Probabilités en 3e : compter les issues, utiliser le contraire, réussir l'exercice du brevet

Une probabilité de 3e se calcule en comptant des issues : tout repose sur une liste d'issues juste et sur la raison pour laquelle elles ont la même chance de sortir.

Les probabilités au programme de 3e

En 3e, à la rentrée 2026, on applique encore le programme du cycle 4 aménagé en 2018 et 2020, avec les repères de progression et attendus de fin d'année de 2019 (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019). L'élève doit connaître le vocabulaire des probabilités, savoir qu'une probabilité est comprise entre 0 et 1, calculer « à partir de dénombrements » des probabilités pour des expériences « à une ou deux épreuves » (une seule en priorité, deux dans des cas très simples), et relier la stabilisation des fréquences à la probabilité.

Pour deux épreuves, les repères de 3e précisent que les dénombrements « s'appuient alors uniquement sur des tableaux à double entrée, la notion d'arbre ne figurant pas au programme ». L'outil attendu est donc le tableau ; les arbres pondérés viennent au lycée. Le nouveau programme de cycle 4 (arrêté du 18 février 2026, Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026) ne s'appliquera en 3e qu'à la rentrée 2028.

Issues, événements et événement contraire

On lance un dé équilibré à six faces. C'est une expérience aléatoire : on connaît les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir lequel sortira. Ces résultats, 1, 2, 3, 4, 5 et 6, sont les issues. Le dé étant équilibré, elles ont toutes la probabilité 1/6 : on parle d'équiprobabilité.

Un événement est réalisé par certaines issues. « Obtenir un nombre pair » l'est par 2, 4 et 6. « Obtenir 7 » ne l'est par aucune : événement impossible, de probabilité 0. « Obtenir au plus 6 » l'est par toutes : événement certain, de probabilité 1. L'événement contraire de A, noté « non A » (ou Ā), est réalisé exactement par les issues qui ne réalisent pas A.

Pourquoi P(non A) = 1 − P(A). Avec n issues équiprobables dont k réalisent A, les n − k autres réalisent non A, et aucune ne réalise les deux. Donc P(non A) = (n − k)/n = 1 − k/n = 1 − P(A). L'égalité reste vraie sans équiprobabilité, car la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Elle sert surtout pour « au moins un… », dont le contraire, « aucun… », se compte plus facilement.

Exemple 1 · Une urne

Énoncé. Un sac contient 5 boules rouges, 3 vertes et 2 bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge, puis celle de ne pas tirer une boule bleue.

Rédaction. Le sac contient 5 + 3 + 2 = 10 boules indiscernables : chacune a la même probabilité d'être tirée. 5 sont rouges, donc P(R) = 5/10 = 1/2.

« Ne pas tirer une boule bleue » est le contraire de B, « tirer une boule bleue ». P(B) = 2/10 = 1/5, donc P(non B) = 1 − 1/5 = 4/5, soit 0,8 ou 80 %. Contrôle direct : 8 boules ne sont pas bleues, et 8/10 = 4/5.

Deux dés : le tableau à double entrée

Pour deux épreuves, on range les résultats de la première en ligne, ceux de la seconde en colonne, une case par issue. Avec deux dés équilibrés, 6 × 6 = 36 cases, toutes équiprobables. Le tableau impose une distinction que l'intuition oublie : 1 puis 2 et 2 puis 1 sont deux issues différentes, comme on le voit avec un dé rouge et un dé blanc.

Exemple 2 · La somme de deux dés

Énoncé. On lance deux dés équilibrés à six faces et l'on fait la somme. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ? Une somme supérieure ou égale à 10 ?

Rédaction. Le tableau à double entrée compte 36 issues équiprobables. La somme 7 apparaît dans 6 cases : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). Donc P(somme = 7) = 6/36 = 1/6.

Une somme d'au moins 10 est obtenue dans (4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) et (6 ; 6), soit 6 cases. Donc P(somme ≥ 10) = 6/36 = 1/6.

Le piège du 1/11. Les sommes possibles sont 2, 3, …, 12, soit 11 valeurs, et il est tentant d'écrire P(somme = 7) = 1/11. C'est faux : ces sommes ne sont pas équiprobables, 2 n'est obtenue que par (1 ; 1), 7 l'est de six façons. La formule « favorables sur possibles » ne vaut que pour des issues de même probabilité ; je fais écrire pourquoi elles le sont (dé équilibré, boules indiscernables) avant toute division.

La figure. Elle reconstitue ce tableau dans l'ordre où on le remplit. La grille apparaît d'abord avec ses en-têtes, premier dé en ligne et second en colonne. Les 36 sommes s'inscrivent ensuite : elles vont de 2 à 12 et restent constantes le long de chaque diagonale montante. Les six cases de la somme 7 se colorent en or sur la grande diagonale, puis les six cases du coin en bas à droite, celles de 10, 11 et 12, en bleu. Le dernier message rappelle que P(somme = 7) n'est pas 1/11 : une seule somme d'un côté, trois de l'autre, et la même probabilité, parce qu'on compte des cases et non des sommes.

