Matrices en maths expertes : le produit ligne par colonne, l'inverse et les puissances

Les matrices forment, avec les graphes, la troisième partie de l'option maths expertes de terminale (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019). Le programme demande de calculer l'inverse et les puissances d'une matrice carrée, et de s'en servir pour résoudre un système linéaire, étudier une suite récurrente, compter des chemins dans un graphe et étudier une chaîne de Markov. Dans cet article, une matrice s'écrit ligne par ligne entre parenthèses, les lignes séparées par un point-virgule : A = (1 2 ; 3 −1) a pour première ligne 1, 2 et pour seconde ligne 3, −1. Un coefficient écrit sous forme d'expression est placé entre crochets.

Un tableau de nombres et ses dimensions

Une matrice à n lignes et p colonnes est dite de dimension n × p. Son coefficient situé à la ligne i et à la colonne j se note aᵢⱼ : la ligne d'abord, la colonne ensuite. Une matrice ligne a une seule ligne, une matrice colonne une seule colonne, et une matrice carrée d'ordre n a n lignes et n colonnes. La matrice identité d'ordre n, notée Iₙ, est la matrice carrée qui a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs : I₂ = (1 0 ; 0 1).

Somme, multiplication par un réel, produit

La somme A + B n'existe que si A et B ont la même dimension ; on ajoute les coefficients de même position. Le produit kA par un réel k multiplie chaque coefficient par k.

Le produit AB d'une matrice A de dimension n × p par une matrice B de dimension p × q est la matrice de dimension n × q dont le coefficient (i ; j) vaut aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + … + aᵢₚbₚⱼ. Avant tout calcul, j'impose d'écrire les dimensions : (n × p)(p × q) donne n × q, et si les deux nombres du milieu diffèrent, le produit n'existe pas.

Exemple 1 · AB, BA et 2A − B

Énoncé. A = (1 2 ; 3 −1) et B = (2 0 ; 1 4). Calculer AB, BA et 2A − B.

Rédaction. Ligne 1 de A par colonne 1 de B : 1 × 2 + 2 × 1 = 4. Ligne 1 par colonne 2 : 1 × 0 + 2 × 4 = 8. Ligne 2 par colonne 1 : 3 × 2 + (−1) × 1 = 5. Ligne 2 par colonne 2 : 3 × 0 + (−1) × 4 = −4. Donc AB = (4 8 ; 5 −4). De même, BA = (2 4 ; 13 −2). Enfin 2A − B = (2 4 ; 6 −2) − (2 0 ; 1 4) = (0 4 ; 5 −6).

AB ≠ BA : le produit des matrices n'est pas commutatif. Il en découle que (A + B)² = A² + AB + BA + B², qui n'est égal à A² + 2AB + B² que si A et B commutent. Autre différence avec les réels : un produit peut être nul sans qu'aucun facteur ne le soit, (1 1 ; 1 1) × (1 −1 ; −1 1) = (0 0 ; 0 0). On ne simplifie donc jamais AB = AC en B = C sans savoir A inversible.

La figure reprend ce calcul de AB. A et B sont posées, la matrice AB est vide. À la première étape, la ligne 1 de A et la colonne 1 de B s'éclairent, le coefficient 4 s'inscrit en haut à gauche de AB et le calcul 1 × 2 + 2 × 1 s'écrit dessous. Les trois étapes suivantes font de même pour la ligne 1 et la colonne 2 (8), la ligne 2 et la colonne 1 (5), puis la ligne 2 et la colonne 2 (−4). Chaque coefficient garde la couleur du couple ligne-colonne qui l'a produit.

L'inverse d'une matrice carrée

Une matrice carrée A d'ordre n est inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n telle que AB = BA = Iₙ. B est alors unique, notée A⁻¹.

