Module et argument d'un nombre complexe : une longueur, un angle, et l'arctangente qui trompe

On est dans l'option maths expertes de terminale, partie « Nombres complexes : point de vue géométrique » du programme de 2019. Elle suppose acquis le calcul de l'article sur la forme algébrique et les valeurs du cercle trigonométrique. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u⃗, v⃗).

Le module, une distance

Si M a pour affixe z = a + ib, la distance OM vaut √(a² + b²) par le théorème de Pythagore : c'est |z|. Pour deux points A et B d'affixes a et b, le vecteur AB^→ a pour affixe b − a, donc AB = |b − a|. Ainsi |z − 2i| est la distance de M au point d'affixe 2i, et |z + 2| = |z − (−2)| sa distance au point d'affixe −2.

Pour un réel, le module est la valeur absolue, d'où la notation. Et |z| = 0 si et seulement si z = 0.

Trois démonstrations au programme.

1. |z|² = z z̄. Avec z = a + ib : z z̄ = (a + ib)(a − ib) = a² − i²b² = a² + b² = |z|².

2. |zz′| = |z| |z′|. D'après 1 et la règle conj(zz′) = z̄ z̄′ : |zz′|² = zz′ × conj(zz′) = z z̄ × z′ z̄′ = |z|² |z′|². Deux réels positifs de même carré sont égaux.

3. |zⁿ| = |z|ⁿ pour tout entier n ≥ 1, par récurrence à partir de 2 : |zⁿ⁺¹| = |zⁿ × z| = |zⁿ| |z| = |z|ⁿ⁺¹.

On en tire aussi |1/z| = 1/|z| et |z/z′| = |z|/|z′| pour z′ ≠ 0 (appliquer 2 à z′ × (1/z′) = 1). Le module ne se comporte pas aussi bien avec la somme : |z + z′| ≤ |z| + |z′| (inégalité triangulaire), et l'égalité n'a pas lieu en général. Pour z = 1 et z′ = i, |z + z′| = √2, alors que |z| + |z′| = 2.

L'ensemble 𝕌 des complexes de module 1 est le cercle de centre O et de rayon 1. D'après 2, il est stable par produit et par passage à l'inverse : si |z| = |z′| = 1, alors |zz′| = 1 et |1/z| = 1.

L'argument, un angle défini à 2π près

Pour z ≠ 0 d'image M, un argument de z est une mesure θ de l'angle orienté (u⃗, OM^→). Si θ en est une, les autres sont les θ + 2kπ, k ∈ ℤ ; on écrit arg(z) = θ [2π]. L'unique argument de ]−π ; π] s'appelle l'argument principal. Le nombre 0 n'a pas d'argument.

Le point de coordonnées (cos θ ; sin θ) est le point du cercle trigonométrique associé à θ, et M est sur la demi-droite qui le porte, à la distance r = |z| de O. Donc a = r cos θ et b = r sin θ, soit

z = r(cos θ + i sin θ), avec r = |z| > 0 : c'est la forme trigonométrique.

Réciproquement, si z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0, alors |z| = r et θ est un argument de z. La condition r > 0 compte : −2(cos π/6 + i sin π/6) n'est pas une forme trigonométrique. Comme −1 = cos π + i sin π, ce nombre vaut 2(cos 7π/6 + i sin 7π/6).

Lectures géométriques à connaître : arg(z̄) = −arg(z) [2π] (symétrie par rapport à l'axe réel), arg(−z) = arg(z) + π [2π] (symétrie de centre O), z est un réel strictement positif si et seulement si arg(z) = 0 [2π], un imaginaire pur non nul si et seulement si arg(z) = π/2 [π]. Pour le produit, arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) [2π] ; cette règle découle des formules d'addition, et elle est démontrée dans l'article sur la forme exponentielle. On en déduit arg(z/z′) = arg(z) − arg(z′) et arg(zⁿ) = n arg(z) [2π].

Calculer module et argument : la méthode et deux pièges

On calcule r = √(a² + b²), puis on écrit cos θ = a/r et sin θ = b/r, et l'on cherche dans les valeurs remarquables l'angle qui a ce cosinus et ce sinus. Les deux conditions sont nécessaires : le cosinus seul laisse deux angles opposés. Je fais placer le point grossièrement dans le plan avant tout calcul ; le quadrant donné par les signes de a et b sert de contrôle.

Exemple 1 · z = 1 + i√3

r = √(1 + 3) = 2. cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3 [2π]. Ainsi 1 + i√3 = 2(cos π/3 + i sin π/3).

Exemple 2 · z = −3 + 3i, et le piège de l'arctangente

r = √(9 + 9) = 3√2. cos θ = −3/(3√2) = −√2/2 et sin θ = 3/(3√2) = √2/2. Le cosinus est négatif et le sinus positif : M est dans le deuxième quadrant, θ = 3π/4 [2π]. Donc −3 + 3i = 3√2(cos 3π/4 + i sin 3π/4).

La formule « θ = arctan(b/a) » de certains formulaires donne ici arctan(−1) = −π/4, faux : l'arctangente ne renvoie que des angles de ]−π/2 ; π/2[ et ignore le quadrant dès que a < 0. Elle n'est d'ailleurs pas au programme de terminale ; cosinus et sinus suffisent.

