Forme exponentielle d'un nombre complexe : produits, puissances, Euler et Moivre

Cette notion relève de l'option maths expertes de terminale, partie « Nombres complexes et trigonométrie » du programme de 2019. Elle prolonge l'article sur le module et l'argument : la forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) y était déjà, il manquait la règle qui fait de l'argument d'un produit une somme.

Les formules d'addition, par le produit scalaire

Le programme demande d'établir les formules d'addition à partir du produit scalaire et d'en démontrer une. Dans un repère orthonormé, soit u⃗(cos a ; sin a) et v⃗(cos b ; sin b), deux vecteurs unitaires tels que (i⃗, u⃗) = a et (i⃗, v⃗) = b. Par la relation de Chasles, (v⃗, u⃗) = a − b [2π].

En coordonnées, u⃗ · v⃗ = cos a cos b + sin a sin b. Avec la définition par le cosinus, u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ ‖v⃗‖ cos(a − b) = cos(a − b). Donc, pour tous réels a et b :

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.

En remplaçant b par −b : cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. En utilisant sin x = cos(π/2 − x) : sin(a + b) = cos((π/2 − a) − b) = cos(π/2 − a) cos b + sin(π/2 − a) sin b = sin a cos b + cos a sin b. Avec a = b, on obtient les formules de duplication cos 2a = cos² a − sin² a = 2cos² a − 1 = 1 − 2sin² a et sin 2a = 2 sin a cos a. Le produit scalaire en coordonnées et avec le cosinus est traité dans l'article sur le produit scalaire.

La notation e^iθ et sa relation fonctionnelle

On pose, pour tout réel θ, e^iθ = cos θ + i sin θ. C'est le complexe de module 1 et d'argument θ, image du point associé à θ sur le cercle trigonométrique. Par exemple eⁱ⁰ = 1, e^iπ/2 = i et e^iπ = −1.

Relation fonctionnelle. Pour tous réels a et b, e^ia × e^ib = e^{i(a + b)}.

Preuve : (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = (cos a cos b − sin a sin b) + i(sin a cos b + cos a sin b) = cos(a + b) + i sin(a + b), d'après les formules d'addition.

C'est la propriété de l'exponentielle réelle, eˣ × eʸ = eˣ⁺ʸ, d'où le choix de la notation. On en déduit 1/e^iθ = e^−iθ = conj(e^iθ), et par récurrence (e^iθ)ⁿ = e^inθ pour tout entier n ≥ 0, puis pour tout n ∈ ℤ.

Pour z = re^iθ et z′ = r′e^iθ′, avec r, r′ > 0 : zz′ = rr′ e^{i(θ + θ′)}, z/z′ = (r/r′) e^{i(θ − θ′)}, zⁿ = rⁿ e^inθ et z̄ = re^−iθ. C'est la démonstration de arg(zz′) = arg z + arg z′ [2π]. Enfin re^iθ = r′e^iθ′ (r, r′ > 0) si et seulement si r = r′ et θ = θ′ [2π].

Euler et Moivre

En ajoutant puis en soustrayant e^iθ = cos θ + i sin θ et e^−iθ = cos θ − i sin θ, on obtient les formules d'Euler :

cos θ = (e^iθ + e^−iθ)/2 et sin θ = (e^iθ − e^−iθ)/(2i).

La relation (e^iθ)ⁿ = e^inθ, écrite avec cosinus et sinus, est la formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). Elle sert à exprimer cos(nθ) en fonction de cos θ : pour n = 3, on développe le membre de gauche par la formule du binôme, et la partie réelle donne cos 3θ = cos³ θ − 3cos θ sin² θ = 4cos³ θ − 3cos θ, en remplaçant sin² θ par 1 − cos² θ. Euler fait le chemin inverse : il transforme une puissance de cos θ en combinaison de cos(kθ), ce qu'on appelle linéariser.

Choisir la bonne forme

Pour une somme, la forme algébrique. Pour un produit, un quotient, une puissance, la forme exponentielle : on calcule module et argument de chaque facteur, puis on combine. Pour passer d'une forme à l'autre, on calcule r et θ comme dans l'article sur le module et l'argument, et dans l'autre sens on développe re^iθ = r cos θ + ir sin θ.

Exemple 1 · (1 + i)⁸ sans développer

|1 + i| = √2 et un argument est π/4, donc 1 + i = √2 e^iπ/4. Alors (1 + i)⁸ = (√2)⁸ e^i8π/4 = 16 e^i2π = 16.

Exemple 2 · Un quotient calculé de deux façons, pour obtenir cos(7π/12)

Énoncé. On pose Z = (1 + i)/(1 − i√3). Écrire Z sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. En déduire cos(7π/12) et sin(7π/12).

Rédaction. Forme algébrique : Z = (1 + i)(1 + i√3)/(1 + 3) = (1 + i√3 + i − √3)/4 = (1 − √3)/4 + i(1 + √3)/4.

Forme exponentielle : 1 + i = √2 e^iπ/4 et 1 − i√3 = 2e^−iπ/3 (module 2, cosinus 1/2, sinus −√3/2). Donc Z = (√2/2) e^{i(π/4 + π/3)} = (√2/2) e^i7π/12.

En identifiant les parties réelles et imaginaires : (√2/2) cos(7π/12) = (1 − √3)/4, donc cos(7π/12) = (1 − √3)/(2√2) = (√2 − √6)/4 ; de même sin(7π/12) = (√2 + √6)/4.

