Calcul littéral en 3e : écrire avec des lettres, réduire, et prouver qu'une égalité est toujours vraie

En 3e, le calcul littéral sert partout : formules d'aire, programmes de calcul, équations, fonctions. Les techniques de développement et de factorisation ont leur propre page, développer et factoriser, de même que les identités remarquables.

À la rentrée 2026, un élève de 3e suit encore le programme du cycle 4 (2015, aménagé en 2018) et les attendus de fin de 3e de 2019 : il doit savoir déterminer l'opposé d'une expression, développer, factoriser, réduire, et utiliser le calcul littéral « pour démontrer un résultat général » et « pour valider ou réfuter une conjecture ». Le nouveau programme de cycle 4 (arrêté du 18 février 2026, Bulletin officiel n° 10 du 5 mars 2026) ne s'appliquera en 3e qu'à la rentrée 2028.

Les conventions d'écriture

Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres désignent des nombres. On allège l'écriture avec trois conventions :

• on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x s'écrit 3x, et 4 × (x + 1) s'écrit 4(x + 1) ;
• x × x s'écrit x², et x × x × x s'écrit x³ ;
• 1 × x s'écrit x, et −1 × x s'écrit −x.

Le signe × ne disparaît jamais entre deux nombres : 3 × 5 ne s'écrit pas 35. Et l'écriture compacte cache des multiplications qu'il faut savoir relire : 2x² veut dire 2 × x × x, pas (2x)².

Remplacer la lettre par un nombre

Calculer une expression pour une valeur donnée, c'est remplacer chaque lettre par ce nombre, en rétablissant les signes × et en mettant le nombre entre parenthèses s'il est négatif. On applique ensuite les priorités : puissances, puis multiplications, puis additions et soustractions.

Pour E = 3x² − 2x + 5 et x = −2 : E = 3 × (−2)² − 2 × (−2) + 5 = 3 × 4 + 4 + 5 = 21.

Sans les parenthèses, on écrit 3 × −2², et l'on calcule −2² = −4 : c'est faux, car le carré porte seulement sur 2. (−2)² = 4, alors que −2² = −4. Sur les copies, c'est une erreur fréquente.

Réduire et supprimer des parenthèses

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible, en regroupant les termes de même nature : les termes en x², les termes en x, les nombres seuls. 5x et −3x se regroupent en 2x ; 5x et 3x² ne se regroupent pas, parce que ce ne sont pas les mêmes « objets », comme on n'additionne pas des mètres et des mètres carrés.

Pour supprimer des parenthèses :

• précédées d'un signe +, on les enlève sans rien changer : +(3x − 7) = 3x − 7 ;
• précédées d'un signe −, on change le signe de chaque terme à l'intérieur : −(3x − 7) = −3x + 7. C'est l'opposé de l'expression ;
• précédées d'un facteur, on distribue : k(a + b) = ka + kb, et (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Exemple 1 · Réduire, puis calculer de deux façons

Énoncé. Soit A = 4x − (3x − 7) + 2x(x − 1). Réduire A, puis calculer A pour x = −3.

Rédaction. A = 4x − 3x + 7 + 2x² − 2x = 2x² − x + 7.

Pour x = −3 : A = 2 × (−3)² − (−3) + 7 = 18 + 3 + 7 = 28.

Contrôle sur l'expression de départ : 4 × (−3) − (3 × (−3) − 7) + 2 × (−3) × (−3 − 1) = −12 + 16 + 24 = 28. Les deux calculs donnent le même nombre, comme ils le doivent : réduire ne change pas la valeur. Ce contrôle par une valeur ne prouve pas que la réduction est juste, mais il attrape la plupart des erreurs de signe.

Une égalité vraie pour tout x, ou pour un seul

Le signe = n'a pas toujours le même sens. Dans x(x + 6) = x² + 6x, l'égalité est vraie quel que soit le nombre x : c'est une identité, et x y est une indéterminée. Dans x(x + 6) = x² + 6, l'égalité n'est vraie que pour certaines valeurs : c'est une équation, et x y est une inconnue.

Pour montrer qu'une égalité est vraie pour tout x, on transforme les deux membres par des règles de calcul jusqu'à obtenir la même expression. Des essais sur dix, cent ou mille nombres ne suffisent pas. Pour montrer qu'elle est fausse, un seul contre-exemple suffit : une valeur de x pour laquelle les deux membres diffèrent.

Exemple 2 · Trois programmes de calcul

Énoncé. Programme A : choisir un nombre, lui ajouter 6, multiplier le résultat par le nombre de départ. Programme B : choisir un nombre, lui ajouter 3, élever le résultat au carré, soustraire 9. Programme C : choisir un nombre, l'élever au carré, ajouter 6. a) Tester les programmes A et B avec 1, 2 et −5. Que peut-on conjecturer ? Le démontrer. b) Avec 1, les programmes A et C donnent le même résultat. Est-ce toujours le cas ?

