Suite arithmético-géométrique : trouver la formule explicite par la suite auxiliaire

On la reconnaît à sa relation : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie par un nombre fixe a, puis on ajoute un nombre fixe b (uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 6, uₙ₊₁ = 1,05uₙ − 100). Si b = 0, la suite est géométrique ; si a = 1, arithmétique ; sinon aucune des deux formules du cours ne s'applique directement. Elle modélise un compte dont on retire une somme fixe, un réseau qui perd 10 % de ses abonnés et en gagne 150 par mois. Le programme de première 2026 formalise seulement les suites arithmétiques et géométriques (« aucune connaissance spécifique » sur les autres) mais demande de rechercher « une formule explicite pour une suite définie d'une autre façon » : l'énoncé donne alors en général la suite auxiliaire (« on pose vₙ = uₙ − 30 »). Dans les lycées exigeants et en terminale, il faut trouver ℓ seul. Voir aussi les suites en première.

Le nombre ℓ, point fixe de la relation

On cherche un nombre qui ne bouge pas quand on lui applique la relation : ℓ tel que ℓ = aℓ + b. Comme a ≠ 1, l'équation donne ℓ(1 − a) = b, donc ℓ = b/(1 − a).

Si la suite démarre à ℓ, elle reste constante ; sinon, c'est l'écart à ℓ qui se comporte bien. Graphiquement, ℓ est l'abscisse du point d'intersection de la droite y = ax + b avec la droite y = x, comme le montre la construction en escalier d'une suite définie par récurrence.

Pourquoi l'écart vₙ = uₙ − ℓ est géométrique

La démonstration tient en une ligne et s'écrit en entier sur la copie. Pour tout entier naturel n :

vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − ℓ = (a·uₙ + b) − (aℓ + b) = a·uₙ − aℓ = a(uₙ − ℓ) = a·vₙ.

On a remplacé ℓ par aℓ + b, ce qui est permis puisque c'est sa définition. La suite (vₙ) est donc géométrique de raison a et de premier terme v₀ = u₀ − ℓ. On en déduit vₙ = (u₀ − ℓ)·aⁿ, puis, puisque uₙ = vₙ + ℓ :

uₙ = (u₀ − ℓ)·aⁿ + ℓ pour tout entier naturel n.

Si la suite commence au rang 1, la même démarche donne uₙ = (u₁ − ℓ)·aⁿ⁻¹ + ℓ pour n ≥ 1.

L'écart à 30, rang après rang, sur la figure

La figure place les points de coordonnées (n ; uₙ) pour la suite définie par u₀ = 10 et uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 6, de n = 0 à n = 11. La droite y = 30 se trace d'abord, puis chacun des quatre premiers termes arrive avec son écart à 30, puis les termes suivants et la formule. Le point fixe ℓ = 6/(1 − 0,8) = 30 est tracé en pointillés. Les points montent, de plus en plus lentement, et restent sous la droite y = 30. Les segments dorés mesurent la distance de chacun des quatre premiers termes à 30 : 20, puis 16, puis 12,8, puis 10,24. Chaque écart vaut 0,8 fois le précédent. La suite n'est ni arithmétique ni géométrique, mais son écart à 30 l'est, d'où uₙ = 30 − 20 × 0,8ⁿ.

La rédaction attendue, sur deux exemples

Exemple 1. On considère la suite définie par u₀ = 10 et, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 6. On pose vₙ = uₙ − 30. Montrer que (vₙ) est géométrique, puis exprimer uₙ en fonction de n.

Pour tout entier naturel n, vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 30 = 0,8uₙ + 6 − 30 = 0,8uₙ − 24 = 0,8(uₙ − 30) = 0,8vₙ. La suite (vₙ) est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme v₀ = u₀ − 30 = −20. Ainsi, pour tout n, vₙ = −20 × 0,8ⁿ, et uₙ = vₙ + 30 = 30 − 20 × 0,8ⁿ.

Contrôle : u₁ = 0,8 × 10 + 6 = 14, et la formule donne 30 − 20 × 0,8 = 14. Puis u₂ = 17,2 dans les deux cas. Comme 0,8ⁿ diminue quand n augmente et que −20 est négatif, −20 × 0,8ⁿ augmente : la suite (uₙ) est croissante, et u₁₀ ≈ 27,85.

Exemple 2. Un compte rémunéré à 5 % par an contient 1 000 € au 1er janvier 2026. Chaque année, après le versement des intérêts, on retire 100 €. On note uₙ le solde au 1er janvier de l'année 2026 + n. Au bout de combien d'années le compte sera-t-il vide ?

On a u₀ = 1 000 et uₙ₊₁ = 1,05uₙ − 100 : u₁ = 950, u₂ = 897,50. Le point fixe vérifie ℓ = 1,05ℓ − 100, soit −0,05ℓ = −100 et ℓ = 2 000. On pose vₙ = uₙ − 2 000 ; pour tout n, vₙ₊₁ = 1,05uₙ − 100 − 2 000 = 1,05(uₙ − 2 000) = 1,05vₙ. La suite (vₙ) est géométrique de raison 1,05, de premier terme v₀ = −1 000, donc uₙ = 2 000 − 1 000 × 1,05ⁿ.

