Somme et produit des racines d'un trinôme : −b/a, c/a et tout ce qu'on en tire sans calculer Δ

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 place la somme et le produit des racines dans le chapitre du second degré et demande de factoriser « en diversifiant les stratégies », dont la détection des racines par leur somme et leur produit : un devoir surveillé peut l'exiger. Les relations ne valent que si les racines existent : pour x² + x + 1, la formule donnerait S = −1 et P = 1, mais Δ = −3 < 0 et il n'y a aucune racine réelle. Pour une équation unitaire x² + bx + c = 0, la somme vaut −b et le produit c.

Pourquoi −b/a et c/a

Par les formules de résolution. Si Δ ≥ 0, les racines sont x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a). En les additionnant, les racines carrées s'annulent : x₁ + x₂ = −2b/(2a) = −b/a. Pour le produit, on reconnaît une identité remarquable : x₁x₂ = ((−b)² − (√Δ)²)/(4a²) = (b² − Δ)/(4a²) = (b² − b² + 4ac)/(4a²) = 4ac/(4a²) = c/a.

Par la forme factorisée. Si x₁ et x₂ sont les racines, le cours donne, pour tout réel x, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). En développant : f(x) = ax² − a(x₁ + x₂)x + a x₁x₂. En comparant avec ax² + bx + c, on obtient b = −a(x₁ + x₂) et c = a x₁x₂, d'où les deux formules en divisant par a. Cette preuve utilise que deux trinômes égaux pour tout x ont les mêmes coefficients (on le justifie en prenant x = 0, puis deux autres valeurs) ; elle sert aussi en sens inverse.

Quatre usages en devoir surveillé

La racine évidente, puis l'autre sans Δ

Si a + b + c = 0, alors f(1) = 0 : 1 est racine. La seconde se déduit du produit, x₂ = c/a. De même, si a − b + c = 0, alors f(−1) = 0 et la seconde racine vaut −c/a. On teste aussi 2, −2, 1/2 quand les coefficients s'y prêtent.

Factoriser de tête un trinôme unitaire

Pour x² − 5x − 14, on cherche deux nombres de produit −14 et de somme 5 : 7 et −2. Donc x² − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2). Le produit négatif dit que les deux nombres sont de signes contraires ; on vérifie en développant. C'est ce qui permet d'étudier le signe d'un trinôme ou une inéquation du second degré sans recalculer Δ.

Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Si u + v = s et uv = p, alors pour tout x, (x − u)(x − v) = x² − sx + p. Les nombres u et v sont donc les racines de x² − sx + p = 0, et réciproquement. Deux tels réels existent si et seulement si s² − 4p ≥ 0. C'est l'outil des rectangles dont on connaît le périmètre et l'aire (exercice 2).

Connaître le signe des racines sans les calculer

Si P = c/a < 0, alors a et c sont de signes contraires, donc Δ = b² − 4ac > 0 : il y a deux racines, et elles sont de signes contraires. Si Δ ≥ 0 et P > 0, les racines ont le même signe, celui de S. Les expressions symétriques se calculent aussi sans les racines : x₁² + x₂² = S² − 2P, 1/x₁ + 1/x₂ = S/P (si P ≠ 0), (x₁ − x₂)² = S² − 4P.

Trois cas traités jusqu'à la conclusion

Exemple 1 · Résoudre 2x² − 7x + 5 = 0

On a a = 2, b = −7, c = 5 et a + b + c = 2 − 7 + 5 = 0, donc 2 × 1² − 7 × 1 + 5 = 0 : 1 est solution. Le produit des racines vaut c/a = 5/2, et 1 × x₂ = 5/2 donne la seconde racine, x₂ = 5/2. Contrôle par la somme : 1 + 5/2 = 7/2 = −b/a. L'ensemble des solutions est S = {1 ; 5/2}, et 2x² − 7x + 5 = 2(x − 1)(x − 5/2) = (x − 1)(2x − 5).

Exemple 2 · Sans calculer les racines de 3x² − 5x − 4

Le produit c/a = −4/3 est strictement négatif, donc a et c sont de signes contraires, Δ > 0, et le trinôme a deux racines x₁ et x₂ de signes contraires. On a S = 5/3 et P = −4/3. Alors x₁² + x₂² = S² − 2P = 25/9 + 8/3 = 49/9, et 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (5/3)/(−4/3) = −5/4. Contrôle possible avec Δ = 25 + 48 = 73 et les racines (5 ± √73)/6, au prix de bien plus de calcul.

