Inéquation du second degré : la résoudre sans perdre un intervalle ni un crochet

Le programme de spécialité de première applicable à la rentrée 2026 range les inéquations dans une capacité : choisir la forme adaptée d'un trinôme (développée, canonique ou factorisée) pour résoudre un problème, « équation, inéquation, optimisation, variations ». Toute la résolution repose sur le signe d'un trinôme du second degré ; la vue d'ensemble est dans l'article sur le second degré en première. On les retrouve dès qu'une dérivée est un trinôme.

La propriété dont tout découle

Soit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0, et Δ = b² − 4ac.

• Si Δ > 0, f a deux racines x₁ < x₂. Pour x < x₁ ou x > x₂, f(x) est du signe de a ; pour x₁ < x < x₂, f(x) est du signe de −a.
• Si Δ = 0, f a une racine double x₀ = −b/(2a) ; f(x) est du signe de a pour tout x ≠ x₀, et f(x₀) = 0.
• Si Δ < 0, f(x) est du signe de a pour tout réel x.

La justification est courte quand Δ > 0. On écrit f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Entre les racines, x − x₁ > 0 et x − x₂ < 0, donc le produit (x − x₁)(x − x₂) est négatif et f(x) est du signe de −a. À l'extérieur, les deux facteurs ont le même signe, leur produit est positif, et f(x) est du signe de a. Pour Δ ≤ 0, on part de la forme canonique : f(x) = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)], et le crochet est positif ou nul.

La méthode en quatre temps

Premier temps : tout passer dans un membre pour obtenir 0 dans l'autre. On ne compare jamais deux expressions avec x des deux côtés. Deuxième temps : trouver les racines, par une factorisation directe si elle se voit (facteur commun, identité remarquable, somme et produit), sinon par le discriminant. Troisième temps : écrire le signe, en citant la règle ou par un tableau de signes. Quatrième temps : conclure par l'ensemble des solutions, en se demandant pour chaque borne si elle est solution.

Le choix des crochets se règle par une question simple. L'inégalité est-elle large (≥, ≤) ? Alors les racines, où le trinôme vaut 0, sont solutions et les crochets sont fermés de leur côté. Stricte (>, <) ? Alors on les exclut. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.

Trois inéquations résolues comme sur une copie

Exemple 1 · −2x² + 3x + 2 ≥ 0

On a a = −2, b = 3, c = 2, d'où Δ = 3² − 4 × (−2) × 2 = 9 + 16 = 25 > 0. Les racines sont x₁ = (−3 − 5)/(−4) = 2 et x₂ = (−3 + 5)/(−4) = −1/2. Le trinôme est du signe de a, donc négatif, à l'extérieur des racines, et positif entre elles. Il s'annule en −1/2 et en 2, qui sont donc solutions. L'ensemble des solutions est S = [−1/2 ; 2].

Attention à l'ordre : avec a < 0, la formule (−b − √Δ)/(2a) donne la plus grande racine. On range les racines avant d'écrire l'intervalle.

La figure trace la courbe de f(x) = −2x² + 3x + 2, puis marque les racines −1/2 et 2, colore la zone où f(x) ≥ 0 et pose enfin le segment des solutions. Comme a = −2 < 0, la parabole est tournée vers le bas : au-dessus de l'axe entre les racines, en dessous à l'extérieur. Le segment doré sur l'axe des abscisses est [−1/2 ; 2] ; ses deux points aux bornes sont pleins parce que l'inégalité est large. Pour f(x) > 0, on retirerait ces deux points : ]−1/2 ; 2[.

Exemple 2 · x² < 3x + 10

On se ramène à 0 : x² < 3x + 10 équivaut à x² − 3x − 10 < 0. Deux nombres de somme 3 et de produit −10 se trouvent de tête, 5 et −2, donc x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2). Le trinôme a pour coefficient a = 1 > 0 : il est négatif strictement entre ses racines. L'inégalité étant stricte, on exclut −2 et 5. S = ]−2 ; 5[.

Exemple 3 · Les cas où Δ ne donne pas deux racines

Pour x² − 6x + 9 > 0 : on reconnaît (x − 3)². Un carré est positif ou nul, et il est nul seulement pour x = 3. Donc (x − 3)² > 0 pour tout x ≠ 3, et S = ℝ ∖ {3} = ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[. La même inéquation avec ≤ 0 aurait pour ensemble de solutions {3}, un seul point.

