Fonction linéaire : f(x) = ax, une droite qui passe par l'origine (cours de 3e et exercices)

En 3e, à la rentrée 2026, on applique toujours le programme du cycle 4 aménagé en 2018 et 2020, avec les attendus de fin d'année de 2019 : représenter graphiquement une fonction linéaire, modéliser une situation de proportionnalité, utiliser le lien entre pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur. Le nouveau programme de cycle 4 (Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026) n'atteindra la 3e qu'à la rentrée 2028.

La définition et le coefficient a

Définition. Soit a un nombre fixé. La fonction f qui, à tout nombre x, associe le nombre ax est appelée fonction linéaire de coefficient a. On écrit f : x ↦ ax, ou f(x) = ax.

Pour la reconnaître, on simplifie son expression : elle doit s'écrire « un nombre fois x », sans rien ajouter. Ainsi f(x) = −3x, g(x) = x/4 (coefficient 1/4) et h(x) = 2(x + 5) − 10, qui se réduit à 2x, sont linéaires ; k(x) = 3x + 1 (affine) et m(x) = x² ne le sont pas. Le coefficient peut être négatif, décimal, fractionnaire, ou nul : x ↦ 0 est linéaire.

Pour tout x ≠ 0, f(x) / x = ax / x = a : le quotient de l'image par l'antécédent est constant, c'est le coefficient de proportionnalité. D'où la méthode : si f est linéaire et f(x₀) connu avec x₀ ≠ 0, alors a = f(x₀) / x₀. Un seul couple suffit ; pour une fonction affine, il en faudra deux. La formule redonne aussi les règles du tableau de proportionnalité : f(x + x′) = f(x) + f(x′) et f(kx) = k × f(x).

Exemple 1 · Trouver le coefficient, puis une image et un antécédent

Énoncé. f est une fonction linéaire telle que f(6) = −9. Déterminer son expression, puis calculer l'image de 4 et l'antécédent de 12.

Rédaction. f est linéaire, donc il existe un nombre a tel que f(x) = ax pour tout x. Comme f(6) = −9, on a 6a = −9, donc a = −9/6 = −1,5. Ainsi f(x) = −1,5x.

Image de 4 : f(4) = −1,5 × 4 = −6.

Antécédent de 12 : on cherche x tel que f(x) = 12, soit −1,5x = 12, donc x = 12 / (−1,5) = −8. Vérification : f(−8) = −1,5 × (−8) = 12. L'antécédent de 12 par f est −8.

Tracer la droite : l'origine et un deuxième point

Propriété. Dans un repère, la représentation graphique de f : x ↦ ax est la droite qui passe par l'origine O et par le point de coordonnées (1 ; a).

Justification, dans le cas a > 0 : pour deux points M(x ; ax) et N(x′ ; ax′) de la courbe, avec x et x′ positifs, et leurs projetés H(x ; 0) et K(x′ ; 0), on a HM / OH = KN / OK = a. Les triangles rectangles OHM et OKN ont leurs côtés de l'angle droit proportionnels, donc ils sont semblables, les angles en O sont égaux, et M, N sont sur la même demi-droite issue de O : c'est la configuration de Thalès vue dans l'autre sens.

Pour tracer, on place O, puis un second point bien choisi : celui d'abscisse 1 si a est simple, sinon un point d'ordonnée entière. Un troisième point, calculé à part, sert de contrôle. Quand on avance de 1 vers la droite, on monte de a (on descend si a < 0) : la droite monte si a > 0, descend si a < 0, et se confond avec l'axe des abscisses si a = 0.

Exemple 2 · Retrouver la fonction à partir de sa droite

Énoncé. La droite d représentée dans un repère passe par l'origine et par le point A(3 ; 2). Justifier que d représente une fonction linéaire f, donner f(x), puis calculer f(4,5) et l'antécédent de −4.

Rédaction. La droite d passe par l'origine et n'est pas l'axe des ordonnées, donc elle représente une fonction linéaire f : x ↦ ax. Le point A(3 ; 2) appartient à d, donc f(3) = 2, soit 3a = 2 et a = 2/3. Ainsi f(x) = (2/3)x.

f(4,5) = (2/3) × 4,5 = 9/3 = 3. Antécédent de −4 : (2/3)x = −4, donc x = −4 × 3/2 = −6.

La figure suit cette construction. On place l'origine et le point A(3 ; 2), puis la droite (OA) se trace, prolongée des deux côtés : c'est la courbe de f tout entière, x négatifs compris. Apparaît alors le chemin en escalier de O à A, « on avance de 3, on monte de 2 », puis sa version réduite, « on avance de 1, on monte de 2/3 », qui fait voir le coefficient. Enfin les pointillés partent de l'abscisse 4,5, montent jusqu'à la droite et rejoignent l'axe des ordonnées en 3 : on lit f(4,5) = 3.

Pourcentages : chaque évolution est une fonction linéaire

Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par 1 + t/100, la diminuer de t %, à la multiplier par 1 − t/100. L'évolution est donc la fonction linéaire x ↦ (1 + t/100)x ou x ↦ (1 − t/100)x, dont le coefficient est le coefficient multiplicateur. Deux hausses successives de 10 % donnent x ↦ 1,1 × 1,1x = 1,21x, soit une hausse de 21 % et non de 20 %. La suite se traite en seconde, dans l'article sur le pourcentage d'évolution.

