Équation de droite en seconde : cartésienne ou réduite, et comment passer de l'une à l'autre

Au collège, une droite était la courbe d'une fonction affine. En seconde, la partie « Droites du plan » du programme applicable à la rentrée 2026 la décrit par une équation et par un vecteur directeur, ce qui permet aussi de traiter les droites verticales. Le chapitre s'appuie sur la colinéarité et le déterminant vus dans l'article sur les vecteurs en seconde. Le vecteur normal et le produit scalaire viennent ensuite, en première, dans l'article sur l'équation cartésienne d'une droite.

Vecteur directeur et équation cartésienne

Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur non nul u⃗ = AB^→, où A et B sont deux points distincts de d. Tout vecteur non nul colinéaire à u⃗ dirige aussi d.

Propriété. Dans un repère, toute droite admet une équation de la forme ax + by + c = 0, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Réciproquement, pour tous réels a, b, c avec (a ; b) ≠ (0 ; 0), l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 est une droite, de vecteur directeur u⃗(−b ; a).

Démonstration par le déterminant (au programme). Soit d la droite passant par A(x_A ; y_A) et dirigée par u⃗(α ; β) non nul. Un point M(x ; y) appartient à d si et seulement si AM^→(x − x_A ; y − y_A) et u⃗ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si det(AM^→, u⃗) = 0 :

(x − x_A) β − α (y − y_A) = 0, soit βx − αy + (αy_A − βx_A) = 0.

C'est une équation ax + by + c = 0 avec a = β, b = −α et c = αy_A − βx_A ; (a ; b) ≠ (0 ; 0) puisque u⃗ ≠ 0⃗, et u⃗ = (−b ; a).

Réciproque : si b ≠ 0, le point A(0 ; −c/b) vérifie l'équation ; si b = 0, alors a ≠ 0 et A(−c/a ; 0) la vérifie. Dans les deux cas ax_A + by_A = −c, donc ax + by + c = a(x − x_A) + b(y − y_A) = det(AM^→, u⃗) avec u⃗(−b ; a). L'ensemble est donc la droite passant par A et dirigée par u⃗.

Une droite n'a pas une seule équation cartésienne : en multipliant ax + by + c = 0 par un réel non nul, on obtient une autre équation de la même droite. Deux copies peuvent donner x + 2y − 5 = 0 et −2x − 4y + 10 = 0 et être toutes deux justes.

Équation réduite, pente et ordonnée à l'origine

Si b ≠ 0, on isole y : y = (−a/b)x − c/b. La droite a alors une équation de la forme y = mx + p, et celle-ci est unique. Si b = 0, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées et son équation se ramène à x = k ; elle n'a pas d'équation réduite de la forme y = mx + p, et ce n'est pas la courbe d'une fonction.

Le nombre m est la pente, ou coefficient directeur ; p est l'ordonnée à l'origine, car le point (0 ; p) est sur la droite. Le vecteur u⃗(1 ; m) dirige la droite : quand on avance de 1, on monte de m (on descend si m < 0). Pour deux points distincts A et B de la droite, m = (y_B − y_A) / (x_B − x_A), la variation des ordonnées divisée par celle des abscisses.

Sur un graphique, on lit p à l'intersection avec l'axe des ordonnées, et m en choisissant deux points de la droite à coordonnées entières : on compte le déplacement horizontal, puis le vertical, et on divise.

Trouver une équation : trois points de départ

Le programme demande de déterminer une équation à partir de deux points, d'un point et d'un vecteur directeur, ou d'un point et de la pente. Avec deux points, on prend AB^→ comme vecteur directeur, ce qui ramène au deuxième cas. Avec un vecteur directeur, j'écris toujours la condition det(AM^→, u⃗) = 0, qui marche aussi pour une droite verticale. Avec la pente, on part de y = mx + p et on trouve p en remplaçant x et y par les coordonnées du point.

Exemple 1 · La droite passant par deux points

Énoncé. A(−1 ; 3) et B(3 ; 1). Déterminer une équation cartésienne, puis l'équation réduite de la droite (AB).

Rédaction. AB^→(4 ; −2) dirige (AB). M(x ; y) ∈ (AB) si et seulement si det(AM^→, AB^→) = 0, avec AM^→(x + 1 ; y − 3) :

(x + 1) × (−2) − 4 × (y − 3) = 0, soit −2x − 2 − 4y + 12 = 0, soit −2x − 4y + 10 = 0. En divisant par −2 : x + 2y − 5 = 0.

Contrôle. Pour B : 3 + 2 × 1 − 5 = 0. Équation réduite : 2y = −x + 5, donc y = −0,5x + 2,5. La pente −0,5 se retrouve par (1 − 3) / (3 − (−1)) = −2/4.

Parallèles ou sécantes, et le point d'intersection

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Pour deux droites données par leurs équations réduites y = mx + p et y = m′x + p′, cela revient à m = m′ ; elles sont alors confondues si de plus p = p′. Si m ≠ m′, elles sont sécantes, et les coordonnées du point d'intersection vérifient les deux équations : on résout mx + p = m′x + p′, puis on calcule y.

