction. a) Diviser par x − 2 suppose x − 2 ≠ 0, c'est-à-dire x ≠ 2. Or x = 2 est solution : (2 − 2)² = 0 et 3 × (2 − 2) = 0. Il a perdu la solution 2.

b) (x − 2)² − 3(x − 2) = 0. Le facteur x − 2 est commun : (x − 2)[(x − 2) − 3] = 0, soit (x − 2)(x − 5) = 0. Donc x − 2 = 0 ou x − 5 = 0 : les solutions sont 2 et 5. Contrôle pour 5 : (5 − 2)² = 9 et 3 × (5 − 2) = 9.

Au lycée, la même propriété sert à étudier le signe d'un produit, puis à résoudre les équations du second degré ; la méthode générale, avec le discriminant, arrive en première.