Exemple 3 · Une racine égale au double de l'autre

Déterminer m pour que l'une des racines de x² − 6x + m = 0 soit le double de l'autre. On cherche deux racines x₁ et x₂ = 2x₁. La somme donne x₁ + 2x₁ = 6, donc x₁ = 2 et x₂ = 4. Le produit donne m = x₁x₂ = 8. Il reste à vérifier que pour m = 8 l'équation a bien ces racines. x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4), c'est le cas. Sans cette vérification, on n'a démontré qu'une condition nécessaire.

Ce que montre la parabole

La figure trace f(x) = 2x² − 7x + 5, puis place les racines, l'axe de symétrie et le sommet, enfin le point d'ordonnée c sur l'axe des ordonnées. La courbe coupe l'axe des abscisses en ses racines 1 et 2,5. La droite verticale en pointillés est l'axe de symétrie de la parabole, d'équation x = 1,75. L'abscisse du sommet vaut −b/(2a) = 7/4 = S/2 : la somme des racines est le double de l'abscisse du sommet, les deux racines étant symétriques par rapport à l'axe. Le produit se lit ailleurs : la courbe coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée f(0) = c = 5, et c = a × P = 2 × 2,5.

Les erreurs sur la somme et le produit des racines qui coûtent des points

• S et P utilisés sans s'être assuré que les racines existent : Δ ≥ 0, un produit c/a négatif ou une racine trouvée d'abord.
• S = b/a au lieu de −b/a, d'où (x + 7)(x − 2) au lieu de (x − 7)(x + 2) ; le développement de contrôle l'évite.
• Un trinôme non unitaire traité comme unitaire : pour 2x² − 7x + 5, la somme des racines vaut 7/2, pas 7. On divise par a d'abord, ou on applique −b/a et c/a.
• « 1 est racine évidente » sans le calcul de f(1) écrit.
• Le coefficient a oublié : 2x² − 7x + 5 n'est pas (x − 1)(x − 5/2), mais son double.
• Une condition nécessaire présentée comme une réponse, sans la vérification de la réciproque dans les exercices à paramètre.

Trois exercices corrigés sur la somme et le produit des racines

Exercice 1 · Factoriser x² + 4x − 21 sans calculer de discriminant

On cherche deux nombres de somme −4 et de produit −21. Le produit est négatif, donc ils sont de signes contraires ; parmi les couples de produit −21, le couple 3 et −7 a pour somme −4. Donc x² + 4x − 21 = (x − 3)(x + 7).

Vérification : (x − 3)(x + 7) = x² + 7x − 3x − 21 = x² + 4x − 21. Les racines du trinôme sont 3 et −7.

Exercice 2 · Racine évidente, puis un rectangle

a) Résoudre 5x² + 3x − 8 = 0. On a 5 + 3 − 8 = 0, donc 5 × 1² + 3 × 1 − 8 = 0 et 1 est solution. Le produit des racines vaut −8/5, donc l'autre solution est −8/5. S = {−8/5 ; 1}. Contrôle : 1 − 8/5 = −3/5 = −b/a.

b) Résoudre 7x² + 2x − 5 = 0. On a a − b + c = 7 − 2 − 5 = 0, donc 7 × (−1)² + 2 × (−1) − 5 = 0 et −1 est solution. L'autre vaut (−5/7)/(−1) = 5/7. S = {−1 ; 5/7}.

c) Un rectangle a un périmètre de 46 cm et une aire de 120 cm². Ses dimensions L et ℓ vérifient L + ℓ = 23 et Lℓ = 120 : ce sont les solutions de x² − 23x + 120 = 0. Δ = 529 − 480 = 49, d'où x = (23 − 7)/2 = 8 ou x = (23 + 7)/2 = 15. Le rectangle mesure 15 cm sur 8 cm.

d) Existe-t-il un rectangle de périmètre 20 cm et d'aire 30 cm² ? Il faudrait deux réels de somme 10 et de produit 30, solutions de x² − 10x + 30 = 0. Or Δ = 100 − 120 = −20 < 0 : aucun rectangle ne convient.

Exercice 3 · Deux racines qui diffèrent de 1

Déterminer les réels m pour lesquels l'équation x² − mx + 12 = 0 admet deux solutions dont la différence vaut 1.

Supposons que l'équation ait deux solutions x₁ < x₂ avec x₂ − x₁ = 1. On a S = m et P = 12, donc (x₂ − x₁)² = S² − 4P = m² − 48. La condition donne m² − 48 = 1, soit m² = 49, donc m = 7 ou m = −7.

Réciproquement, pour m = 7 : x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4), de solutions 3 et 4, qui diffèrent de 1. Pour m = −7 : x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4), de solutions −4 et −3, qui diffèrent aussi de 1. Les valeurs cherchées sont m = −7 et m = 7.

La réciproque n'est pas une formalité : elle garantit que Δ = m² − 48 est bien positif pour ces valeurs, ce que l'on a utilisé implicitement en parlant de x₁ et x₂.