Suite majorée, minorée, bornée : trouver un majorant et le prouver proprement

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La suite (uₙ) est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, uₙ ≤ M. Le nombre M est choisi d'abord, une fois pour toutes, puis on vérifie l'inégalité à chaque rang. Si l'on inverse l'ordre (« pour tout n, il existe M tel que uₙ ≤ M »), la phrase devient vraie pour toutes les suites, puisqu'il suffit de prendre M = uₙ.

Un majorant n'est jamais unique : si M en est un, M + 1 aussi. « Montrer que la suite est majorée par 3 » demande de prouver que 3 convient, pas que 3 est le plus petit majorant, et un majorant peut ne jamais être atteint. Une suite croissante est minorée par son premier terme, puisque u₀ ≤ u₁ ≤ u₂ ≤ … ; pour elle, la seule vraie question est l'existence d'un majorant.

Ces mots relèvent du programme de terminale (2019, en vigueur jusqu'à la rentrée 2027), qui admet le théorème de convergence monotone et exige la démonstration ci-dessous. Le programme de première 2026 s'en tient au sens de variation et à une approche intuitive de la limite.

Démonstration : croissante et non majorée, donc limite +∞

C'est la démonstration du programme, et elle consiste à nier proprement la définition. Soit (uₙ) une suite croissante et non majorée. Soit A un réel quelconque. La suite n'est pas majorée, donc A n'est pas un majorant : il existe un entier N tel que u_N > A. La suite est croissante, donc pour tout n ≥ N, uₙ ≥ u_N > A. Ainsi, l'intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes à partir du rang N. Ceci valant pour tout réel A, la suite tend vers +∞.

Le point délicat est la négation : « non majorée » signifie « pour tout réel M, il existe un rang n tel que uₙ > M ». Il suffit d'un seul terme qui dépasse, et c'est la croissance qui entraîne tous les suivants.

Trois façons de prouver qu'un nombre est un majorant

Transformer l'expression de uₙ. Quand uₙ est donné en fonction de n, on cherche une écriture qui rend l'inégalité visible : pour une fraction (an + b)/(n + c), on fait apparaître la partie entière, comme dans l'exercice 2.

Passer par une fonction ou une forme canonique. Exemple : uₙ = n² − 6n + 10. La forme canonique donne uₙ = (n − 3)² + 1, donc uₙ ≥ 1 pour tout n, avec égalité pour n = 3 : la suite est minorée par 1. Elle n'est pas majorée : pour n ≥ 4, l'entier n − 3 est au moins égal à 1, donc (n − 3)² ≥ n − 3 et uₙ ≥ n − 2. Si M est un réel quelconque, tout entier n ≥ 4 tel que n > M + 2 donne uₙ > M. Les premiers termes, 10 ; 5 ; 2 ; 1 ; 2, montrent que la suite n'est pas monotone.

Raisonner par récurrence pour une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ). On n'a pas de formule pour uₙ, donc on transporte l'inégalité d'un rang au suivant grâce aux variations de f, selon le principe de la récurrence. C'est la méthode la plus fréquente dans les sujets de terminale.

Une récurrence d'encadrement rédigée

Soit (uₙ) définie par u₀ = 0 et, pour tout n ∈ ℕ, uₙ₊₁ = √(2uₙ + 3). On note f(x) = √(2x + 3), définie et croissante sur [−1,5 ; +∞[ (composée de x ↦ 2x + 3, croissante, et de la racine carrée, croissante). Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ ℕ, la propriété P(n) : « 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 3 » est vraie.

Initialisation : u₀ = 0 et u₁ = √3 ≈ 1,73, donc 0 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ 3. P(0) est vraie.

Hérédité : soit k ∈ ℕ tel que P(k) soit vraie, c'est-à-dire 0 ≤ uₖ ≤ uₖ₊₁ ≤ 3. Ces nombres appartiennent à [−1,5 ; +∞[ où f est croissante, donc f(0) ≤ f(uₖ) ≤ f(uₖ₊₁) ≤ f(3), soit √3 ≤ uₖ₊₁ ≤ uₖ₊₂ ≤ 3. Comme √3 ≥ 0, P(k + 1) est vraie.

Conclusion : pour tout n, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 3. La suite est croissante et majorée par 3, donc elle converge d'après le théorème de convergence monotone. Sa limite ℓ vérifie 0 ≤ ℓ ≤ 3 ; on montre ensuite, par continuité de f, que ℓ = √(2ℓ + 3), soit ℓ² − 2ℓ − 3 = 0 avec ℓ ≥ 0, d'où ℓ = 3.