Exemple 3 · Des soldes à −30 %

Énoncé. Pendant les soldes, un magasin baisse tous ses prix de 30 %. On note p(x) le prix soldé d'un article qui coûtait x euros. Exprimer p(x). Calculer le prix soldé d'un article à 85 €, puis le prix initial d'un article soldé 42 €.

Rédaction. Baisser de 30 % revient à multiplier par 1 − 30/100 = 0,7, donc p(x) = 0,7x : p est la fonction linéaire de coefficient 0,7.

p(85) = 0,7 × 85 = 59,5. L'article coûte 59,50 € soldé.

On cherche x tel que 0,7x = 42, donc x = 42 / 0,7 = 60. L'article coûtait 60 €. Ajouter 30 % à 42 € donnerait 54,60 €, ce qui est faux : on ne remonte pas une baisse en ajoutant le même pourcentage, on divise par le coefficient.

Linéaire ou affine : le test de la valeur 0

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b ; une fonction linéaire est le cas b = 0. Toute fonction linéaire est affine, la réciproque est fausse : la droite d'une fonction affine coupe l'axe des ordonnées en (0 ; b) et ne passe par l'origine que si b = 0. Dans un problème, on se demande : si la quantité de départ vaut 0, le résultat vaut-il 0 ? Un tarif de 2,40 € par entrée donne 0 € pour 0 entrée, c'est linéaire ; un abonnement de 20 € plus 1,20 € par entrée donne 20 €, c'est affine. La suite est dans l'article sur la fonction affine.

Les erreurs sur la fonction linéaire qui coûtent des points

• Calculer le coefficient à l'envers : avec f(6) = −9, écrire a = 6 / (−9) au lieu de a = f(x) / x = −9/6.
• Confondre image et antécédent : l'image de 12 se calcule, f(12) ; l'antécédent de 12 se cherche en résolvant f(x) = 12.
• Tracer une droite qui ne passe pas par l'origine, à cause d'un point mal calculé : le passage par O est un contrôle gratuit.
• Croire qu'une fonction linéaire est toujours croissante : avec a = −1,5, elle décroît.
• Arrondir le coefficient : avec 0,67 au lieu de 2/3, on obtient 0,67 × 4,5 = 3,015 au lieu de 3.

Trois exercices corrigés sur la fonction linéaire

Exercice 1 · Image, antécédent, point sur la droite

Énoncé. f est la fonction définie par f(x) = −4x. a) Calculer l'image de −2,5. b) Déterminer l'antécédent de 18. c) Le point B(−3 ; 12) appartient-il à la représentation graphique de f ? Et C(2 ; 8) ?

Correction. a) f(−2,5) = −4 × (−2,5) = 10.

b) On résout −4x = 18, donc x = 18 / (−4) = −4,5. L'antécédent de 18 est −4,5.

c) f(−3) = −4 × (−3) = 12, qui est bien l'ordonnée de B : B appartient à la droite. f(2) = −8 ≠ 8 : C n'appartient pas à la droite.

Exercice 2 · Une fonction linéaire connue par une seule image

Énoncé. g est une fonction linéaire telle que g(−5) = 7. a) Déterminer g(x). b) Calculer g(10). c) Déterminer l'antécédent de 21. d) Le point D(2,5 ; −3,5) est-il sur la droite représentant g ?

Correction. a) g est linéaire, donc g(x) = ax. g(−5) = 7 donne −5a = 7, soit a = 7 / (−5) = −1,4. Ainsi g(x) = −1,4x.

b) g(10) = −1,4 × 10 = −14. On peut aussi utiliser g(kx) = k g(x) : 10 = −2 × (−5), donc g(10) = −2 × 7 = −14.

c) −1,4x = 21, donc x = 21 / (−1,4) = −15.

d) g(2,5) = −1,4 × 2,5 = −3,5 : D est sur la droite.

Exercice 3 · Tarif à l'entrée ou abonnement ?

Énoncé. Une piscine propose deux tarifs. Tarif A : 2,40 € l'entrée. Tarif B : un abonnement annuel de 20 €, puis 1,20 € l'entrée. On note x le nombre d'entrées dans l'année. a) Exprimer le prix A(x) et le prix B(x). Laquelle de ces fonctions est linéaire ? b) Calculer les prix pour 10 entrées. c) À partir de combien d'entrées le tarif B devient-il le plus avantageux ?

Correction. a) A(x) = 2,4x et B(x) = 1,2x + 20. A est linéaire (le prix est proportionnel au nombre d'entrées) ; B est affine mais pas linéaire, puisque B(0) = 20 ≠ 0.

b) A(10) = 24 € et B(10) = 12 + 20 = 32 € : pour 10 entrées, le tarif A est moins cher.

c) On cherche x tel que B(x) < A(x) : 1,2x + 20 < 2,4x, soit 20 < 1,2x, donc x > 20 / 1,2 ≈ 16,67. Comme x est un nombre entier d'entrées, le tarif B est plus avantageux à partir de 17 entrées. Vérification : A(16) = 38,40 € et B(16) = 39,20 € ; A(17) = 40,80 € et B(17) = 40,40 €.