Limite d'une suite en terminale : définition, limite de qⁿ et théorèmes de comparaison

Les deux définitions du programme, lues sur une figure

Le programme de spécialité de terminale (2019) donne deux définitions, l'une pour une limite finie, l'autre pour une limite infinie.

Limite finie. La suite (uₙ) converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes uₙ à partir d'un certain rang. On écrit lim_n→+∞ uₙ = ℓ. Si une suite converge, sa limite est unique.

Limite infinie. La suite (uₙ) tend vers +∞ si, pour tout réel A, l'intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes uₙ à partir d'un certain rang. Elle tend vers −∞ si tout intervalle ]−∞ ; A] contient tous les termes à partir d'un certain rang.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Attention au vocabulaire : une suite qui tend vers +∞ est divergente, et une suite comme ((−1)ⁿ), qui n'a aucune limite, l'est aussi.

L'ordre des mots compte. L'intervalle est donné d'abord, aussi petit qu'on veut ; le rang vient ensuite et dépend de lui. Et « tous les termes à partir de ce rang » veut dire tous : qu'une infinité de termes tombe dans l'intervalle ne suffit pas.

La figure place les points (n ; uₙ) pour uₙ = 2 + (−1)ⁿ × 2/(n + 1), de n = 0 à n = 20. La bande dorée, l'intervalle ouvert ]1,8 ; 2,2[, se pose d'abord, puis les dix premiers termes, en or, le rang N = 10 (droite rouge), et enfin tous les termes suivants, en bleu nuit, qui tombent dans la bande. Les termes sautent d'un côté à l'autre de 2 : u₀ = 4, u₁ = 1, u₂ = 8/3 ≈ 2,67, u₃ = 1,5 ; l'écart avec 2 vaut exactement 2/(n + 1). u₉ = 1,8 se pose sur le bord sans entrer, puisque l'intervalle est ouvert.

Le calcul confirme la lecture : |uₙ − 2| < 0,2 équivaut à 2/(n + 1) < 0,2, soit n + 1 > 10, soit n ≥ 10. Pour la bande ]1,99 ; 2,01[, le même calcul donne n ≥ 200. Le rang recule quand la bande se resserre, mais il existe pour toute largeur : c'est ce que dit la définition.

Démontrer la limite de qⁿ avec l'inégalité de Bernoulli

C'est une démonstration exigible.

L'inégalité. Soit a un réel strictement positif. Montrons par récurrence que, pour tout n ∈ ℕ, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na. Pour n = 0, les deux membres valent 1. Supposons l'inégalité vraie au rang k. Comme 1 + a > 0, on peut multiplier les deux membres par 1 + a sans changer le sens : (1 + a)^k+1 ≥ (1 + ka)(1 + a) = 1 + (k + 1)a + ka². Or ka² ≥ 0, donc (1 + a)^k+1 ≥ 1 + (k + 1)a. La propriété est héréditaire, elle est vraie pour tout n. Sans la phrase « comme 1 + a > 0 », l'hérédité n'est pas justifiée.

La limite. Si q > 1, on pose a = q − 1 > 0. Alors qⁿ ≥ 1 + na, et 1 + na tend vers +∞ puisque a > 0. Par comparaison, qⁿ tend vers +∞. Si 0 < |q| < 1, le nombre 1/|q| est strictement supérieur à 1, donc (1/|q|)ⁿ tend vers +∞ et son inverse |q|ⁿ tend vers 0. Comme −|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ, les gendarmes donnent qⁿ → 0 ; le cas q = 0 est immédiat. Si q = −1, la suite vaut alternativement 1 et −1 ; si q < −1, |qⁿ| tend vers +∞ et le signe alterne : dans les deux cas, pas de limite.

Comparaison et suite croissante non majorée : deux démonstrations exigibles

Énoncé : si, à partir d'un rang n₀, uₙ ≥ vₙ, et si vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞.

Soit A un réel. Comme vₙ → +∞, il existe un rang N₁ tel que vₙ ≥ A pour tout n ≥ N₁. Posons N le plus grand des deux entiers n₀ et N₁. Pour tout n ≥ N, on a à la fois uₙ ≥ vₙ et vₙ ≥ A, donc uₙ ≥ A. L'intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes uₙ à partir du rang N. A étant quelconque, uₙ tend vers +∞.

Le passage au maximum des deux rangs est le seul point délicat.

Énoncé : toute suite croissante non majorée tend vers +∞. Soit A un réel. Comme (uₙ) n'est pas majorée, A n'est pas un majorant : il existe un rang N tel que u_N > A. Comme (uₙ) est croissante, pour tout n ≥ N, uₙ ≥ u_N > A. L'intervalle [A ; +∞[ contient donc tous les termes à partir du rang N, et uₙ tend vers +∞.

Le théorème des gendarmes ne fait pas partie des démonstrations exigibles ; on l'applique en citant ses trois hypothèses, sans les résumer en « par encadrement ».

