Signe d'un trinôme du second degré : la règle du signe de a, démontrée et appliquée

Trinôme ou fonction polynôme du second degré (le mot du programme) désignent la même expression ax² + bx + c, a ≠ 0. Étudier son signe, c'est dire pour quels x elle est positive, négative ou nulle ; la règle tient en une phrase : signe de a, sauf entre les racines. Elle s'inscrit dans le chapitre sur le second degré en première, et utilise le discriminant Δ = b² − 4ac.

Le cas Δ < 0 donne une information forte, pas une absence de réponse : un trinôme sans racine garde le signe de a sur tout ℝ.

Pourquoi le signe de a gouverne tout

La démonstration utilise les deux écritures obtenues dans le chapitre : la forme factorisée quand elle existe, la forme canonique sinon.

Cas Δ > 0. Pour tout réel x, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) avec x₁ < x₂. Le facteur x − x₁ est négatif pour x < x₁ et positif pour x > x₁ ; de même pour x − x₂. Le produit (x − x₁)(x − x₂) est donc positif quand x est à l'extérieur de [x₁ ; x₂], puisque les deux facteurs ont alors le même signe, et négatif quand x₁ < x < x₂, puisqu'ils sont de signes contraires. En multipliant par a, on obtient la règle.

x	−∞		x₁		x₂		+∞
x − x₁		−	0	+		+
x − x₂		−		−	0	+
(x − x₁)(x − x₂)		+	0	−	0	+

Cas Δ = 0. f(x) = a(x − x₀)², et un carré est positif, nul seulement en x₀.

Cas Δ < 0. La forme canonique s'écrit f(x) = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)]. Comme Δ < 0, le nombre −Δ/(4a²) est strictement positif, donc le crochet est la somme d'un carré et d'un nombre strictement positif : il est strictement positif pour tout x. f(x) a le signe de a.

Le tableau de signes, rédigé dans l'ordre

1. Écrire a, b, c, calculer Δ en détaillant.
2. Selon le signe de Δ, donner les racines ou dire qu'il n'y en a pas.
3. Ranger les racines dans l'ordre croissant. Quand a < 0, la formule (−b − √Δ)/(2a) donne la plus grande des deux : on ne se fie pas aux indices, on compare les valeurs.
4. Écrire la phrase qui justifie : « a = … est négatif, donc f(x) est du signe de a, soit négatif, à l'extérieur des racines, et positif entre elles. »
5. Dresser le tableau : les racines sur la ligne des x, les zéros sous les racines, les signes dans chaque intervalle.
6. Conclure par une phrase ou par des intervalles, selon la question.

Si l'expression est déjà factorisée, l'étape 1 est inutile. Le programme range le signe d'une expression factorisée du second degré parmi les automatismes de première : le tableau à deux lignes de facteurs ci-dessus suffit.

Trois études de signe corrigées

Un trinôme à a négatif : f(x) = −2x² + 2x + 12

a = −2, b = 2, c = 12. Δ = 2² − 4 × (−2) × 12 = 4 + 96 = 100 > 0.

Les racines sont (−2 − 10)/(−4) = 3 et (−2 + 10)/(−4) = −2. Rangées dans l'ordre : −2 < 3.

a = −2 < 0, donc f(x) est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

x	−∞		−2		3		+∞
f(x)		−	0	+	0	−

f(x) > 0 pour x ∈ ]−2 ; 3[, f(x) < 0 pour x ∈ ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[. Contrôle : f(0) = 12 > 0, et 0 est bien entre −2 et 3.

Une racine double : g(x) = 4x² − 4x + 1

Δ = 16 − 16 = 0. La racine double est x₀ = 4/8 = 1/2. On reconnaît d'ailleurs g(x) = (2x − 1)².

a = 4 > 0, donc g(x) > 0 pour tout x ≠ 1/2, et g(1/2) = 0 : une seule valeur sur la ligne des x, un + de chaque côté du zéro.

Un trinôme sans racine dans un produit : p(x) = (x − 4)(x² + 2x + 5)

Pour x² + 2x + 5 : Δ = 4 − 20 = −16 < 0 et a = 1 > 0, donc x² + 2x + 5 > 0 pour tout réel x.

p(x) a donc le signe de x − 4 : p(x) < 0 sur ]−∞ ; 4[, p(4) = 0, p(x) > 0 sur ]4 ; +∞[.