Exemple 3 · Un triangle reconnu par un quotient

Énoncé. A, B, C ont pour affixes a = 1 + i, b = 4 + 2i, c = 4i. Calculer (c − a)/(b − a) et en déduire la nature du triangle ABC.

Rédaction. c − a = −1 + 3i et b − a = 3 + i. (c − a)/(b − a) = (−1 + 3i)(3 − i)/((3 + i)(3 − i)) = (−3 + i + 9i + 3)/10 = i.

Le module donne |c − a| / |b − a| = |i| = 1, soit AC = AB. L'argument donne (AB^→, AC^→) = arg((c − a)/(b − a)) = arg(i) = π/2 [2π]. Le triangle ABC est rectangle isocèle en A, avec AB = AC = √10.

Le lien entre l'argument de (c − a)/(b − a) et l'angle (AB^→, AC^→) relève de la partie « Utilisation des nombres complexes en géométrie » du même programme.

La figure : module, puis argument

La figure reprend l'exemple 1. Le point M(1 ; √3) apparaît d'abord avec ses projections sur les axes. Le segment OM se trace ensuite : sa longueur, 2, est le module. L'arc doré marque l'angle θ entre u⃗ et OM^→. Les segments rouge et vert font voir cos θ = 1/2 (l'abscisse divisée par 2) et sin θ = √3/2 (l'ordonnée divisée par 2), d'où θ = π/3. Le cercle de centre O et de rayon 2 se trace en dernier : tous ses points ont une affixe de module 2, et ce qui les distingue est leur argument. Module et argument repèrent donc un point comme une distance et une direction, là où la forme algébrique donne deux coordonnées.

Les erreurs sur le module et l'argument qui coûtent des points

• |a + ib| = √(a² + (ib)²) : le i entre dans le carré et donne a² − b². Le module se calcule avec la partie imaginaire b, réelle.
• |z + z′| = |z| + |z′| écrit comme une règle.
• Un argument trouvé avec le seul cosinus, ou par l'arctangente, dans le mauvais quadrant.
• Un « argument » donné pour 0.
• Une forme trigonométrique avec un coefficient négatif devant la parenthèse, ou r(cos θ − i sin θ) lu comme ayant pour argument θ (c'est −θ).
• arg(zz′) = arg z × arg z′, ou l'oubli du « [2π] » dans une égalité d'arguments.

Trois exercices corrigés sur le module et l'argument

Exercice 1 · Module et argument principal de trois nombres

Énoncé. Donner le module et l'argument principal de z₁ = −√3 − i, z₂ = −5i, z₃ = 4.

Correction. |z₁| = √(3 + 1) = 2, cos θ = −√3/2 et sin θ = −1/2 : troisième quadrant, θ = −5π/6.

|z₂| = 5 ; z₂ est un imaginaire pur de partie imaginaire négative : son image est sur la demi-droite des ordonnées négatives, θ = −π/2.

|z₃| = 4 ; z₃ est un réel strictement positif, θ = 0.

Exercice 2 · Produit, quotient, puissance, et une valeur exacte en prime

Énoncé. z = 1 − i et z′ = √3 + i. a) Donner module et argument de z et de z′. b) En déduire module et argument de zz′, de z/z′ et de z⁶. c) Écrire zz′ sous forme algébrique et en déduire cos(π/12).

Correction. a) |z| = √2, cos θ = √2/2 et sin θ = −√2/2, donc arg z = −π/4 [2π]. |z′| = 2, cos θ′ = √3/2 et sin θ′ = 1/2, donc arg z′ = π/6 [2π].

b) |zz′| = 2√2 et arg(zz′) = −π/4 + π/6 = −π/12 [2π]. |z/z′| = √2/2 et arg(z/z′) = −π/4 − π/6 = −5π/12 [2π]. |z⁶| = (√2)⁶ = 8 et arg(z⁶) = −6π/4 = −3π/2 = π/2 [2π] : z⁶ = 8i. Contrôle algébrique : z² = −2i, puis z⁶ = (−2i)³ = −8i³ = 8i.

c) zz′ = (1 − i)(√3 + i) = √3 + i − i√3 + 1 = (√3 + 1) + i(1 − √3). Par la forme trigonométrique, Re(zz′) = 2√2 cos(−π/12). Donc cos(π/12) = cos(−π/12) = (√3 + 1)/(2√2) = (√6 + √2)/4.

Exercice 3 · Deux ensembles de points écrits avec des modules

Énoncé. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que : a) |z − 2i| = |z + 2| ; b) |z − 1 + i| = 2.

Correction. a) Soit A d'affixe 2i et B d'affixe −2. L'égalité s'écrit MA = MB : M décrit la médiatrice de [AB]. En coordonnées, avec z = x + iy : x² + (y − 2)² = (x + 2)² + y² ⇔ −4y + 4 = 4x + 4 ⇔ y = −x. C'est la droite d'équation y = −x.

b) |z − 1 + i| = |z − (1 − i)|. C'est la distance de M au point Ω d'affixe 1 − i. L'ensemble est le cercle de centre Ω(1 ; −1) et de rayon 2, d'équation (x − 1)² + (y + 1)² = 4.