Fonction affine en seconde : lire m et p, démontrer les variations, dresser le signe

Ce que la seconde ajoute au collège

En 3e, l'élève a appris à reconnaître une expression ax + b et à tracer sa droite. Le programme de seconde qui s'applique à la rentrée 2026 (arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026) note la fonction f(x) = mx + p et demande quatre choses de plus : interpréter m comme un taux d'accroissement et p comme l'ordonnée à l'origine, démontrer le sens de variation selon le signe de m (démonstration inscrite au programme), étudier le signe de mx + p, et s'en servir pour dresser le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient. Le cas p = 0, celui de la proportionnalité, est traité dans l'article sur la fonction linéaire.

m et p : les lire, les calculer

Pour tous réels a et b, f(b) − f(a) = (mb + p) − (ma + p) = m(b − a). Si a ≠ b, on divise par b − a : le taux d'accroissement de f entre a et b vaut m, quels que soient a et b. Concrètement, quand x augmente de 1, f(x) augmente de m ; quand x augmente de 4, f(x) augmente de 4m. C'est ce qui fait de la courbe une droite : on monte toujours de la même quantité pour le même pas.

Il en découle la méthode pour retrouver f à partir de deux valeurs f(x₁) et f(x₂), avec x₁ ≠ x₂ : on calcule m comme taux d'accroissement, puis on obtient p en remplaçant dans f(x₁) = mx₁ + p. Il y a toujours une seule fonction affine qui convient. Sur un graphique, p se lit sur l'axe des ordonnées et m en comptant, entre deux points de la droite, de combien on monte pour un pas horizontal donné.

Exemple 1 · La fonction affine qui passe par deux points

Énoncé. f est une fonction affine telle que f(2) = −1 et f(6) = 5. Déterminer f(x), puis le signe de f(x) selon les valeurs de x.

Rédaction. f est affine, donc il existe deux réels m et p tels que f(x) = mx + p pour tout réel x. Son coefficient directeur est m = (f(6) − f(2)) / (6 − 2) = (5 − (−1)) / 4 = 6/4 = 1,5. Puis f(2) = −1 donne 1,5 × 2 + p = −1, donc p = −4. Ainsi f(x) = 1,5x − 4. Contrôle : f(6) = 9 − 4 = 5.

Signe : 1,5x − 4 = 0 ⇔ x = 4 / 1,5 = 8/3. Comme m = 1,5 > 0, f(x) < 0 pour x < 8/3 et f(x) > 0 pour x > 8/3. Le tableau de signes a une seule ligne : « − », 0 sous 8/3, « + ».

La figure animée suit cette rédaction. Le point (0 ; −4) apparaît d'abord sur l'axe des ordonnées : c'est p. La droite se trace ensuite à partir de lui. Les points A(2 ; −1) et B(6 ; 5) se placent sur la droite, puis le déplacement de A vers B se dessine en deux temps, 4 unités vers la droite puis 6 vers le haut, et le quotient m = 6/4 = 1,5 s'affiche. Pour finir, le point x = 8/3 s'allume sur l'axe des abscisses et les deux zones se colorent : en rouge les x pour lesquels la droite est sous l'axe, f(x) < 0, en vert ceux pour lesquels elle est au-dessus.

Le sens de variation, démontré

Propriété. Soit f définie sur ℝ par f(x) = mx + p. Si m > 0, f est strictement croissante sur ℝ ; si m < 0, f est strictement décroissante sur ℝ ; si m = 0, f est constante.

Démonstration. Soient a et b deux réels tels que a < b. On a f(b) − f(a) = m(b − a), et b − a > 0. Le produit m(b − a) a donc le signe de m. Si m > 0, f(b) − f(a) > 0, soit f(a) < f(b) : f est strictement croissante. Si m < 0, f(a) > f(b) : f est strictement décroissante. Si m = 0, f(b) = f(a) pour tous a et b : f est constante, égale à p.

La règle de signe en découle sans calcul supplémentaire. Si m > 0, f est croissante et s'annule en x₀ = −p/m : pour x < x₀, f(x) < f(x₀) = 0, et pour x > x₀, f(x) > 0. Si m < 0, les inégalités se retournent. D'où la formule à retenir : à droite de la racine, le signe de m.

Inéquations et tableaux de signes

Une inéquation mx + p > k se résout comme une équation, avec une seule règle de plus : diviser ou multiplier les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. C'est la traduction algébrique de la décroissance de x ↦ mx quand m < 0.

Exemple 2 · Une inéquation avec un coefficient négatif

Énoncé. g est définie sur ℝ par g(x) = −2x + 3. Résoudre g(x) ≤ 7, puis donner le signe de g(x).

Rédaction. −2x + 3 ≤ 7 ⇔ −2x ≤ 4 ⇔ x ≥ 4 / (−2), car on divise par −2 < 0 ; donc x ≥ −2. L'ensemble des solutions est [−2 ; +∞[. Contrôle : g(−2) = 7, et g est décroissante, donc g(x) ≤ 7 exactement pour x ≥ −2.