Le compte est vide quand uₙ ≤ 0, c'est-à-dire 1,05ⁿ ≥ 2. La fonction n ↦ 1,05ⁿ est croissante ; à la calculatrice, 1,05¹⁴ ≈ 1,980 et 1,05¹⁵ ≈ 2,079. On trouve u₁₄ ≈ 20,07 et u₁₅ ≈ −78,93 : le solde ne permet plus le retrait de la quinzième année. Le compte est épuisé en 15 ans. Le point fixe a un sens concret : avec 2 000 € au départ, les intérêts (100 €) compenseraient exactement le retrait.

Les erreurs sur les suites arithmético-géométriques qui coûtent des points

• uₙ = u₀ × aⁿ + b : avec l'exemple 1, u₁ = 14 semble juste, mais u₂ = 12,4 au lieu de 17,2. On vérifie la formule sur u₂, pas seulement sur u₁.
• vₙ = uₙ + ℓ au lieu de uₙ − ℓ. Si l'énoncé propose vₙ = uₙ + 3, c'est que ℓ = −3 : on le vérifie avant de commencer.
• « 0,8uₙ − 24 = 0,8vₙ » sans la factorisation 0,8(uₙ − 30) écrite.
• (vₙ) déclarée géométrique après avoir calculé v₁/v₀ et v₂/v₁ : il faut vₙ₊₁ pour n quelconque. Le quotient vₙ₊₁/vₙ suppose de plus vₙ ≠ 0, faux si u₀ = ℓ ; écrire vₙ₊₁ = a·vₙ évite de diviser.
• Oublier que a = 1 est exclu : pour uₙ₊₁ = uₙ + 4, ℓ = ℓ + 4 n'a pas de solution, la suite est arithmétique.

Trois exercices corrigés sur les suites arithmético-géométriques

Exercice 1 · uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3 avec u₀ = 2 : poser la suite auxiliaire et calculer u₁₀

On pose vₙ = uₙ − 6 (le point fixe vérifie ℓ = 0,5ℓ + 3, donc ℓ = 6). Pour tout entier naturel n, vₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3 − 6 = 0,5uₙ − 3 = 0,5(uₙ − 6) = 0,5vₙ. La suite (vₙ) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v₀ = 2 − 6 = −4.

Pour tout n, vₙ = −4 × 0,5ⁿ, donc uₙ = 6 − 4 × 0,5ⁿ. Vérification : u₁ = 0,5 × 2 + 3 = 4 et 6 − 4 × 0,5 = 4 ; u₂ = 5 dans les deux cas.

u₁₀ = 6 − 4/1 024 = 6 − 0,00390625 = 5,99609375.

Exercice 2 · Un réseau de 1 200 abonnés en perd 10 % par mois et en gagne 150 : quand dépasse-t-il 1 450 ?

On note uₙ le nombre d'abonnés après n mois : u₀ = 1 200 et uₙ₊₁ = 0,9uₙ + 150 (garder 90 % des abonnés revient à multiplier par 0,9). Ainsi u₁ = 1 230.

Point fixe : ℓ = 0,9ℓ + 150, donc 0,1ℓ = 150 et ℓ = 1 500. On pose vₙ = uₙ − 1 500 : vₙ₊₁ = 0,9uₙ + 150 − 1 500 = 0,9(uₙ − 1 500) = 0,9vₙ. La suite (vₙ) est géométrique de raison 0,9 et v₀ = −300. Donc uₙ = 1 500 − 300 × 0,9ⁿ.

uₙ > 1 450 équivaut à 300 × 0,9ⁿ < 50, soit 0,9ⁿ < 1/6 ≈ 0,1667. La suite (0,9ⁿ) est décroissante ; 0,9¹⁷ ≈ 0,1668 et 0,9¹⁸ ≈ 0,1501. Le seuil est franchi au 18e mois. Le cas est serré : u₁₇ ≈ 1 449,97, à trois centièmes de 1 450. C'est précisément là qu'une valeur arrondie trop tôt fait conclure à tort « 17 mois ».

Exercice 3 · uₙ₊₁ = −0,5uₙ + 3 avec u₀ = 0 : terme général, monotonie et somme des n + 1 premiers termes

Point fixe : ℓ = −0,5ℓ + 3, donc 1,5ℓ = 3 et ℓ = 2. Avec vₙ = uₙ − 2 : vₙ₊₁ = −0,5uₙ + 3 − 2 = −0,5(uₙ − 2) = −0,5vₙ. La suite (vₙ) est géométrique de raison −0,5, v₀ = −2, donc uₙ = 2 − 2 × (−0,5)ⁿ.

Les premiers termes valent 0 ; 3 ; 1,5 ; 2,25 ; 1,875. La raison étant négative, (−0,5)ⁿ change de signe à chaque rang : les termes passent alternativement au-dessus et au-dessous de 2. La suite n'est ni croissante ni décroissante. Les termes se rapprochent tout de même de 2, puisque |vₙ| = 2 × 0,5ⁿ diminue.

Somme : Sₙ = u₀ + u₁ + … + uₙ = 2(n + 1) − 2[1 + (−0,5) + … + (−0,5)ⁿ]. Par la formule de la somme géométrique, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) avec q = −0,5, d'où Sₙ = 2(n + 1) − (4/3)(1 − (−0,5)ⁿ⁺¹). Contrôle pour n = 3 : 8 − (4/3)(1 − 0,0625) = 8 − 1,25 = 6,75, et 0 + 3 + 1,5 + 2,25 = 6,75.