Identités remarquables en 3e : les trois formules, lues dans les deux sens

Une identité remarquable est une égalité entre deux expressions, vraie quelles que soient les valeurs des lettres. Pour développer, on pourrait s'en passer et utiliser la double distributivité ; pour factoriser une expression sans facteur commun, comme x² − 64, on a besoin d'elles.

En 3e, à la rentrée 2026, le programme en vigueur est celui du cycle 4 de 2015 aménagé en 2018. Une seule identité y figure en toutes lettres : a² − b² = (a − b)(a + b). Les attendus de fin de 3e demandent de « factoriser une expression du type a² − b² » et de « développer des expressions du type (a + b)(a − b) », avec des exemples comme x² − 64 ou 4x² − 49. Les carrés (a + b)² et (a − b)² se développent en 3e par double distributivité ; ils peuvent y être donnés comme formules, sans que les attendus l'exigent.

Le nouveau programme de seconde, applicable à la rentrée 2026, range les trois identités parmi les automatismes, en développement et en factorisation. Les présentations académiques de ce programme précisent que, pendant les années de transition, (a + b)² et (a − b)² sont à travailler en seconde. Un élève qui les connaît dès la 3e arrive donc en avance.

D'où viennent les trois égalités

Chacune se démontre avec la double distributivité, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b², puisque ba = ab.

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Le terme b² est positif : (−b) × (−b) = b².

(a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b². Les deux termes en ab s'annulent, c'est pour cela qu'il ne reste que deux carrés.

Pour a et b positifs, la première se voit sur un carré de côté a + b, que la figure ci-dessous découpe en quatre morceaux.

La figure : le carré de côté a + b, morceau par morceau

On trace d'abord le grand carré, de côté a + b, dont l'aire vaut (a + b)². Deux traits le partagent en quatre. Le carré bleu, de côté a, s'allume : son aire est a². Puis les deux rectangles dorés, de côtés a et b, l'un après l'autre : ce sont les deux ab, ceux que l'élève oublie quand il écrit a² + b². Le petit carré vert, b², complète le découpage, et l'égalité s'écrit à droite, (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². La dernière étape remplace les lettres par a = 5 et b = 2 : 7² = 49 et 25 + 10 + 10 + 4 = 49, alors que 25 + 4 ne fait que 29.

Développer : repérer a et b avant d'écrire

La méthode tient en une règle : nommer a et b, puis remplacer. Dans (3x − 5)², a = 3x et b = 5. Alors a² = (3x)² = 9x², 2ab = 2 × 3x × 5 = 30x et b² = 25. Le carré porte sur tout 3x, coefficient compris.

Exemple 1 · Trois développements, dont un piège de signe

Énoncé. Développer et réduire A = (3x − 5)², B = (2x + 7)(2x − 7) et C = (x + 4)² − (x − 1)².

Rédaction. A = (3x)² − 2 × 3x × 5 + 5² = 9x² − 30x + 25.

B = (2x)² − 7² = 4x² − 49.

C = (x² + 8x + 16) − (x² − 2x + 1) = x² + 8x + 16 − x² + 2x − 1 = 10x + 15. Les parenthèses autour du second développement sont obligatoires : le signe moins change le signe de chacun des trois termes.

Factoriser : reconnaître la forme développée

Pour factoriser, on lit les identités de droite à gauche. Une différence de deux carrés se repère en écrivant chaque terme comme un carré : 49x² − 16 = (7x)² − 4² = (7x − 4)(7x + 4). Le carré peut être une expression entière, comme (x + 2)² − 9 = (x + 2 − 3)(x + 2 + 3) = (x − 1)(x + 5), ou un nombre qui n'est pas un carré parfait : x² − 13 = (x − √13)(x + √13).

Pour reconnaître a² + 2ab + b², on cherche deux carrés, puis on vérifie le terme du milieu. x² + 10x + 25 contient x² et 5², et 2 × x × 5 = 10x : c'est (x + 5)². Si le double produit ne correspond pas, l'identité ne s'applique pas.