Exemple 3 · Linéariser cos³ θ pour intégrer

Énoncé. Linéariser cos³ θ, puis calculer I = ∫ cos³ θ dθ entre 0 et π/2.

Rédaction. Par Euler et le binôme, cos³ θ = (e^iθ + e^−iθ)³/8 = (e^3iθ + 3e^iθ + 3e^−iθ + e^−3iθ)/8. On regroupe : e^3iθ + e^−3iθ = 2cos 3θ et e^iθ + e^−iθ = 2cos θ. Donc cos³ θ = (cos 3θ + 3cos θ)/4.

Une primitive est θ ↦ sin(3θ)/12 + 3sin(θ)/4, d'où I = (sin(3π/2)/12 + 3sin(π/2)/4) − 0 = −1/12 + 3/4 = 2/3. Le calcul d'intégrale lui-même est dans l'article sur l'intégrale en terminale.

La figure : multiplier par 1 + i, quatre fois

La figure suit l'exemple 1 dans l'ordre des puissances. Le point d'affixe z⁰ = 1 apparaît d'abord, puis la flèche de z = 1 + i, de module √2, avec l'arc qui marque l'angle π/4. Chaque étape suivante multiplie par z : la flèche verte de z² = 2i est √2 fois plus longue et tournée de π/4 de plus, puis vient la rouge de z³ = −2 + 2i, de module 2√2 et d'argument 3π/4, et enfin la bleue de z⁴ = −4, sur l'axe des réels négatifs. Les arcs dorés s'ajoutent un à un : les arguments s'additionnent. Une spirale en pointillés relie enfin les quatre points, ce qui montre qu'une suite de puissances tourne et s'éloigne de O à la fois. En continuant, z⁸ = (z⁴)² = 16 retombe sur l'axe des réels positifs.

Où les copies dérapent

• −2e^iπ/3 présenté comme forme exponentielle : le module doit être strictement positif. Ce nombre vaut 2e^i4π/3.
• e^iπ/3 + e^iπ/6 = e^iπ/2 : les arguments s'additionnent pour un produit, jamais pour une somme.
• (re^iθ)ⁿ = re^inθ : le module aussi passe à la puissance n.
• Un argument final laissé à −1013π/3 au lieu d'être ramené dans ]−π ; π] quand l'énoncé demande l'argument principal.
• Dans une linéarisation, le facteur 1/2ⁿ oublié, ou le 2i de la formule de sin θ remplacé par 2.

Trois exercices corrigés sur la forme exponentielle

Exercice 1 · Passer d'une forme à l'autre

Énoncé. a) Écrire sous forme exponentielle −2, 3i et −1 − i. b) Écrire 4e^−iπ/6 sous forme algébrique.

Correction. a) −2 = 2e^iπ ; 3i = 3e^iπ/2 ; |−1 − i| = √2, cosinus et sinus valent −√2/2, donc −1 − i = √2 e^−3iπ/4.

b) 4e^−iπ/6 = 4cos(π/6) − 4i sin(π/6) = 2√3 − 2i.

Exercice 2 · Pour quels n la puissance est-elle réelle ?

Énoncé. a) Calculer (1 + i√3)⁶. b) Écrire w = √3 − i sous forme exponentielle. Déterminer les entiers n ≥ 1 tels que wⁿ soit réel, et calculer w⁶. c) Donner le module et l'argument principal de w²⁰²⁶.

Correction. a) 1 + i√3 = 2e^iπ/3, donc (1 + i√3)⁶ = 64e^i2π = 64.

b) |w| = 2, cos θ = √3/2, sin θ = −1/2, donc w = 2e^−iπ/6 et wⁿ = 2ⁿ e^−inπ/6. wⁿ est réel si et seulement si sin(−nπ/6) = 0, soit nπ/6 = kπ avec k ∈ ℤ, c'est-à-dire n multiple de 6. Le plus petit est n = 6 : w⁶ = 64e^−iπ = −64.

c) |w²⁰²⁶| = 2²⁰²⁶. Un argument est −2026π/6 = −1013π/3. Comme −1013π/3 + 338π = (−1013 + 1014)π/3 = π/3, l'argument principal est π/3 : w²⁰²⁶ = 2²⁰²⁶ e^iπ/3.

Exercice 3 · Résoudre z³ = 1

Énoncé. Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 1. Placer les solutions et calculer leur somme.

Correction. 0 n'est pas solution ; on cherche z = re^iθ avec r > 0. z³ = r³e^3iθ = 1 × eⁱ⁰ équivaut à r³ = 1 et 3θ = 0 [2π], soit r = 1 et θ = 2kπ/3, k ∈ ℤ. Trois valeurs distinctes de e^iθ : 1, j = e^2iπ/3 = −1/2 + i√3/2 et e^4iπ/3 = −1/2 − i√3/2. Leur somme vaut 1 − 1/2 − 1/2 + i(√3/2 − √3/2) = 0.

Les trois points sont sur le cercle de centre O et de rayon 1 et forment un triangle équilatéral de côté √3 : par exemple |1 − j| = |3/2 − i√3/2| = √(9/4 + 3/4) = √3. Les racines n-ièmes de l'unité généralisent ce cas dans la partie géométrique du programme.