Pour 2x² + x + 1 ≤ 0 : Δ = 1 − 8 = −7 < 0, donc le trinôme est du signe de a = 2 pour tout réel x, strictement positif. Il n'est jamais négatif ou nul : S = ∅. La réponse dépend du sens de l'inégalité, pas seulement de Δ.

Comparer deux courbes

La position relative d'une parabole et d'une droite, par exemple P : y = x² et D : y = x + 2, se ramène à une inéquation : P est en dessous de D pour les x tels que x² ≤ x + 2, soit x² − x − 2 ≤ 0. Les racines −1 et 2 (somme 1, produit −2) donnent x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2), négatif entre ses racines. Conclusion : P est en dessous de D sur ]−1 ; 2[, au-dessus sur ]−∞ ; −1[ et sur ]2 ; +∞[, et les deux courbes se coupent en (−1 ; 1) et (2 ; 4). Le correcteur attend les points d'intersection, pas seulement l'intervalle. Pour deux fonctions quelconques, on étudie de même le signe de f(x) − g(x).

Les réflexes qui faussent un résultat juste

• Diviser par x : dans x² > 4x, simplifier donne x > 4 et perd les solutions négatives. On factorise : x(x − 4) > 0, S = ]−∞ ; 0[ ∪ ]4 ; +∞[.
• Prendre la racine des deux membres : de x² > 4, on ne déduit pas x > 2, puisque −3 convient. (x − 2)(x + 2) > 0 donne S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[.
• Lire a dans le désordre : dans 5 + 4x − x², le coefficient de x² est −1 ; on réécrit −x² + 4x + 5 d'abord.
• Écrire « et » ou ∩ pour des solutions « x < 0 ou x > 4 » : c'est une réunion, ∪.
• Oublier une valeur interdite dans un quotient : elle n'est jamais solution, même si l'inégalité est large.

Trois exercices corrigés sur les inéquations du second degré

Exercice 1 · Deux inéquations, puis un produit à développer

a) 3x² − 12 ≤ 0. On factorise : 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2). Le trinôme, de coefficient 3 > 0, est négatif ou nul entre ses racines −2 et 2, bornes comprises. S = [−2 ; 2].

b) x² − x − 6 > 0. Deux nombres de somme 1 et de produit −6 : 3 et −2. Donc x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), positif strictement à l'extérieur des racines. S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.

c) (2x − 1)(x + 3) ≥ x² + 5x. On développe : 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. L'inéquation équivaut à 2x² + 5x − 3 − x² − 5x ≥ 0, soit x² − 3 ≥ 0, c'est-à-dire (x − √3)(x + √3) ≥ 0. Le trinôme est positif ou nul à l'extérieur des racines, bornes comprises. S = ]−∞ ; −√3] ∪ [√3 ; +∞[.

Exercice 2 · Pour quelles valeurs de m deux solutions distinctes ?

On considère l'équation x² + mx + 4 = 0, d'inconnue x, où m est un réel. Elle admet deux solutions distinctes si et seulement si son discriminant est strictement positif : Δ = m² − 16 > 0.

On résout cette inéquation du second degré d'inconnue m : m² − 16 = (m − 4)(m + 4), trinôme en m de coefficient 1 > 0, strictement positif à l'extérieur de ses racines −4 et 4. L'équation a deux solutions distinctes si et seulement si m ∈ ]−∞ ; −4[ ∪ ]4 ; +∞[.

Pour m = 4 ou m = −4, elle a une seule solution (x = −2 ou x = 2) ; pour −4 < m < 4, elle n'en a aucune.

Exercice 3 · Une inéquation avec un quotient

Résoudre dans ℝ ∖ {2} l'inéquation (x² − 4x + 3)/(x − 2) ≤ 0.

Le numérateur se factorise de tête : 1 est racine évidente (1 − 4 + 3 = 0), et le produit des racines vaut 3, donc l'autre racine est 3. x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), positif à l'extérieur de [1 ; 3], négatif entre 1 et 3. Le dénominateur x − 2 est négatif pour x < 2 et positif pour x > 2.

Tableau de signes, par intervalles : sur ]−∞ ; 1[, numérateur positif et dénominateur négatif, quotient négatif ; sur ]1 ; 2[, numérateur négatif et dénominateur négatif, quotient positif ; sur ]2 ; 3[, numérateur négatif et dénominateur positif, quotient négatif ; sur ]3 ; +∞[, quotient positif. Le quotient est nul en 1 et en 3, et n'est pas défini en 2.

L'inégalité étant large, 1 et 3 sont solutions ; 2 est exclu. S = ]−∞ ; 1] ∪ ]2 ; 3].