Le facteur sans racine ne compte pas dans le signe, mais il faut écrire pourquoi ; c'est la forme que prennent souvent les dérivées en terminale.

Ce que montre la figure du signe d'un trinôme

La figure trace la parabole de f(x) = −2x² + 2x + 12, le premier exemple, puis marque les racines, colore la zone positive, indique les zones négatives et termine par la bande des signes. Comme a = −2 est négatif, la parabole est tournée vers le bas, de sommet (1/2 ; 12,5). Elle coupe l'axe des abscisses en −2 et en 3 ; entre ces racines, la zone colorée montre la courbe au-dessus de l'axe, f(x) > 0 ; à l'extérieur, elle passe dessous. La bande des signes reproduit la ligne du tableau : −, 0, +, 0, −. La règle du signe de a revient à dire qu'une parabole tournée vers le bas n'est au-dessus de l'axe qu'entre ses deux points d'intersection avec lui.

Où les points se perdent

• « + entre les racines » appris comme un dessin, quel que soit a : juste si a > 0, faux si a < 0. La phrase sur le signe de a doit figurer sur la copie.
• Les racines dans le désordre : avec a < 0, (−b − √Δ)/(2a) est la plus grande, et placer 3 avant −2 donne un tableau absurde.
• « Δ < 0 donc f(x) < 0 » : Δ < 0 dit seulement que f garde le signe de a ; x² + 2x + 5 a un discriminant négatif et ne prend que des valeurs positives.
• Les zéros absents du tableau : on ne sait plus si les inégalités sont strictes ou larges, et les crochets d'une inéquation du second degré deviennent faux.
• Les signes recopiés de la calculatrice sans Δ ni racines : la lecture graphique sert de contrôle, pas de preuve.

Trois exercices corrigés sur le signe d'un trinôme

Exercice 1 · Étudier le signe de f(x) = x² − 5x + 4 sur ℝ.

a = 1, b = −5, c = 4. Δ = 25 − 16 = 9 > 0.

Racines : (5 − 3)/2 = 1 et (5 + 3)/2 = 4.

a = 1 > 0 : f(x) est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

f(x) > 0 sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]4 ; +∞[, f(x) < 0 sur ]1 ; 4[, f(1) = f(4) = 0.

Exercice 2 · Montrer que pour tout réel x, −3x² + x − 1 < 0.

a = −3, b = 1, c = −1. Δ = 1 − 4 × (−3) × (−1) = 1 − 12 = −11 < 0.

Le trinôme n'a pas de racine réelle, donc il est du signe de a pour tout réel x. Comme a = −3 < 0, on a −3x² + x − 1 < 0 pour tout x ∈ ℝ.

Attention au calcul de 4ac : 4 × (−3) × (−1) = 12, positif, que l'on retranche.

Exercice 3 · Déterminer les réels m pour lesquels x² − 2mx + m + 2 > 0 pour tout réel x.

Le trinôme a pour coefficients a = 1, b = −2m, c = m + 2. Comme a = 1 > 0, il est strictement positif sur ℝ si et seulement s'il n'a pas de racine réelle, c'est-à-dire si et seulement si Δ < 0. (Si Δ ≥ 0, il s'annule en au moins un point, donc il n'est pas strictement positif partout.)

Δ = (−2m)² − 4(m + 2) = 4m² − 4m − 8 = 4(m² − m − 2).

On étudie le signe de m² − m − 2, trinôme en m : son discriminant vaut 1 + 8 = 9, ses racines sont (1 − 3)/2 = −1 et (1 + 3)/2 = 2. Son coefficient dominant est positif, donc m² − m − 2 < 0 si et seulement si −1 < m < 2.

Conclusion : x² − 2mx + m + 2 > 0 pour tout réel x si et seulement si m ∈ ]−1 ; 2[.

L'exercice utilise deux fois la règle, sur deux variables différentes. La difficulté est de ne pas les confondre : la première porte sur x, la seconde sur m.