La démarche en DS, et trois limites rédigées

Avant d'écrire, on classe la suite. Une expression explicite en n se traite avec les suites de référence et les opérations ; si les opérations bloquent sur une forme indéterminée, on transforme l'écriture. Une expression qui contient (−1)ⁿ, cos n ou sin n appelle un encadrement, donc les gendarmes ou la comparaison. Une suite définie par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) se traite autrement : on montre qu'elle est monotone et bornée, souvent par récurrence, puis on conclut avec le théorème de convergence monotone.

Une suite géométrique décalée. Soit vₙ = 5 − 3 × 0,8ⁿ. Comme −1 < 0,8 < 1, lim 0,8ⁿ = 0, donc lim 3 × 0,8ⁿ = 0 et, par somme, lim vₙ = 5. Pour le seuil vₙ > 4,9, il faut 3 × 0,8ⁿ < 0,1, soit 0,8ⁿ < 1/30 ≈ 0,0333. Or 0,8¹⁵ ≈ 0,0352 et 0,8¹⁶ ≈ 0,0281 ; comme (0,8ⁿ) est décroissante, le premier rang est n = 16.

La recherche de seuil figure parmi les exemples d'algorithmes du programme. En Python, ce programme affiche 16 :

n = 0
v = 2
while v <= 4.9:
    n = n + 1
    v = 5 - 3 * 0.8**n
print(n)

L'exemple de la figure, par les gendarmes. Pour tout n ∈ ℕ, −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1, donc 2 − 2/(n + 1) ≤ uₙ ≤ 2 + 2/(n + 1). Les suites de gauche et de droite convergent toutes deux vers 2, puisque lim 2/(n + 1) = 0. D'après le théorème des gendarmes, (uₙ) converge vers 2.

Une divergence par minoration. Soit wₙ = 2n + (−1)ⁿ. Pour tout n, (−1)ⁿ ≥ −1, donc wₙ ≥ 2n − 1. Or lim (2n − 1) = +∞. Par comparaison, (wₙ) tend vers +∞. Pour une limite infinie, une seule inégalité, dans le bon sens, suffit.

Les phrases fausses sur les limites de suites

• « uₙ₊₁ − uₙ tend vers 0, donc la suite converge. » Faux : pour uₙ = √n, l'écart √(n + 1) − √n tend vers 0 et pourtant √n tend vers +∞.
• « La suite est croissante, donc elle tend vers +∞. » Faux : uₙ = 2 − 1/(n + 1) est croissante et converge vers 2. Il faut en plus qu'elle ne soit pas majorée.
• « (−0,5)ⁿ n'a pas de limite car q est négatif. » La condition porte sur −1 < q < 1, pas sur le signe : (−0,5)ⁿ tend vers 0.
• Écrire lim uₙ avant d'avoir prouvé que la limite existe : pour une suite récurrente, on prouve d'abord la convergence, puis on cherche la valeur.

Trois suites, du calcul direct au raisonnement par l'absurde

Exercice 1 · Limite de uₙ = 3 × 0,5ⁿ − 2 × 1,1ⁿ

Comme −1 < 0,5 < 1, lim 0,5ⁿ = 0, donc lim 3 × 0,5ⁿ = 0. Comme 1,1 > 1, lim 1,1ⁿ = +∞, donc lim (−2 × 1,1ⁿ) = −∞.

Par somme d'une suite qui converge vers 0 et d'une suite qui tend vers −∞, lim uₙ = −∞.

Exercice 2 · Montrer que uₙ = (n + cos n)/(n + 1) converge et trouver sa limite

Pour tout n ∈ ℕ, −1 ≤ cos n ≤ 1, donc n − 1 ≤ n + cos n ≤ n + 1. En divisant par n + 1 > 0, on obtient (n − 1)/(n + 1) ≤ uₙ ≤ 1.

Or (n − 1)/(n + 1) = 1 − 2/(n + 1), qui tend vers 1. La suite constante égale à 1 converge vers 1. D'après le théorème des gendarmes, (uₙ) converge vers 1.

Exercice 3 · u₀ = 1 et uₙ₊₁ = uₙ + 1/uₙ : montrer que uₙ tend vers +∞

Les termes sont bien définis et au moins égaux à 1. Par récurrence : u₀ = 1 ≥ 1. Si uₖ ≥ 1, alors uₖ > 0, uₖ₊₁ est défini, 1/uₖ > 0 et uₖ₊₁ = uₖ + 1/uₖ > uₖ ≥ 1. Donc uₙ ≥ 1 pour tout n.

Croissance. uₙ₊₁ − uₙ = 1/uₙ > 0 : la suite est strictement croissante.

Elle ne converge pas. Supposons que (uₙ) converge vers un réel ℓ. Comme uₙ ≥ 1, on a ℓ ≥ 1. D'une part, uₙ₊₁ − uₙ tend vers ℓ − ℓ = 0. D'autre part, uₙ₊₁ − uₙ = 1/uₙ tend vers 1/ℓ, qui est non nul. C'est contradictoire : la suite diverge.

Conclusion. Si la suite était majorée, croissante et majorée, elle convergerait, ce qui vient d'être exclu. Elle est donc croissante et non majorée, et une suite croissante non majorée tend vers +∞ (c'est une démonstration du programme).