Suite définie par récurrence : calculer les termes, tracer l'escalier, deviner la limite

Le premier terme et la relation

Une définition par récurrence comporte toujours deux morceaux : le premier terme, u₀ = 1 par exemple, et la relation, valable pour tout entier naturel n. Sans le premier terme, la suite n'est pas déterminée : la même relation, partie d'un autre point, donne une autre suite. Sans le « pour tout n », la relation ne dit rien.

Chaque terme doit rester dans l'ensemble où f est définie. Avec u₀ = 4 et uₙ₊₁ = √(uₙ − 3), on obtient u₁ = √1 = 1, puis u₂ = √(−2), qui n'existe pas. C'est pourquoi les énoncés font souvent montrer que tous les termes restent dans un intervalle avant toute autre question.

La relation peut aussi faire intervenir n, comme uₙ₊₁ = uₙ + 2n + 1, ou deux termes précédents, comme la suite de Fibonacci (F₀ = 0, F₁ = 1, Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ), qui demande deux termes de départ. Seule la forme uₙ₊₁ = f(uₙ) se représente en escalier.

Calculer les termes un par un

Exemple corrigé. Soit (uₙ) définie par u₀ = 1 et, pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 4. Calculer les termes jusqu'à u₆.

On applique la relation avec n = 0, puis n = 1, en réutilisant chaque fois le terme qu'on vient d'obtenir : u₁ = 0,5 × 1 + 4 = 4,5 ; u₂ = 0,5 × 4,5 + 4 = 6,25 ; u₃ = 7,125 ; u₄ = 7,5625 ; u₅ = 7,78125 ; u₆ = 7,890625. Les termes augmentent et semblent se rapprocher de 8.

À la calculatrice, on tape 1, puis 0,5 × Rép + 4 et on répète Entrée. En Python :

u = 1
for n in range(6):
    u = 0.5 * u + 4
print(u)    # u₆ = 7.890625

La boucle tourne six fois et calcule donc u₆, pas u₅ : ce décalage d'un rang est la faute la plus fréquente dans les questions d'algorithme.

La construction en escalier

On trace dans un repère la courbe de f et la droite d'équation y = x, puis :

1. on place u₀ sur l'axe des abscisses ;
2. on monte verticalement jusqu'à la courbe de f : le point atteint a pour ordonnée f(u₀) = u₁ ;
3. on part horizontalement jusqu'à la droite y = x : sur cette droite l'abscisse est égale à l'ordonnée, donc le point atteint a pour abscisse u₁ ;
4. on redescend verticalement pour lire u₁ sur l'axe des abscisses, puis on recommence depuis u₁.

La droite y = x sert à transformer une ordonnée en abscisse. Sans elle, on lit u₁ sur l'axe vertical et on ne peut plus réappliquer f, qui prend ses antécédents sur l'axe horizontal.

La figure en tête de page applique cette construction à l'exemple précédent, dans un repère orthonormé. La droite bleue est la courbe de f(x) = 0,5x + 4 ; la droite en pointillés gris, y = x. On part de u₀ = 1, en vert sur l'axe. Le premier trait vertical monte jusqu'à 4,5 ; le trait horizontal rejoint y = x au point (4,5 ; 4,5) ; les pointillés dorés ramènent u₁ = 4,5 sur l'axe. Les marches suivantes donnent u₂ = 6,25 et u₃ = 7,125, puis rétrécissent à chaque pas, coincées entre les deux droites, et viennent s'écraser au point L(8 ; 8) où la courbe de f coupe y = x.

Sur l'axe, les termes reportés avancent tous vers la droite : la suite paraît croissante. Ils s'accumulent avant 8 sans le dépasser : on conjecture que la suite converge vers 8, solution de l'équation f(x) = x, puisque 0,5 × 8 + 4 = 8. Si u₀ valait 8, la suite serait constante.

Escalier ou escargot

Exemple corrigé. Soit (vₙ) définie par v₀ = 0 et vₙ₊₁ = −0,5vₙ + 3. Calculer les premiers termes et décrire la construction graphique.

v₁ = 3, v₂ = 1,5, v₃ = 2,25, v₄ = 1,875, v₅ = 2,0625, v₆ = 1,96875. Les termes sautent alternativement au-dessus et au-dessous de 2, de moins en moins loin. La droite y = −0,5x + 3 coupe y = x au point d'abscisse 2, car −0,5 × 2 + 3 = 2. La construction tourne autour de ce point en se refermant : on parle d'escargot, ou de spirale. La suite n'est ni croissante ni décroissante ; on conjecture qu'elle converge vers 2.

Avec f croissante, la suite est monotone, mais son sens dépend de u₀. Reprenons uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 4 avec u₀ = 10 : u₁ = 9, u₂ = 8,5, u₃ = 8,25. La suite est décroissante alors que f est croissante. « f est croissante donc (uₙ) est croissante » est faux, et c'est une phrase que je retrouve sur beaucoup de copies.

Démontrer ce que le dessin suggère

En première, le graphique et le tableau de valeurs fournissent des conjectures. Pour les démontrer, on cherche le plus souvent une formule explicite, et l'énoncé guide.

Pour uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 4, on pose wₙ = uₙ − 8, l'écart au point fixe. Alors wₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 8 = 0,5uₙ − 4 = 0,5(uₙ − 8) = 0,5wₙ. La suite (wₙ) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme w₀ = −7, donc wₙ = −7 × 0,5ⁿ et uₙ = 8 − 7 × 0,5ⁿ. On en déduit uₙ₊₁ − uₙ = −0,5uₙ + 4 = 3,5 × 0,5ⁿ > 0 : la suite est strictement croissante, et la conjecture du dessin est démontrée. La technique est détaillée dans l'article sur la suite arithmético-géométrique.

Autre outil : une suite définie par récurrence est entièrement déterminée par son premier terme et sa relation. Si une suite explicite a le même premier terme et vérifie la même relation, les deux suites coïncident (exercice 2). Rédigé avec une initialisation et une hérédité, ce raisonnement devient en terminale le raisonnement par récurrence.

Les erreurs sur les suites récurrentes qui coûtent des points

• Traiter la relation comme une formule explicite : écrire u₃ = f(3) au lieu de u₃ = f(u₂). Avec f(x) = 0,5x + 4, f(3) = 5,5, alors que u₃ = 7,125.
• Placer u₀ sur l'axe des ordonnées, ou lire les termes sur l'axe vertical sans repasser par y = x.
• Présenter une limite lue sur un dessin comme un résultat : on écrit « on conjecture que (uₙ) est croissante et converge vers 8 ».
• Se tromper d'indice : si l'énoncé donne u₁, la relation vaut pour n ≥ 1, et une boucle qui part de u₁ et tourne k fois calcule uₖ₊₁.

Trois exercices corrigés sur les suites récurrentes

def seuil():
    n, u = 0, 100
    while u >= 51:
        u = 0.8 * u + 10
        n = n + 1
    return n

Pour la vue d'ensemble du chapitre, voir les suites en première.