Cas 2 × 2. Pour A = (a b ; c d), on pose det(A) = ad − bc. Le calcul direct donne (a b ; c d) × (d −b ; −c a) = (ad − bc) I₂, et le même résultat dans l'autre ordre. Si ad − bc ≠ 0, A est inversible et A⁻¹ = (1/(ad − bc)) × (d −b ; −c a). Si ad − bc = 0, A n'est pas inversible : la matrice (2 6 ; 1 3), de déterminant 2 × 3 − 6 × 1 = 0, ne l'est pas. Le programme ne donne pas de formule pour l'ordre 3 ; on obtient l'inverse à la calculatrice, ou l'on vérifie un inverse donné par un produit.

Exemple 2 · Résoudre un système par AX = B

Énoncé. Résoudre le système 2x + y = 5 et x + 3y = 10.

Rédaction. Le système s'écrit MX = B avec M = (2 1 ; 1 3), X = (x ; y) et B = (5 ; 10). det(M) = 2 × 3 − 1 × 1 = 5 ≠ 0, donc M est inversible et M⁻¹ = (1/5) × (3 −1 ; −1 2). En multipliant à gauche par M⁻¹, MX = B équivaut à X = M⁻¹B = (1/5) × (3 × 5 − 10 ; −5 + 2 × 10) = (1 ; 3). Le système a une unique solution, x = 1 et y = 3, et l'on vérifie 2 × 1 + 3 = 5 et 1 + 3 × 3 = 10.

On multiplie à gauche, des deux côtés : écrire X = BM⁻¹ n'a pas de sens, le produit d'une colonne 2 × 1 par une matrice 2 × 2 n'existe pas.

Puissances et suites de matrices colonnes

Pour une matrice carrée A et n ∈ ℕ, on pose A⁰ = I et Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A. Une puissance se conjecture sur les premiers termes, puis se démontre par récurrence. Une matrice diagonale s'élève terme à terme : (a 0 ; 0 b)ⁿ = (aⁿ 0 ; 0 bⁿ). Quand l'énoncé fournit une matrice P inversible et une matrice diagonale D telles que A = PDP⁻¹, on obtient Aⁿ = PDⁿP⁻¹, car les produits P⁻¹P se simplifient au milieu.

Exemple 3 · Les puissances de T = (1 2 ; 0 1)

Énoncé. Calculer Tⁿ pour tout n ∈ ℕ.

Rédaction. T² = (1 4 ; 0 1), T³ = (1 6 ; 0 1). On conjecture Tⁿ = (1 2n ; 0 1) pour tout n ∈ ℕ. Initialisation : T⁰ = I = (1 0 ; 0 1). Hérédité : si Tⁿ = (1 2n ; 0 1), alors Tⁿ⁺¹ = Tⁿ × T = (1 2n ; 0 1) × (1 2 ; 0 1) = (1 [2 + 2n] ; 0 1) = (1 2(n + 1) ; 0 1). La propriété est vraie pour tout n.

Suites Uₙ₊₁ = AUₙ + C. Le programme les nomme dans ses contenus. La méthode reprend celle de la suite arithmético-géométrique, en matrices. On cherche une colonne L telle que L = AL + C, ce qui revient à résoudre (I − A)L = C. On pose Vₙ = Uₙ − L, et la soustraction des deux égalités donne Vₙ₊₁ = AVₙ, donc Vₙ = AⁿV₀. On conclut que Uₙ = Aⁿ(U₀ − L) + L. Les matrices d'adjacence et les chaînes de Markov, autres usages des puissances au programme, sont traitées dans l'article sur les graphes en maths expertes.

Les erreurs sur les matrices qui coûtent des points

• Un produit calculé coefficient par coefficient, comme une somme : (1 2 ; 3 −1) × (2 0 ; 1 4) écrit (2 0 ; 3 −4).
• BA à la place de AB, ou une identité remarquable appliquée à des matrices qui ne commutent pas.
• Une « division » par une matrice, ou une multiplication par M⁻¹ à droite d'un côté et à gauche de l'autre.
• L'inverse 2 × 2 écrit sans échanger a et d, ou sans changer le signe de b et c.
• Une formule de Aⁿ conjecturée sur trois termes et jamais démontrée.