Exemple 2 · Factoriser, puis s'en servir

Énoncé. Factoriser D = 25x² − 36, E = (2x + 1)² − 16 et F = x² − 6x + 9.

Rédaction. D = (5x)² − 6² = (5x − 6)(5x + 6).

E = (2x + 1)² − 4² = (2x + 1 − 4)(2x + 1 + 4) = (2x − 3)(2x + 5).

F contient x² et 3², et 2 × x × 3 = 6x, avec un signe moins : F = (x − 3)².

La forme factorisée sert à résoudre E = 0 : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc 2x − 3 = 0 ou 2x + 5 = 0, c'est-à-dire x = 1,5 ou x = −2,5. La méthode complète est dans l'article sur l'équation produit nul.

Calculer de tête avec les identités

Les identités servent aussi en calcul mental, parce qu'un carré proche d'un nombre rond se calcule sans poser l'opération. 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201. 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801. 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2 500 − 1 = 2 499. Et 2 027² − 2 026² = (2 027 − 2 026)(2 027 + 2 026) = 4 053.

Les erreurs sur les identités remarquables qui coûtent des points

• (a + b)² = a² + b². Le contre-exemple tient en une ligne : (3 + 4)² = 49, alors que 3² + 4² = 25.
• Le double produit écrit ab au lieu de 2ab.
• (3x)² écrit 3x² : le carré doit porter sur le coefficient.
• (x − 5)² = x² − 10x − 25 : le dernier terme d'un carré est toujours positif.
• Un moins devant un carré développé sans parenthèses, comme dans l'exemple 1.
• a² + b² « factorisé » en (a + b)(a − b), qui vaut a² − b².

Trois exercices corrigés sur les identités remarquables

Exercice 1 · Développer avec la bonne identité

Énoncé. Développer et réduire G = (x + 6)², H = (4x − 1)² et K = (5 + 3x)(5 − 3x).

Correction. G = x² + 2 × x × 6 + 36 = x² + 12x + 36. H = (4x)² − 2 × 4x × 1 + 1 = 16x² − 8x + 1. K = 5² − (3x)² = 25 − 9x².

Exercice 2 · Factoriser, du plus simple au plus caché

Énoncé. Factoriser L = 81 − 4x², M = x² + 14x + 49 et N = (3x − 2)² − (x + 4)².

Correction. L = 9² − (2x)² = (9 − 2x)(9 + 2x). M = x² + 2 × x × 7 + 7² = (x + 7)².

N est une différence de deux carrés avec a = 3x − 2 et b = x + 4. N = [(3x − 2) − (x + 4)][(3x − 2) + (x + 4)] = (3x − 2 − x − 4)(3x − 2 + x + 4) = (2x − 6)(4x + 2). On peut aller plus loin : 2x − 6 = 2(x − 3) et 4x + 2 = 2(2x + 1), donc N = 4(x − 3)(2x + 1).

Exercice 3 · Un programme de calcul qui donne toujours 12 fois le nombre

Énoncé. On choisit un nombre. On calcule le carré de ce nombre augmenté de 3, puis on lui soustrait le carré de ce nombre diminué de 3. a) Tester avec 2,5. b) Démontrer que le résultat est toujours 12 fois le nombre de départ.

Correction. a) (2,5 + 3)² − (2,5 − 3)² = 5,5² − (−0,5)² = 30,25 − 0,25 = 30, et 12 × 2,5 = 30.

b) Notons x le nombre choisi. Le résultat est (x + 3)² − (x − 3)² = (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9) = 12x. On peut aussi lire une différence de deux carrés : [(x + 3) − (x − 3)][(x + 3) + (x − 3)] = 6 × 2x = 12x. Le test du a) ne démontre rien : seul le calcul avec x vaut pour tous les nombres.