Exemple 3 · Avec ou sans remise

Énoncé. Une urne contient une boule bleue et deux boules violettes. On tire une boule, on note sa couleur, puis on en tire une deuxième. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules violettes a) avec remise de la première boule, b) sans remise.

Rédaction. On numérote les boules : B, V₁, V₂.

a) Avec remise, le tableau compte 3 × 3 = 9 issues équiprobables. Deux violettes : (V₁ ; V₁), (V₁ ; V₂), (V₂ ; V₁), (V₂ ; V₂), soit 4 cases. La probabilité est 4/9.

b) Sans remise, on ne peut pas tirer deux fois la même boule : on retire les 3 cases de la diagonale. Il reste 6 issues équiprobables, dont 2 avec deux violettes, (V₁ ; V₂) et (V₂ ; V₁). La probabilité est 2/6 = 1/3. Sans numéroter les boules, on ne trouve ni l'un ni l'autre résultat.

Fréquence observée et probabilité

Sur 60 lancers d'un dé, le 6 ne sort pas forcément 10 fois : la fréquence observée varie d'une série à l'autre. Sur un grand nombre de lancers, par exemple 10 000 simulés au tableur, elle se stabilise autour de la probabilité 1/6 ≈ 0,167. Un dé dont le 6 sortirait 2 500 fois sur 10 000 lancers, fréquence 0,25, n'est probablement pas équilibré. Le résultat précis est la loi des grands nombres, vue en terminale.

Les erreurs sur les probabilités de 3e qui coûtent des points

• Diviser par un nombre d'issues qui ne sont pas équiprobables, comme le 1/11 des deux dés.
• Recopier une probabilité supérieure à 1 ou négative, comme 7/5, sans rouvrir le calcul : une liste d'issues est fausse.
• Répondre « une chance sur deux » parce qu'il y a deux résultats, gagner ou perdre.
• Poser une fraction sans phrase : on écrit l'équiprobabilité, le nombre d'issues, le nombre d'issues favorables, puis la probabilité simplifiée.

Trois exercices corrigés sur les probabilités de 3e

Exercice 1 · Deux enfants, au moins une fille

Énoncé. On suppose que, pour chaque naissance, la probabilité d'avoir une fille ou un garçon est la même, et que les naissances sont indépendantes. Un couple a deux enfants. a) Lister les issues possibles. b) Calculer la probabilité d'avoir deux garçons. c) En déduire la probabilité d'avoir au moins une fille.

Correction. a) En notant F pour fille et G pour garçon, l'aîné en premier, les issues sont FF, FG, GF et GG. Elles sont équiprobables.

b) Une seule issue sur quatre donne deux garçons : la probabilité est 1/4.

c) « Au moins une fille » est le contraire de « deux garçons ». Sa probabilité est 1 − 1/4 = 3/4. On retrouve bien les trois issues FF, FG et GF.

Exercice 2 · Retrouver le nombre de boules noires

Énoncé. Un sac contient 4 boules rouges et un certain nombre n de boules noires, indiscernables au toucher. On sait que la probabilité de tirer une boule rouge est 1/3. a) Combien y a-t-il de boules noires ? b) On ajoute des boules rouges pour que la probabilité de tirer une rouge devienne 1/2. Combien en ajoute-t-on ?

Correction. a) Le sac contient 4 + n boules équiprobables, dont 4 rouges, donc 4/(4 + n) = 1/3. Cela donne 4 + n = 12, donc n = 8. Il y a 8 boules noires.

b) Pour une probabilité de 1/2, il faut autant de rouges que de noires, soit 8 rouges. On ajoute 8 − 4 = 4 boules rouges. Vérification : 8/16 = 1/2.

Exercice 3 · Le jeu est-il équitable ?

Énoncé. Deux joueuses lancent chacune un dé équilibré. Léa gagne si le produit des deux nombres est pair. Sinon, c'est Inès qui gagne. a) À l'aide d'un tableau à double entrée, calculer la probabilité que Léa gagne. b) Le jeu est-il équitable ? c) On change la règle : Léa gagne si la somme est paire. Le jeu devient-il équitable ?

Correction. a) Le tableau compte 36 issues équiprobables. Un produit est impair seulement si les deux nombres sont impairs : 3 × 3 = 9 cases (1, 3 ou 5 pour chaque dé). Le produit est donc pair dans 36 − 9 = 27 cases. P(Léa gagne) = 27/36 = 3/4.

b) Inès gagne avec la probabilité 1 − 3/4 = 1/4. Le jeu n'est pas équitable : Léa a trois fois plus de chances de gagner.

c) Une somme est paire quand les deux nombres sont tous deux pairs (3 × 3 = 9 cases) ou tous deux impairs (9 cases), soit 18 cases. P(somme paire) = 18/36 = 1/2. Avec cette règle, le jeu est équitable.