S’entraîner : dimensions, puissance, suite couplée

Exercice 1 · Deux produits de dimensions différentes

Énoncé. A = (1 0 2 ; −1 3 1), de dimension 2 × 3, et B = (2 1 ; 0 −1 ; 1 4), de dimension 3 × 2. Calculer AB et BA. La somme A + B existe-t-elle ?

Correction. AB est de dimension 2 × 2 : AB = ([1 × 2 + 0 × 0 + 2 × 1] [1 × 1 + 0 × (−1) + 2 × 4] ; [−1 × 2 + 3 × 0 + 1 × 1] [−1 × 1 + 3 × (−1) + 1 × 4]) = (4 9 ; −1 0). BA est de dimension 3 × 3 : BA = (1 3 5 ; 1 −3 −1 ; −3 12 6). A + B n'existe pas, les dimensions diffèrent.

Exercice 2 · Une puissance par P D P⁻¹

Énoncé. A = (2 1 ; 0 3), P = (1 1 ; 0 1) et D = (2 0 ; 0 3). Montrer que P est inversible et calculer P⁻¹, vérifier que A = PDP⁻¹, puis exprimer Aⁿ en fonction de n et calculer A⁴.

Correction. det(P) = 1 ≠ 0, donc P est inversible et P⁻¹ = (1 −1 ; 0 1). PD = (2 3 ; 0 3), puis PDP⁻¹ = (2 [−2 + 3] ; 0 3) = (2 1 ; 0 3) = A.

Par récurrence, Aⁿ = PDⁿP⁻¹ : c'est vrai pour n = 0, et si Aⁿ = PDⁿP⁻¹, alors Aⁿ⁺¹ = PDⁿP⁻¹ × PDP⁻¹ = PDⁿ⁺¹P⁻¹. Avec Dⁿ = (2ⁿ 0 ; 0 3ⁿ), PDⁿ = (2ⁿ 3ⁿ ; 0 3ⁿ) et Aⁿ = (2ⁿ [3ⁿ − 2ⁿ] ; 0 3ⁿ). Pour n = 4 : A⁴ = (16 65 ; 0 81).

Exercice 3 · Deux suites couplées et leur limite

Énoncé. On pose x₀ = y₀ = 0 et, pour tout n ∈ ℕ, xₙ₊₁ = (1/2)xₙ + (1/4)yₙ + 1 et yₙ₊₁ = (1/2)yₙ + 2. a) Écrire Uₙ₊₁ = AUₙ + C avec Uₙ = (xₙ ; yₙ), et calculer U₁ et U₂. b) Trouver L telle que L = AL + C. c) On admet que Aⁿ = ((1/2)ⁿ [n(1/2)ⁿ⁺¹] ; 0 (1/2)ⁿ). En déduire xₙ et yₙ, puis leurs limites.

Correction. a) A = (1/2 1/4 ; 0 1/2) et C = (1 ; 2). U₁ = C = (1 ; 2), puis U₂ = AU₁ + C = (1/2 + 1/2 ; 1) + (1 ; 2) = (2 ; 3).

b) L = (a ; b) vérifie b = (1/2)b + 2, donc b = 4, puis a = (1/2)a + 1 + 1, donc a = 4 : L = (4 ; 4).

c) Vₙ = Uₙ − L vérifie Vₙ₊₁ = AVₙ, donc Uₙ = Aⁿ(U₀ − L) + L avec U₀ − L = (−4 ; −4). Le calcul donne xₙ = 4 − 4(1/2)ⁿ − 4n(1/2)ⁿ⁺¹ = 4 − (4 + 2n)/2ⁿ et yₙ = 4 − 4/2ⁿ. Comme 0 < 1/2 < 1, (1/2)ⁿ tend vers 0 ; par croissances comparées, n/2ⁿ tend aussi vers 0. Les deux suites convergent vers 4, les coordonnées de L.