Pourquoi 3 ? On ne le devine pas : c'est la solution positive de x = √(2x + 3), le point où la courbe de f coupe la droite y = x. Dans un sujet, le majorant est presque toujours donné ; quand il ne l'est pas, on le cherche de cette façon.

La bande entre 0 et 3 sur la figure

La figure place les points (n ; uₙ) de la suite précédente pour n de 0 à 10. Les termes apparaissent d'abord, puis la bande entre 0 et 3 vient les encadrer, et le majorant 4 s'ajoute en dernier. Le premier point est sur le bord inférieur, puisque u₀ = 0 : le minorant 0 est atteint. Les suivants montent (u₁ ≈ 1,73, u₂ ≈ 2,54, u₃ ≈ 2,84) et se collent à la droite verte y = 3 sans jamais la toucher : 3 est un majorant non atteint, et c'est aussi la limite. La droite en pointillés y = 4 rappelle qu'un majorant n'est pas unique ; 4 convient aussi, mais il ne dit pas où la suite s'arrête.

Les erreurs sur les suites bornées qui coûtent des points

• « Croissante et majorée par 5, donc elle converge vers 5. » Le théorème donne l'existence d'une limite ℓ ≤ 5, pas sa valeur : uₙ = 1 − 1/(n + 1) est croissante, majorée par 5, et tend vers 1. Je vois cette phrase chez de bons élèves.
• Un majorant qui dépend de n : « uₙ ≤ n + 1 donc la suite est majorée » ne prouve rien.
• Bornée ne veut pas dire convergente : ((−1)ⁿ) est bornée par −1 et 1 et n'a pas de limite.
• Dans l'hérédité, appliquer f à une inégalité sans avoir dit que f est croissante sur un intervalle qui contient les termes.

Trois suites à encadrer, de la plus simple à la plus fine

Exercice 1 · Montrer que la suite uₙ = 5 + (−1)ⁿ/(n + 1) est bornée

Pour tout n ∈ ℕ, |(−1)ⁿ/(n + 1)| = 1/(n + 1) ≤ 1, donc −1 ≤ (−1)ⁿ/(n + 1) ≤ 1 et 4 ≤ uₙ ≤ 6. La suite est bornée.

Pour aller plus loin : les meilleures bornes sont 4,5 (atteint pour n = 1) et 6 (atteint pour n = 0). L'énoncé ne les demandait pas ; 4 et 6 suffisent, et c'est la rédaction la plus courte.

Exercice 2 · uₙ = (3n − 1)/(n + 2) : encadrer, étudier le sens de variation, conclure

On écrit 3n − 1 = 3(n + 2) − 7, donc uₙ = 3 − 7/(n + 2). Pour tout n ∈ ℕ, 0 < 7/(n + 2) ≤ 7/2, donc −1/2 ≤ uₙ < 3. La suite est bornée.

uₙ₊₁ − uₙ = 7/(n + 2) − 7/(n + 3) = 7/((n + 2)(n + 3)) > 0 : la suite est strictement croissante.

Croissante et majorée par 3, elle converge. Comme 7/(n + 2) tend vers 0, sa limite vaut 3, mais c'est le calcul de limite qui le prouve, pas le majorant.

Exercice 3 · Sₙ = 1 + 1/2² + … + 1/n² est majorée par 2

Pour tout entier k ≥ 2, 1/(k − 1) − 1/k = 1/(k(k − 1)), et k(k − 1) ≤ k², donc 1/k² ≤ 1/(k − 1) − 1/k.

En ajoutant ces inégalités pour k allant de 2 à n (n ≥ 2), les termes du membre de droite se simplifient deux à deux : 1/2² + … + 1/n² ≤ (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/(n − 1) − 1/n) = 1 − 1/n. Donc Sₙ ≤ 2 − 1/n < 2, et S₁ = 1 < 2.

De plus Sₙ₊₁ − Sₙ = 1/(n + 1)² > 0 : la suite est croissante. Croissante et majorée par 2, elle converge. Sa limite, π²/6 ≈ 1,645, a été obtenue par Euler ; elle dépasse le programme, mais on vérifie qu'elle est bien inférieure à 2.

La suite logique du chapitre : la limite d'une suite.