Signe : g(x) = 0 ⇔ x = 3/2. Comme m = −2 < 0, g(x) > 0 pour x < 3/2 et g(x) < 0 pour x > 3/2.

Pour un produit ou un quotient de facteurs affines, on dresse un tableau : une ligne par facteur, avec sa racine et son signe donné par la règle ci-dessus, les racines rangées dans l'ordre croissant sur la première ligne, puis une dernière ligne obtenue par la règle des signes. Pour un quotient, la racine du dénominateur est une valeur interdite : on la marque d'une double barre dans la dernière ligne et elle ne figure jamais dans l'ensemble des solutions. L'exercice 2 applique cette méthode.

Les erreurs sur la fonction affine qui coûtent des points

• Le taux d'accroissement écrit à l'envers, (x_B − x_A) / (y_B − y_A), ou avec les deux points mélangés : y_B − y_A au numérateur impose x_B − x_A au dénominateur, dans le même ordre.
• La racine écrite p/m au lieu de −p/m. Je fais toujours résoudre mx + p = 0 ligne par ligne plutôt que réciter la formule.
• Diviser par un nombre négatif sans changer le sens de l’inégalité.
• « f est croissante car p > 0 » : le sens de variation dépend de m seul ; p ne fait que déplacer la droite vers le haut ou le bas.
• Dans un tableau de signes, des racines rangées dans le désordre, ou une valeur interdite gardée dans les solutions d'une inéquation quotient.
• Des valeurs approchées (2,67 pour 8/3) dans un tableau de signes : la racine doit être exacte.

Trois exercices corrigés sur la fonction affine

Exercice 1 · Deux images, puis sens de variation et signe

Énoncé. f est affine, avec f(−1) = 4 et f(3) = −4. a) Déterminer f(x). b) Donner le sens de variation de f et le signe de f(x). c) Le point P(5 ; −8) appartient-il à la droite représentant f ?

Correction. a) m = (f(3) − f(−1)) / (3 − (−1)) = (−4 − 4) / 4 = −2. Puis f(−1) = 4 donne −2 × (−1) + p = 4, soit p = 2. Donc f(x) = −2x + 2.

b) m = −2 < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ. f(x) = 0 ⇔ x = 1 ; f(x) > 0 pour x < 1 et f(x) < 0 pour x > 1.

c) f(5) = −10 + 2 = −8 : P appartient à la droite.

Exercice 2 · Tableau de signes d'un produit, puis d'un quotient

Énoncé. a) Résoudre dans ℝ l'inéquation (2x − 6)(−x + 1) ≥ 0. b) En déduire les solutions de (2x − 6) / (−x + 1) ≥ 0.

Correction. a) 2x − 6 s'annule en 3 et, son coefficient 2 étant positif, il est négatif avant 3 et positif après. −x + 1 s'annule en 1 et, son coefficient −1 étant négatif, il est positif avant 1 et négatif après. On range 1 puis 3 sur la première ligne du tableau. Pour x < 1 : (−) × (+), le produit est négatif. Pour 1 < x < 3 : (−) × (−), il est positif. Pour x > 3 : (+) × (−), il est négatif. Il est nul en 1 et en 3. Les solutions forment l'intervalle [1 ; 3].

b) Le quotient a le même signe que le produit, mais il n'est pas défini en x = 1, qui annule le dénominateur : double barre sous 1. Les solutions forment ]1 ; 3].

Exercice 3 · Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit

Énoncé. La température en degrés Fahrenheit est une fonction affine T de la température x en degrés Celsius. L'eau gèle à 0 °C, soit 32 °F, et bout à 100 °C, soit 212 °F. a) Déterminer T(x) et interpréter le coefficient directeur. b) Convertir 37 °C. c) Pour quelle température les deux échelles affichent-elles le même nombre ? d) À partir de quelle température Celsius la température Fahrenheit devient-elle négative ?

Correction. a) p = T(0) = 32 et m = (212 − 32) / (100 − 0) = 180/100 = 1,8. Donc T(x) = 1,8x + 32 : chaque degré Celsius de plus ajoute 1,8 degré Fahrenheit.

b) T(37) = 66,6 + 32 = 98,6 °F.

c) T(x) = x ⇔ 1,8x + 32 = x ⇔ 0,8x = −32 ⇔ x = −40. À −40 degrés, les deux échelles coïncident.

d) T(x) < 0 ⇔ 1,8x < −32 ⇔ x < −32 / 1,8 = −160/9, soit environ −17,8 °C. Comme m > 0, T est négative exactement en dessous de cette valeur.

Le passage inverse, d'une droite tracée ou donnée par deux points à son équation réduite y = mx + p, avec les vecteurs directeurs, est traité dans l'article sur l'équation de droite en seconde.