Exemple 2 · Intersection de (AB) avec d′ : y = 2x − 3

Énoncé. Justifier que (AB) et d′ sont sécantes et calculer les coordonnées de leur point d'intersection I.

Rédaction. (AB) a pour pente −0,5 et d′ pour pente 2. Les pentes sont différentes : les droites sont sécantes. Le point I(x ; y) vérifie y = −0,5x + 2,5 et y = 2x − 3, donc −0,5x + 2,5 = 2x − 3, soit 5,5 = 2,5x et x = 5,5 / 2,5 = 11/5. Alors y = 2 × 11/5 − 3 = 7/5. I(11/5 ; 7/5).

Contrôle dans l'équation cartésienne : 11/5 + 2 × 7/5 − 5 = 11/5 + 14/5 − 25/5 = 0.

La figure : de A et B jusqu'au point I

La figure reprend les deux exemples dans l'ordre de la copie. Les points A(−1 ; 3) et B(3 ; 1) apparaissent, puis la droite (AB) se trace avec son équation x + 2y − 5 = 0. Vient le vecteur directeur AB^→, en or, et en vert les déplacements +4 et −2 qui donnent la pente −2/4 = −0,5. Le point (0 ; 2,5) marque l'ordonnée à l'origine. La droite d′ d'équation y = 2x − 3 se trace ensuite, plus raide puisque sa pente vaut 2, et les pointillés situent le point d'intersection I(11/5 ; 7/5), soit (2,2 ; 1,4).

Les erreurs sur les équations de droite qui coûtent des points

• Inverser la pente : (x_B − x_A) / (y_B − y_A) au lieu de (y_B − y_A) / (x_B − x_A).
• Lire le vecteur directeur de ax + by + c = 0 comme (a ; b) : c'est (−b ; a). Le vecteur (a ; b) est normal à la droite, notion de première.
• Écrire « y = 3 » pour une droite verticale passant par (3 ; 0) : c'est x = 3.
• Conclure qu'une équation trouvée est fausse parce qu'elle diffère de celle du corrigé, sans voir qu'elles sont proportionnelles.
• Ne pas vérifier : remplacer les coordonnées des deux points dans l'équation obtenue prend quelques secondes et attrape la plupart des fautes de signe.

Trois exercices corrigés sur les équations de droite

Exercice 1 · Lire une équation cartésienne

Énoncé. d a pour équation 3x − 2y + 4 = 0. a) Donner un vecteur directeur de d, sa pente et son équation réduite. b) Les points E(0 ; 2), F(2 ; 5) et G(−2 ; −1) sont-ils alignés ?

Correction. a) Avec a = 3 et b = −2, u⃗(−b ; a) = (2 ; 3) dirige d. −2y = −3x − 4 donne y = 1,5x + 2 : pente 3/2, ordonnée à l'origine 2. Le vecteur (2 ; 3) est bien colinéaire à (1 ; 3/2).

b) 3 × 0 − 2 × 2 + 4 = 0, 3 × 2 − 2 × 5 + 4 = 0 et 3 × (−2) − 2 × (−1) + 4 = 0 : les trois points sont sur la droite d, donc alignés.

Exercice 2 · Un point et un vecteur directeur, puis une parallèle

Énoncé. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par C(2 ; −1) et dirigée par v⃗(3 ; −1). b) Déterminer une équation de la parallèle d₁ à d passant par D(−4 ; 5).

Correction. a) M(x ; y) ∈ d si et seulement si det(CM^→, v⃗) = 0, avec CM^→(x − 2 ; y + 1) : (x − 2) × (−1) − 3 × (y + 1) = 0, soit −x + 2 − 3y − 3 = 0, soit −x − 3y − 1 = 0. Une équation de d est x + 3y + 1 = 0. Contrôle : 2 + 3 × (−1) + 1 = 0.

b) d₁ a le même vecteur directeur, donc une équation de la forme x + 3y + c = 0. D ∈ d₁ donne −4 + 15 + c = 0, soit c = −11 : d₁ : x + 3y − 11 = 0.

Exercice 3 · Une droite qui dépend d'un paramètre

Énoncé. Pour tout réel m, d_m est la droite d'équation y = (m − 1)x + 2, et d′ la droite d'équation 6x − 2y + 1 = 0. a) Pour quelle valeur de m les droites d_m et d′ sont-elles parallèles ? Sont-elles alors confondues ? b) Pour m = 2, calculer les coordonnées du point d'intersection de d_m et d′.

Correction. L'équation réduite de d′ est y = 3x + 0,5.

a) d_m et d′ sont parallèles si et seulement si m − 1 = 3, soit m = 4. Les ordonnées à l'origine 2 et 0,5 sont différentes : les droites sont strictement parallèles.

b) Pour m = 2, d₂ : y = x + 2. On résout x + 2 = 3x + 0,5, soit 1,5 = 2x et x = 0,75, puis y = 2,75. Le point d'intersection est (3/4 ; 11/4). Contrôle dans d′ : 6 × 0,75 − 2 × 2,75 + 1 = 4,5 − 5,5 + 1 = 0.