Rédaction. a) Avec 1 : A donne 1 × 7 = 7 et B donne 4² − 9 = 7. Avec 2 : 2 × 8 = 16 et 5² − 9 = 16. Avec −5 : −5 × 1 = −5 et (−2)² − 9 = −5. On conjecture que A et B donnent toujours le même résultat.

Soit x le nombre de départ. Le programme A donne x(x + 6) = x² + 6x. Le programme B donne (x + 3)² − 9 = (x + 3)(x + 3) − 9 = x² + 3x + 3x + 9 − 9 = x² + 6x. Les deux résultats sont égaux pour tout nombre x : la conjecture est démontrée.

b) Le programme C donne x² + 6. Avec 2, A donne 16 et C donne 2² + 6 = 10. Comme 16 ≠ 10, les programmes A et C ne donnent pas toujours le même résultat. Ils coïncident seulement quand x² + 6x = x² + 6, soit 6x = 6, c'est-à-dire pour x = 1 : le test avec 1 était le seul qui pouvait tromper.

La figure place chaque programme dans un repère : le point d'abscisse x a pour ordonnée le résultat obtenu avec x. La courbe de A se trace d'abord. Celle de B vient ensuite, en pointillés dorés, et se pose exactement sur la première : pour chaque nombre de départ, les deux programmes donnent le même résultat, c'est ce que dit l'identité. La courbe de C apparaît à son tour, qui ne touche celle de A qu'au point (1 ; 7). Ce point s'allume, puis le segment rouge à x = 2 relie A(2) = 16 et C(2) = 10 : c'est le contre-exemple. Une identité, ce sont deux courbes confondues ; une équation, ce sont des points d'intersection.

Le même outil démontre des propriétés des nombres entiers. Trois entiers consécutifs s'écrivent n, n + 1 et n + 2, où n est un entier. Leur somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Comme n + 1 est un entier, cette somme est un multiple de 3, pour tous les choix possibles, ce que des exemples ne pouvaient pas établir.

Les erreurs sur le calcul littéral qui coûtent des points

• 2x + 3x = 5x², au lieu de 5x : on additionne des « x », on n'en multiplie pas.
• x × x = 2x, au lieu de x². Le test avec x = 3 tranche : 3 × 3 = 9, pas 6.
• −(3x − 7) = −3x − 7 : le signe − devant la parenthèse s'applique à tous les termes, le 7 devient +7.
• 3 + 2x réduit en 5x : un nombre seul et un terme en x ne se regroupent pas.
• Remplacer x par −2 sans parenthèses, et calculer −2² = −4.
• Conclure « c'est toujours vrai » après trois essais. Je demande d'écrire « on conjecture », puis la preuve avec x.

Trois exercices corrigés sur le calcul littéral

Exercice 1 · Réduire avant de calculer

Énoncé. Soit B = 3(2x − 5) − (x − 4) − 4x. Réduire B, puis calculer B pour x = −1,5.

Correction. B = 6x − 15 − x + 4 − 4x = x − 11. Pour x = −1,5 : B = −1,5 − 11 = −12,5.

La forme réduite rend le calcul immédiat ; c'est souvent la raison pour laquelle l'énoncé demande de réduire d'abord.

Exercice 2 · Une propriété des carrés à démontrer

Énoncé. On constate que 4² − 3² = 7 et 10² − 9² = 19. Démontrer que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.

Correction. Soit n un entier ; l'entier suivant est n + 1. (n + 1)² − n² = (n + 1)(n + 1) − n² = n² + n + n + 1 − n² = 2n + 1. Comme 2n est pair, 2n + 1 est impair, pour tout entier n.

On lit même plus : la différence vaut la somme des deux entiers, puisque n + (n + 1) = 2n + 1. Avec 4 et 3, on retrouve 7.

Exercice 3 · Un programme de calcul jusqu'à l'équation

Énoncé. Programme : choisir un nombre, lui ajouter 5, multiplier le résultat par le nombre de départ, ajouter 4. a) Quel résultat obtient-on avec 2 ? avec −3 ? b) On note x le nombre de départ. Montrer que le résultat est égal à (x + 1)(x + 4). c) Quels nombres de départ donnent 0 ?

Correction. a) Avec 2 : 2 × 7 + 4 = 18. Avec −3 : −3 × 2 + 4 = −2.

b) Le programme donne x(x + 5) + 4 = x² + 5x + 4. Par ailleurs, (x + 1)(x + 4) = x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4. Les deux expressions sont égales pour tout x.

c) On cherche x tel que (x + 1)(x + 4) = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : x + 1 = 0 ou x + 4 = 0, donc x = −1 ou x = −4. Vérification avec le programme : −1 × 4 + 4 = 0 et −4 × 1 + 4 = 0. Cette dernière étape est détaillée dans l'article sur l'équation produit nul.